Оптимальное планирование выпуска продукции "ОАО Звенигородский сыркомбинат"
Из указанных зависимостей в соответствии с основной целью проектирования формируется целевая функция:
Ф = f(х1,х2, х3,..., xn; a1,а2,а3, ..., аm) (2.1)
Остальные связи параметров, записанные в виде равенств и неравенств, являются ограничениями, составляющими вместе с целевой функцией математическую модель объекта, которая на этом этапе создания должна быть подвергнута испытаниям на компьютере и, в случае необходимости, скорректирована уровне качественной модели или математического описания.
Построенная таким образом математическая модель воспроизводит образ проектируемого объекта, отвечающего всем технико-экономическим требованиям предъявляемым в рамках данных конкретных задач проектирования, и может быть занесена в банк математических моделей системы автоматизированного проектирования.
Если полученная таким образом математическая модель состоит из линейной целевой функции, и входящие в систему ограничения равенства и (или) неравенства также линейны, то такая модель относится к классу оптимизационных задач линейного программирования, и в этом случае могут быть использованы характерные для такого класса задач методы решения (графический, симплекс-метод).
Для составления программы выпуска продукции ОАО "Звенигородский сиркомбинат" необходимо определить оптимальный выпуск сыра "Звенигородского" 50% и сыра "Российского" 50% с целью получения максимальной прибыли.
Сыр "Звенигородский" выпускается предприятием в трех видах:
· Сыр "Звенигородский" 50%, фасованый по 13 кг в ящике;
· Сыр "Звенигородский" 50%, розничный, фасованый по 7,5 кг в ящике;
· Сыр "Звенигородский" 50%, фасованый от 5 до 15 кг в ящике.
Сыр "Российский" выпускается предприятием в двух видах:
· Сыр "Российский" 50%, фасованый по 13 кг в ящике;
· Сыр "Российский" 50%, фасованый от 5 до 15 кг в ящике;
Цена сыра "Звенигородский" 50% и сыра "Российский" 50% соответственно равна 14,20 и 14,40 грн. за килограмм. Выпуск перечисленной продукции ограничивается спросом на продукцию, т.е. максимальное потребление продукции составляет 2100000 килограмм в год.
На производство 1 килограмма сыра "Звенигородский" 50% ОАО "Звенигородский сыркомбинат" затрачивает 0,51 грн. – на выплату заработной платы, 9,21 грн. – производственных затрат, и 0,075 грн – на коммерческие расходы.
Рис. 2.2. Схема метода построения операционной математической модели
На производство 1 килограмма сыра "Российский" 50% ОАО "Звенигородский сыркомбинат" затрачивает:
· 0,55 грн. – на выплату заработной платы,
· 9,43 грн. – на производственные затраты,
· 0,06 грн – на коммерческие расходы.
Всего ОАО "Звенигородский сыркомбинат" ежегодно выделяет:
· 1175300 грн - на выплату заработной платы,
· 19244000 грн. – на производственные затраты,
· 143000 грн - на коммерческие расходы.
Для того, чтобы рассчитать оптимальный выпуск продукции с целью максимизации прибыли ОАО "Звенигородский сыркмбинат" необходимо составить оптимизационную модель линейного программирования и решить ее с помощью функции "Поиск решения" Microsoft Excel.
2.2 Экономико-математическая модель
Целевая функция стремится к максимуму, так как основной целью предприятия является получение максимальной прибыли. В данном случае целевая функция представлена в виде:
14,20х1+14,40х2→max,
где: х1 – количество сыра "Звенигородский" 50%, необходимое производить ОАО "Звенигородский сыркомбинат"; х2 – количество сыра "Российский" 50%, необходимое производить ОАО "Звенигородский сыркомбинат";
В качестве ограничений в данной модели выступают ограничения:
· расходы по оплате труда;
· затраты на производство;
· коммерческие расходы.
Ограничения представлены в виде:
0,51х1+0,55х2≤1175300
9,21х1+9,43х2≤19244000
0,075х1+0,06х2≤143000
х1+х2≤2100000
В результате проведенных вычислений, для того чтобы получать максимальную прибыль в размере 29556793 грн. ОАО "Звенигородский сыркомбинат" необходимо выпускать 1253476 килограмм сыра "Звенигородский" 50% и 816488,8 килограмм сыра "Российский" 50% ежегодно. При соблюдении предложенной программы выпуска продукции сокращаются затраты:
· на расходы по оплате труда – до 1088341 грн;
· затраты на производство – до 19244000 грн;
· коммерческие расходы – до 143000 грн.
Суммарный выпуск продукции соответственно данной модели составит 2069964 килограмм. Процентное соотношение выпускаемой продукции ОАО " звенигородский сыркомбинакт" представлено на рисунке 1.
2.3 Процентное соотношение выпускаемой продукции
2.4 Оптимальное планирование и математические методы прогнозирования
Во всех отраслях и сферах хозяйственной деятельности приходится постоянно принимать управляющие решения, последствия которых проявятся в будущем. Можно с уверенностью утверждать, что любое такое решение основывается на том или ином способе предвидения. Одним из способов предвидения при принятии хозяйственных решений является прогнозирование.
Прогнозирование – это научная деятельность, направленная на выявление и изучение возможных альтернатив будущего развития и структуры его вероятных траекторий. Каждая альтернативная траектория развития связывается с наличием комплекса внешних относительно исследуемой системы (явления) условий.
Под прогнозированием в экономике понимается научное определение вероятных путей и результатов предстоящего развития экономической системы, оценку показателей, характеризующих это развитие в течении более или менее отдаленного будущего.
Таким образом, цель экономического прогнозирования – предсказание (предвидение) будущих последствий хозяйственных решений, принимаемых в текущий момент времени.
Задачи, решаемые на основе экономических прогнозов, зависят от масштабов и характера деятельности организации. Если это задачи, например, разработки годового регионального или государственного бюджета, то, очевидно, необходимо иметь прогнозы темпов инфляции, объемов поступления налоговых средств и т. д. Если это промышленное предприятие, то такими задачами могут являться определение ассортимента выпускаемой продукции в зависимости от прогнозов на платежеспособный спрос; расширение или свертывание производства в зависимости от прогнозов общеэкономической конъюнктуры и т. п. В любом случае результаты прогнозов всегда лежат в основе планов предстоящей хозяйственной деятельности.
Классифицируют прогнозы по функциональному признаку, т. е. по назначению, и по длительности периода прогнозирования.
По функциональному признаку прогнозы делятся на: стратегические, ориентированные на обеспечение разработки бизнес-планов хозяйственной деятельности и на оперативные, предназначенные для обеспечения разработки текущих планов производственной деятельности фирмы.
По временному признаку различают краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные прогнозы. Под краткосрочными прогнозами обычно понимают прогнозы на периоды времени меньшие года. Под среднесрочными – от года до двух-трех лет, под долгосрочными – на более длительные сроки. Однако необходимо помнить, что градация прогнозов по временному фактору существенно зависит от вида деятельности организации, которая занимается прогнозированием. Например, при спекулятивной работе с ценными бумагами долгосрочным прогнозом будет прогноз на несколько дней вперед, а при стратегическом прогнозировании перспективных направлений развития генной инженерии в качестве периода долгосрочного прогноза, очевидно, будет выступать срок порядка десятков лет.
Методы прогнозирования
К числу основных методов прогнозирования относятся:
§ метод Дельфи;
§ регистрационный метод;
§ метод статистического анализа
§ комбинированный метод.
Метод Дельфи основан на обработке субъективных мнений — экспертных оценок специалистов, занятых в интересующей сфере деятельности.
Регистрационный метод основан на анализе постоянно печатающихся в периодике данных деловой активности.
Метод статистического анализа базируется на использовании ретроспективных данных.
Комбинированный метод предполагает совокупное использование всех вышеназванных способов прогнозирования
Методы прогнозирования могут основываться на предположении о предстоящих качественных изменениях системы или сохранении в будущем существующих закономерностей развития. Для долгосрочных прогнозов используются экспертные и логические методы, а для краткосрочных и среднесрочных прогнозов - методы экстраполяции.
Экспертные методы прогнозирования опираются на методы качественного оценивания систем. Но более часто используются разновидности метода Дельфи и метод сценариев в сочетании со статистическими методами.
Логические методы прогнозирования основываются на проведении аналогии функционирования рассматриваемой системы с историей функционирования какой-либо другой системы.
Методы экстраполяции относятся к аналитическим метода прогнозирования состояния систем. Примером экстраполяции служит прогнозирование значений какой-либо величины по имеющимся табличным данным. В качестве исходной информации при этом берутся временные ряды динамики параметров системы - набор наблюдений некоторых числовых характеристик параметров системы, взятых в равноотстоящие или неравноотстоящие моменты времени за определенный период.
В основе методов экстраполяции лежит понятие интерполирования. Известно, что интерполированием называется процесс вычисления промежуточных значений функции на основании заданного ряда значений этой функции. В широком смысле слов; интерполирование - это представление некоторой функции известного или неизвестного вида, ряд значений которой при определенных значениях независимой переменной задан, при помощи другой, более простой функции.
Пусть 
будет функцией, заданной рядом значений 
которые она принимает при значениях 
независимой переменной х, и пусть 
обозначает произвольную более простую
функцию, принимающую для те же самые значения, что
и . Замена в
пределах данного интервала на и есть интерполирование.
Формула 
, которая при этом получается для вычисления
значений у, называется интерполяционной формулой.
Функция может иметь различный вид. Когда есть полином, процесс замещения 
через называется
параболическим, или полиномиальным, интерполированием. Когда есть тригонометрический полином, процесс
называется тригонометрическим интерполированием. Функция может быть также составлена из показательных
функций, полиномов Лежандра, функций Бесселя и т.д. В практических задачах в
качестве выбирается простейшая функция, могущая
заменить данную функцию на рассматриваемом интервале. Так как самой простой
функцией является полином, почти все основные интерполяционные функции являются
полиномиальными. В случае, когда известно, что данная функция периодична, лучше заменить ее
тригонометрическим полиномом.
Теоретическое обоснование замены данной функции полиномом или тригонометрическим полиномом опирается на две замечательные теоремы, доказанные Вейерштрассом в 1885 г. Эти теоремы можно сформулировать так.
Теорема 1. Любая
непрерывная в интервале (а, b) функция может быть заменена в нем с любой
степенью точности полиномом. Другими словами, можно найти такой полином Р(х),
что 
для каждого значения x в интервале (а, b),
причем ε есть любая положительная величина.
Теорема 2. Любая непрерывная с периодом 2π функция может быть заменена тригонометрическим полиномом вида
так, что для каждого значения х в рассматриваемом
интервале, причем ε есть любая положительная величина. Геометрический
смысл этих теорем состоит в том, что если нанести графики функций , 
и 
,
то можно найти многочлен или тригонометрический многочлен, график которого
будет находиться внутри области, ограниченной кривыми и
при всех значениях х между а и b, как бы
мало ни было ε.
При таком представлении процесса интерполирования становится понятно, что экстраполирование - это процесс вычисления значения функции, находящегося за пределами ряда заданных значений.
Экстраполирование нужно применять с осторожностью. Но если известно, что функция около концов данного ряда значений изменяется плавно, и если Δх берется достаточно малым, то можно спокойно экстраполировать на расстояние Δх за пределами ряда имеющихся значений.
Для проведения
интерполирования существует ряд формул рассматриваемых в численных методах
математического анализа. При их применении в прогнозировании следует учитывать
что если число точек неограниченно возрастает то
интерполирующий полином превращается в бесконечный ряд. называемый
интерполяционным рядом. И подобно тому как степенной ряд сходится внутри и
расходится во вне некоторого определенного интервала, так и интерполяционный
ряд сходится к заданной функции внутри некоторого интервала и перестает к ней
сходиться вне его.
Поскольку увеличение периода упреждения прогноза Δх влечет за собой увеличение степени неопределенности процессов развития системы, то в методах экстраполяции выделяют статистические методы.
Прогнозирование, основанное на использовании методов статистического анализа ретроспективных данных, допустимо в том случае, когда между прошлым и будущим имеется определенная причинно-следственная связь. Можно утверждать, что анализ ретроспективных данных служит надежной основой для принятия решений относительно будущих хозяйственных действий, однако не следует забывать, что прогностические оценки, полученные методом статистического анализа, подлежат корректировке в случае, если известны те или иные факторы, влияние которых с той или иной вероятностью ожидается в будущем.
Наиболее характерной задачей прогнозирования, которая решается в каждой фирме, является задача прогнозирования спроса на товары или услуги фирмы. Для решения этой задачи необходимо предварительное изучение рынков сбыта маркетинговыми исследованиями, которые и поставляют необходимую статистическую информацию для применения методов статистического анализа при разработке прогнозов.
Алгоритм построения прогноза методом статистического анализа состоит из следующих шагов:
§ строится график зависимости спроса от времени;
§ на основе визуального изучения графика делается предположение об аналитической форме кривой, которая наилучшим образом способна аппроксимировать ломаную на графике;
§ применяется метод наименьших квадратов для построения прогнозирующей кривой;
§ оценивается среднее значение погрешности полученных прогнозных оценок;
§ принимается решение об использовании или не использовании
§ выбранной кривой для построения прогноза.
Наиболее часто употребляемым методом построения прогнозирующей функции является метод наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов позволяет подобрать некоторую непрерывную аналитическую функцию для аппроксимации дискретного набора исходных данных. Выбор функции считается наилучшим, если сведено к минимуму стандартное отклонение по рассматриваемой временной выборке, которое определяется по формуле:
где 
— фактический спрос, наблюдаемый в t-й
период (отрезок) времени;
—
значение прогнозирующей функции для того же момента
времени;
п — число периодов (наблюдений), т. е. длина временной выборки;
f – число степеней свободы.
Суммирование ведется по всей выборке, поэтому, как это принято в статистике, нижний и верхний индексы суммирования опущены.
Минимизация 
эквивалентна минимизации 
. Поэтому задача сводится к минимизации суммы
квадратов разностей между фактическим значением спроса в момент t и тем
значением, которое принимает прогнозирующая функция.
Наиболее часто для
построения прогнозирующей функции используют линейную функцию 
, параболу 
,
гиперболу 
, многочлены более высоких порядков.
Статистические методы прогнозирования опираются на теорию вероятностей, математическую статистику и теорию случайных процессов.
К статистическим методам прогнозирования относят:
• методы многофакторного анализа (регрессионные модели,
• адаптивное сглаживание, метод группового учета аргументов,
• имитационные модели, многомерная фильтрация и др.);
• методы однофакторного прогнозирования (экспоненциальное сглаживание, метод скользящего среднего, метод разностных уравнений, спектральные методы, метод марковских цепей, оптимальные фильтры, сплайн-функции, метод авторегрессии и др.).
Прогнозирование на основе тренда и колеблемости
Прогнозирование возможных значений признаков изучаемого объекта — одна из основных задач науки. В ее решении роль статистических методов очень значительна. Одним из них является расчет прогнозов на основе тренда и колеблемости динамического ряда до настоящего времени. Если мы будем знать, как быстро и в каком направлении изменились уровни какого-то признака, то сможем узнать, какого значения достигнет уровень спустя известное время. Методика статистического прогноза по тренду и колеблемости основана на их экстраполяции, т.е. на предположении, что параметры тренда и колебаний сохраняются до прогнозируемого периода. Такая экстраполяция справедлива, если система развивается эволюционно в достаточно стабильных условиях. Чем крупнее система, тем выше вероятность сохранения параметров ее изменения, конечно, на срок не слишком большой. Обычно рекомендуют, чтобы срок прогноза не превышал 1/3 длительности базы расчета тренда.
В отличие от прогноза на основе регрессионного уравнения прогноз по тренду учитывает факторы развития только в неявном виде, и это не позволяет "проигрывать" разные варианты прогнозов при разных возможных значениях факторов, влияющих на изучаемый признак. Зато прогноз по тренду охватывает все факторы, в то время как в регрессионную модель невозможно включить в явном виде более 10—20 факторов в самом лучшем случае.
Прежде чем применить методы математического анализа для вычисления параметров уравнения тренда, необходимо выявить тип тенденции, а эта задача не является чисто математической. Наличие колебаний уровней крайне усложняет выявление типа тенденции и требует всестороннего