Эконометрика

Контрольная работа

По эконометрики

Обзор корреляционного поля


Эти данные скорее всего можно аппроксимировать при помощи линейной регрессии вида ŷ = а - b·x, как самой простой.

Рассчитаем необходимые суммы и запишем их в таблице № 1:


Таблица №1:

i

x

y

xІ

yІ

x·y

ŷ

e

A(%)

1 2,5 69 6,25 4761 172,5 66,40 2,60 6,75 3,76
2 3 65 9 4225 195 64,85 0,15 0,02 0,23
3 3,4 63 11,56 3969 214,2 63,61 -0,61 0,37 0,97
4 4,1 59 16,81 3481 241,9 61,44 -2,44 5,94 4,13
5 5 57 25 3249 285 58,65 -1,65 2,71 2,89
6 6,3 55 39,69 3025 346,5 54,61 0,39 0,15 0,70
7 7 54 49 2916 378 52,44 1,56 2,43 2,89

Сумма:

31,3 422 157,31 25626 1833,1 422,00 0,00 18,38 15,57

Среднее:

4,471 60,286 22,473 3660,857 261,871 - - - 2,22%

Ковариация между y и x рассчитывается по формуле Эконометрика, где Эконометрика, Эконометрика, Эконометрика. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение для x и y находим по формулам:


Эконометрика= 2,479, Эконометрика= 26,490, Эконометрика1,575, Эконометрика5,147.

Эконометрика = -7,692 / 2,479 = -3,103; Эконометрика= 60,286 + 3,103 · 4,471 = 74,159


Получили уравнение регрессии: ŷ = 74,159 - 3,103·х (округлено до сотых).

Оцениваем качество полученной линейной модели:

а) TSS = 25624 - (31,3І) : 7 = 185,492; RSS = TSS - ESS = 185,429 - 18,38 = 176,051, где ESS = Эконометрика= 18,38 (в таблице №1); F - статистика = RSS · (n - m - 1) : ESS = 176,051 · ·5 :18,38 = 45,45.

Табличное значение на 1% уровне значимости равно 16,26 (см. таблицу распределения Фишера - Снедекора). Фактическое значение F - статистики больше табличного на 1% уровне значимости, следовательно уравнение регрессии в целом значимо и на 5% уровне значимости.

б) Средняя ошибка аппроксимации равна (ΣА)/7 = ((ΣIy-ŷI: y) · 100%) / 7 = 15,57 / 7 = =2,22%, что говорит о хорошей аппроксимации зависимости моделью (2,22% < 6%).

Вывод: модель получилась приемлемая (в смысле аппроксимации).

в) Коэффициент корреляции находим по формуле: Эконометрика= -0,949: сильная обратная линейная зависимость.

г) Коэффициент детерминации находим следующим образом: Эконометрика = 0,901 или вариация x определяет вариацию y на 90,1%.


Проверка на соответствие условиям теоремы Гаусса - Маркова


а) По таблице №2 рассчитаем статистику Дарбина - Уотсона:


Таблица №2

i e ei-1 (ei-ei-1)І

Эконометрика=16,050 : 18,38 = 0,8734.

1 6,75 2,60 - -
2 0,02 0,15 2,598 5,996
3 0,37 -0,61 0,149 0,576
4 5,94 -2,44 -0,610 3,342
5 2,71 -1,65 -2,438 0,628
6 0,15 0,39 -1,646 4,134
7 2,43 1,56 0,388 1,373
Итого: 18,38 - -1,559 16,050

Полученное значение попадает в область неопределённости: DW Эконометрика(0,7; 1,35). Это значит, что для прояснения вопроса относительно автокорреляции остатков необходимо дальнейшее исследование ряда остатков другими методами, в которых отсутствует зона неопределённости.

б) Воспользуемся тестом серий Бройша - Годфри:


Таблица №3

t et et-1 eІt-1 et·et-1 кt (y-bx)І
1 2,598 0,149 0,022 0,387 0,074 6,371
2 0,149 -0,610 0,372 -0,091 -0,302 0,204
3 -0,610 -2,438 5,944 1,487 -1,208 0,358
4 -2,438 -1,646 2,709 4,013 -0,816 2,632
5 -1,646 0,388 0,151 -0,639 0,192 3,379
6 0,388 1,559 2,430 0,605 0,773 0,148
Итого:

-1,559

-2,598

11,628

5,763

-1,287 13,092

На основании полученных данных построим уравнение регрессии без свободного члена вида ŷ=b·x. При этом стандартная ошибка коэффициента регрессии b, рассчитанная по формуле:


Эконометрика,

Эконометрика, Эконометрика= 1,181,


что меньше значения t табл. =2,57. Это означает, что автокорреляция первого уровня отсутствует.

Однако следует отметить, что и тест Дарбина - Уотсона и тест серий Бройша - Годфри применяются только для выборок достаточно большого размера1, в то время как предложенная нам для анализа выборка состоит только лишь из семи значений.

в) При помощи критерия серий проверим случайность распределения уровней ряда остатков. С 95% вероятностью распределение ряда остатков считается случайным, если одновременно выполняются два неравенства:


1) Эконометрика


общее число серий должно быть больше двух, и 2) Эконометрика - максимальная длина серии должна быть строго меньше пяти.

Данные для расчётов получаем из таблицы № 4.


Таблица № 4. Критерий серий линейная модель не проходит:

ei ei - ei-1 серии

Число серий = 2, Продолжительность самой длинной серии

равна 3.

2 = Эконометрика= [2.079] = 2. (не выполняется),

хотя 3 < 5. Значит уровни распределены не случайно.

0,149 -2,449 +
-0,610 -0,759 +
-2,438 -1,828 +
-1,646 0,792 -
0,388 2,033 -
1,559 1,172 -

г) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверяем, используем RS-критерий:


Эконометрика= 2,63, где Эконометрика.


Значение нашего RS-критерия для 7 наблюдений практически попадает в интервал [2,67 3,69], (для 10 наблюдений) хотя и этот критерий определён для выборок более 10 единиц.

д) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена определяем отсутствие или наличие гетероскедастичности.

Таблица № 5.

Ранг Х Х I ei I Ранг еi Di DІi

Коэффициент ранговой кореляции определяется по формуле: Эконометрика


1 2,5 2,60 7 -6 36
2 3 0,15 4 -2 4
3 3,4 0,61 3 0 0
4 4,1 2,44 1 3 9
5 5 1,65 2 3 9
6 6,3 0,39 5 1 1
7 7 1,56 6 1 1

Так как абсолютное значение статистики коэффициента ранговой корелляции Эконометрика=0,175 оказалась значительно меньше табличного значения Эконометрика, то гетероскедастичность отсутствует.

Вывод: линейная модель не соответствует всем предпосылкам регрессионного анализа (условиям теоремы Гаусса-Маркова) и, хотя она пригодна для прогнозирования, но возникает вопрос о её значимости.


Доверительные интервалы для параметра b регрессии


Стандартные ошибки для параметров регрессии находим по формулам:


Эконометрика= 0,46,

Эконометрика= 2,18.


Проверим на статистическую значимость коэффициент b модели, для чего рассчитаем t-статистику по формуле Эконометрика. Полученная t-статистика равна -6,742, что по модулю больше табличного значения t = 2,57. Экономически этот параметр интерпретируется так: при изменении дохода потребителей на одну единицу объёмы продаж изменятся на -3,103 ед.

Проверим на статистическую значимость коэффициент a модели, для чего рассчитаем t-статистику по формуле Эконометрика. Полученная t-статистика равна 33,992, что больше табличного значения t = 2,57. Доверительный интервал параметра b определяем по формуле:


Эконометрика;

s = Эконометрика= 1,917,


Доверительный интервал параметра b составляет Эконометрика; или Эконометрика( tтабл. = 2.57, Δ = 2,57 · 0,4602 = 1,1827).

Проведённый анализ коэффициентов регрессии говорит о том, что параметры регрессии значимы, кроме того и уравнение регрессии в целом значимо на 1% уровне значимости (cм. выше). Это позволяет использовать построенную нами модель для получения прогнозов.


Точечный и интервальный прогнозы


Вначале находим точечный прогноз для значения х, на 25% превышающего среднее значение Эконометрика = 4,47 ( т.е. при Эконометрика = 5,589), Эконометрика. Тогда стандартная ошибка прогноза составит:


Эконометрика,

tтабл. = 2.57, Δ = 2,57 · 2,18 = 5,604.


Интервальный прогноз для точечного прогноза при Эконометрика = 5,589 (Эконометрика) составит: Эконометрика или Эконометрика.


1 Кристофер Доугерти. Введение в эконометрику. М.: Инфра М, 2001. С. 238.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: