Свойства линейной прогрессии

Министерство образования и науки Украины

Донбасская государственная машиностроительная академия


Контрольная работа

по дисциплине: «Эконометрика»


Выполнила:

студентка гр. ПВ 09-1з

Бурденюк Е.Н.


Проверила:

Гетьман И.


Краматорск 2010

1. Теоретический вопрос


Свойства линейной прогрессии

1. Прямая регрессии всегда проходит через центр рассеивания корреляционного поля, т.е. через точку (Свойства линейной прогрессии).

2. Из выражения Свойства линейной прогрессии следует, что угловой коэффициент b1 выражается через коэффициент корреляции rxy и среднее квадратичное отклонение фактора и отклика, т.е. знак b1 совпадает со знаком коэффициента корреляции (т.к.Свойства линейной прогрессии всегда).

Если rxy>0, то b1>0, a острый, связь между х и у – прямая, т.е. с ростом х у возрастает.

Если rxy<0, то b1<0, a тупой связь между х и у обратная.


2. Задача


Найдите коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке x. Сделать экономический вывод.

Свойства линейной прогрессии

X=2

Найдем производную функции Свойства линейной прогрессии,Свойства линейной прогрессии

Найдем эластичность Свойства линейной прогрессии, тогдаСвойства линейной прогрессии

Коэффициент эластичности для точки прогноза:

X=2

Свойства линейной прогрессии

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении фактора X =2 на 1% показатель Y увеличивается на 5%.

3. Задача


Для представленных данных выполнить следующее задание:

1. Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от первого фактора. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.

2. Провести эконометрический анализ нелинейной зависимости показателя от второго фактора, воспользовавшись подсказкой. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.

3. Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от двух факторов. Сделать точечный прогноз для любой точки из области прогноза. Найти частичные коэффициенты эластичности в точке прогноза.

Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по плодоовощным консервным заводам области за год характеризуются следующими данными:


№ завода Фактор Уровень рентабельности, %

Фондоотдача, грн Производительность труда, грн








1 3447 33,4 12,3
2 3710 29,1 14,7
3 2827 25,3 10,9
4 2933 27,1 16,1
5 5428 43,3 22,3
6 5001 47,2 21,1
7 6432 49,3 24,3
8 4343 35,7 13,3
9 7321 45,8 27,6
10 6432 43,4 28,3
11 6003 42,1 25,1
12 5342 40,1 20,2
13 4341 33,3 13,7
14 5040 41,2 19,9
15 4343 39,7 14,2

Нелинейную зависимость принять Свойства линейной прогрессии

Обозначим производительность труда (грн) – Х, уровень рентабельности (%) – У. Построим линейную зависимость показателя от фактора. Найдем основные числовые характеристики. Объем выборки n=15 – суммарное количество наблюдений. Минимальное значение Х=2827, максимальное значение Х=7321, значит, производительность труда изменяется от 2827 до 7321 грн. Минимальное значение У=10.9, максимальное значение У=28.3, уровень рентабельности изменяется от 10.9 до 28.3%. Среднее значение Свойства линейной прогрессии. Среднее значение производительности труда составляет 4790,53 грн, среднее значение уровня рентабельности составляет 19.41%. Дисперсия Свойства линейной прогрессии= 1748769,231, Свойства линейной прогрессии= 32,09. Среднеквадратическое отклонение Свойства линейной прогрессии1322.41, значит среднее отклонение производительности труда от среднего значения, составляет 1322.41 грн., Свойства линейной прогрессии5,66, значит среднее отклонение уровня рентабельности от среднего значения, составляет 5.66%. Определим, связаны ли Х и У между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) – нанесем точки Свойства линейной прогрессии на график. Точка с координатами Свойства линейной прогрессии=(4964; 19.41) называется центром рассеяния. По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между y и x линейная. Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции: Свойства линейной прогрессии=0,9 Так как Свойства линейной прогрессии то линейная связь между Х и У достаточная. Пытаемся описать связь между х и у зависимостью Свойства линейной прогрессии. Параметры b0, b1 находим по МНК. Свойства линейной прогрессии Так как b1>0, то зависимость между х и y прямая: с ростом производительности труда уровень рентабельности возрастает. Проверим значимость коэффициентов bi. Значимость коэффициента b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:

Свойства линейной прогрессии0,024. Значимость Свойства линейной прогрессии равна 0,98091636, т.е практически 100%. Коэффициент b0 статистически значим.

Свойства линейной прогрессии7,59. Значимость Свойства линейной прогрессии равна 6,42·10-6, т.е 0%, что меньше, чем 5%. Коэффициент b1 статистически значим. Получили модель зависимости уровня рентабельности от производительности труда Свойства линейной прогрессии

После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.

Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации: Свойства линейной прогрессии=0,827. Разброс данных объясняется линейной моделью на 82,7% и на 17,3% – случайными ошибками. Качество модели плохое.

Проверим с помощью критерия Фишера.

Для проверки найдем величины: Свойства линейной прогрессии345,19 и Свойства линейной прогрессии6. Вычисляем k1=1, k2=13. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Свойства линейной прогрессии57,6. Значимость этого значения a=0,00006, т.е. процент ошибки равен 0%, что меньше, чем 5%. Модель Свойства линейной прогрессии считается адекватной с гарантией более 95%.

Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза Свойства линейной прогрессии, х=3000

Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: Свойства линейной прогрессии

Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки xпр:


Свойства линейной прогрессии


sе – средне квадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии Свойства линейной прогрессии2,45

ty = критическая точка распределения Стьюдента для надежности g=0,9 и k2=13.

n =15.


Свойства линейной прогрессии


или Свойства линейной прогрессии

xпр – точка из области прогнозов.

Прогнозируемый доверительный интервал для любого х такой Свойства линейной прогрессии, где d(х=5000)=5,4, т.е. доверительный интервал для хпр=5000 составит от 14,08 до 25,01 с гарантией 90%.

Совокупность доверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область.

Т.е. при производительности труда 5000 грн уровень рентабельности составит от 14% до 25%.

Найдем эластичность.

Для линейной модели Свойства линейной прогрессии

Свойства линейной прогрессии

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении х=5000 на 1% показатель y увеличивается на 0,996%.

Обозначим фондоотдачу – Х, уровень рентабельности – У. Построим нелинейную зависимость показателя от фактора вида Свойства линейной прогрессии. Найдем основные числовые характеристики. Объем выборки n=15 – суммарное количество наблюдений.

Минимальное значение Х=25.3, максимальное значение Х=49.3, значит, фондоотдача изменяется от 25.3 до 49.3грн. Минимальное значение У=10.9, максимальное значение У=28.3, уровень рентабельности изменяется от 10.9 до 28.3%. Среднее значение Свойства линейной прогрессии. Среднее значение фондоотдачи составляет 38.4 грн, среднее значение уровня рентабельности составляет 18.93%.

Дисперсия Свойства линейной прогрессии=55.015, Свойства линейной прогрессии=33.16.

Среднеквадратическое отклонение Свойства линейной прогрессии7.42, значит среднее отклонение фондоотдачи от среднего значения, составляет 7.42 грн., Свойства линейной прогрессии5.76, значит среднее отклонение уровня рентабельности от среднего значения, составляет 5.76%.

Определим, связаны ли Х и У между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) – нанесем точки Свойства линейной прогрессии на график.

Точка с координатами Свойства линейной прогрессии=(38.4; 18.93) называется центром рассеяния.

По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между y и x нелинейная.

Пытаемся описать связь между х и у зависимостью Свойства линейной прогрессии. Перейдем к линейной модели. Делаем линеаризующую подстановку: Свойства линейной прогрессии, Свойства линейной прогрессии. Получили новые данные U и V. Для этих данных строим линейную модель: Свойства линейной прогрессии

Проверим тесноту линейной связи u и v. Найдем коэффициент корреляции: Свойства линейной прогрессии0,782. Между u и v сильная линейная связь.

Параметры b0, b1 находим по МНК. Свойства линейной прогрессии

Проверим значимость коэффициентов bi. Значимость коэффициента b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:

Свойства линейной прогрессии=-3,45. Значимость Свойства линейной прогрессии равна 0,004352681, т.е практически 0%. Коэффициент b0 статистически значим.

Свойства линейной прогрессии4,53. Значимость Свойства линейной прогрессии равна 0,00057, т.е практически 0%. Коэффициент b1 статистически значим.

Получили линейную модель Свойства линейной прогрессии

После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.

Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации: Свойства линейной прогрессии=0,62. Разброс данных объясняется линейной моделью на 62% и на 38% – случайными ошибками. Качество модели хорошее.

Проверим с помощью критерия Фишера.

Для проверки находим величины: Свойства линейной прогрессии 284,224 и Свойства линейной прогрессии13,85. Вычисляем k1=1, k2=13. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Свойства линейной прогрессии20,53. Значимось этого значения a=0,00057, т.е. процент ошибки практически равен 0%. Модель Свойства линейной прогрессии считается адекватной с гарантией более 62%.

Так как линейная модель адекватна, то и соответствующая нелинейная модель тоже адекватна.

Находим параметры исходной нелинейной модели: а=b1=-3,45; b= b0=4,53.

Вид нелинейной функции: Свойства линейной прогрессии.

Т.е. зависимость уровня рентабельности от фондоотдачи имеет вид: Свойства линейной прогрессии.

Найдем прогноз на основании модели. Выберем произвольную точку из области прогноза [25.3; 49.3], х=1

Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: Свойства линейной прогрессии

Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки. Для этого найдем полуширину для линейной модели:


Свойства линейной прогрессии


sе – средне квадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии Свойства линейной прогрессии3,721341

Свойства линейной прогрессии

uпр – точка из области прогнозов. Прогнозируемый доверительный интервал для любого u такой Свойства линейной прогрессии

Для нелинейной модели найдем доверительный интервал, воспользовавшись обратной заменой: Свойства линейной прогрессии Совокупность доверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область.

Прогноз для х=1 составит от 5,31 до 22,58 с гарантией 90%.

Т.е. при фондоотдаче 1 грн. уровень рентабельности составит от 5.31% до 22.58%.

Найдем эластичность.


Свойства линейной прогрессии,


где Свойства линейной прогрессии

Коэффициент эластичности для точки прогноза:

Свойства линейной прогрессии

Коэффициент эластичности для точки прогноза:

Свойства линейной прогрессии

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении фондоотдачи 1 грн. на 1% уровень рентабельности увеличивается на 1.57%.

Обозначим производительность труда – Х1 грн., фондоотдачу - Х2 грн, уровень рентабельности – У %. Построим линейную зависимость показателя от факторов. Найдем основные числовые характеристики. Объем выборки n=15 – суммарное количество наблюдений. Минимальное значение Х1=2827, максимальное значение Х1=7321, значит, производительность труда изменяется от 2827 до 7321грн. Минимальное значение Х2=25.3, максимальное значение Х2=49.3, значит, фондоотдача изменяется от 25.3 до 49.3грн. Минимальное значение У=10.9, максимальное значение У=28.3, уровень рентабельности изменяется от 10.9 до 28.3%. Среднее значение

Свойства линейной прогрессии


Среднее значение производительности труда составляет 4862,87 грн, среднее значение фондоотдачи составляет 38.4 грн., среднее значение уровня рентабельности составляет 18.93%.

Дисперсия Свойства линейной прогрессии=1777276,41, Свойства линейной прогрессии=55,016 Свойства линейной прогрессии=33.16.

Среднеквадратическое отклонение Свойства линейной прогрессии1333.15, значит среднее отклонение производительности труда от среднего значения, составляет 1333.15грн., среднеквадратическое отклонение Свойства линейной прогрессии7.42, значит среднее отклонение фондоотдачи от среднего значения, составляет 7.42грн.Свойства линейной прогрессии5.76, значит среднее отклонение уровня рентабельности от среднего значения, составляет 5.76%.

Прежде чем строить модель, проверим факторы на коллинеарность. По исходным данным cтроим корреляционную матрицу. Коэффициент корреляции между X1 и X2 равен 0,88. Так как Свойства линейной прогрессии, значит X1 и X2 – неколлинеарные

Определим, связаны ли Х1, Х2 и У между собой.

Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции: r=0,898. Так как Свойства линейной прогрессии то линейная связь между Х1, Х2 и У достаточная.

Пытаемся описать связь между х и у зависимостью Свойства линейной прогрессии.

Параметры b0, b1, b2 находим по МНК. Свойства линейной прогрессии.

Проверим значимость коэффициентов bi.

Значимость коэффициента b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:

Свойства линейной прогрессии 0,062. Значимость Свойства линейной прогрессии равна 0,951, т.е приблизительно 95%. Так как это значение намного больше 5%, то коэффициент b0 статистически не значим.

Свойства линейной прогрессии 3,94. Значимость Свойства линейной прогрессии равна 0,00195, т.е 0.2%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b1 статистически значим.

Свойства линейной прогрессии-0,21. Значимость Свойства линейной прогрессии равна 0,837, т.е 83%. Так как это значение больше 5%, то коэффициент b2 статистически не значим.

Проверим адекватность.

Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации: Свойства линейной прогрессии=0,843. Разброс данных объясняется линейной моделью на 84% и на 16% – случайными ошибками. Качество модели хорошее.

Проверим с помощью критерия Фишера.

Для проверки найдем величины: Свойства линейной прогрессии195.69 и Свойства линейной прогрессии6.073. Вычисляем k1=2, k2=12. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Свойства линейной прогрессии32.22 Значимось этого значения a=0,000015, т.е. процент ошибки равен 0,0015%. Так как это значение меньше 5%, то модель Свойства линейной прогрессии считается адекватной с гарантией более 99%.

Получили модель зависимости уровня рентабельности плодоовощным консервным заводам области от производительности труда и фондоотдачи Свойства линейной прогрессии

Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза:Свойства линейной прогрессии х1=5000, х2=30. Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: Свойства линейной прогрессии

Т.е. при производительности труда 5000 грн и фондоотдаче 1 грн уровень рентабельности составит 19.84%.

Найдем эластичность по каждому фактору.

Для линейной модели


Свойства линейной прогрессии,


Свойства линейной прогрессии.

Коэффициент эластичности показывает, что увеличении производительности труда с 5000 грн. на 1% и при фондоотдаче 30 грн., уровень рентабельности увеличится с 19.84 грн на 1.05%.

Для линейной модели


Свойства линейной прогрессии,


Свойства линейной прогрессии.

Коэффициент эластичности показывает, что при производительности труда 5000 грн. и увеличении удельного фондоотдачи с 30грн. на 1%, уровень рентабельности уменьшится с 19.84 грн на 0,06%.

Для увеличения рентабельности заводов целесообразней увеличивать производительность труда при неизменной фондоотдаче.

Использованная литература


1. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш и др. - М.: ЮНИТИ, 1999. - 391 с.

2. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL. Практикум: Учебное пособие для вузов. - М.: Финстатинформ, 2000.- 136 с.

3. Компьютерные технологии экономико-математического моделирования: Учебное пособие для вузов / Д.М. Дайитбегов, И.В. Орлова. - М.: ЮНИТИ, 2001.

4. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.

5. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / Под ред. И.И. Елисеевой - М.: Финансы и статистика, 2001.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: