Теория вероятностей

Задание 1

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен равна 0,7; второй – 0,95; третий – 0,45. Вычислить вероятность того, что студент сдаст:

а) один экзамен;

б) ни одного экзамена;

в) хотя бы два экзамена.


Решение:

а) Введем обозначения:

событие А – «студент сдаст только один экзамен»;

событие А1 - «студент сдаст 1-ый экзамен»

событие А2 - «студент сдаст 2-ой экзамен»

событие А3 - «студент сдаст 3-ий экзамен»

В соответствии с условием задачи:

Р(А1)=0,7 Р(А2)=0,95 Р(А3)=0,45

Тогда противоположные события, т.е. события «студент не сдаст i-ый экзамен» Теория вероятностей, имеют вероятности, соответственно:

Теория вероятностей, Теория вероятностей, Теория вероятностей

Событие А можно представить в виде: Теория вероятностей

Указанные слагаемые представляют собой несовместные события, поэтому по теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

Теория вероятностей.

Так как события Теория вероятностей независимые, то, применяя теорему умножения вероятностей независимых событий, имеем:

Теория вероятностей

Таким образом, вероятность того, что студент сдаст только один экзамен, равна Теория вероятностей

б) Введем обозначения:

событие В – «студент не сдаст ни одного экзамена»;

Теория вероятностей

Таким образом, вероятность того, что студент не сдаст ни одного экзамена, равна Теория вероятностей

в) Введем обозначения:

событие С – «студент сдаст хотя бы два экзамена»,

Так как в результате данного испытания могут появиться три события: Теория вероятностей, то появление хотя бы двух из них означает наступление либо двух, либо трех событий.

Следовательно, применяя теорему появления независимых событий, имеем:

Теория вероятностей

Таким образом, вероятность того, что студент сдаст хотя бы два экзамена, равна Теория вероятностей

Ответ: Теория вероятностей; Теория вероятностей; Теория вероятностей

Задание 2

На фабрике производятся швейные изделия. Вероятность появления брака равна 0,10. Была введена упрощенная сиситема контроля изделий, состоящая из двух независимых проверок. В результате k-ой проверки (k=1, 2) изделие удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью, Теория вероятностей, а бракованное изделие принимается с вероятностью Теория вероятностей. Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. Найти вероятности событий:

а) бракованное изделие будет принято;

б) изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано;

в) случайно взятое на проверку швейное изделие будет отбраковано;

г) отбракованное изделие удовлетворяет стандарту;

д) из 5 изделий, взятых на проверку, 1 изделие будет удовлетворять стандарту.

Теория вероятностей; Теория вероятностей; Теория вероятностей;Теория вероятностей


Решение:

Пусть А – событие, состоящее в том, что изделие удовлетворяет стандарту, Теория вероятностей - изделие не удовлетворяет стандарту, Теория вероятностей - изделие принимается при k-ой проверке; Теория вероятностей - изделие бракуется при k-ой проверке.

а) определим вероятность того, что бракованное изделие будет принято. Так как заранее известно, что изделие с браком, то вероятность события Теория вероятностей не учитывается. Чтобы это изделие было принято, должно произойти событие Теория вероятностей, т.е. бракованное изделие принимается полсе обеих проверок. Вероятность этого события равна:

Теория вероятностей

б) найдем вероятность того, что изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано. Здесь известно по условию, что оно уже удовлетворяет стандарту. Значит соответствующее событие будет равно сумме двух событий: 1 – изделие отбраковано при первой проверке Теория вероятностей; 2 – изделие было принято при первой проверке, но отбраковано при второй: Теория вероятностей. Знаяит вероятность будет равна:

Теория вероятностей

в) пусть С – событие, состоящее в том, что случайно взятое изделие на проверку будет отбраковано. Изначально нам не известно, какое изделие идет на проверку.

Возможны две гипотезы:

Н1 – на проверку идет изхделие, удовлетворяющее стандарту;

Н2 – на проверку идет бракованное изделие.

По условию,

Р(Н1)=1-р=1-0,10=0,90

Р(Н2)=р=0,10

Вероятность искомого события найдем по формуле полной вероятности. Если событие может произойти лишь при условии наступления какого-либо из несовместных событий-гипотез, образующих полную группу (т.е. какое-то одно из них обязательно наступает), то его вероятность равна сумме произведений вероятностей этих гипотез на условные вероятности искомого события при условии, что соответствующие гипотезы произошли. Таким образом, при двух гипотезах

Р(С)=Р(Н1)Р(С/Н1)+Р(Н2)Р(С/Н2)

Р(С/Н1)=р2=0,0592

Р(С/Н2)=1-р1=1-0,000006=0,999994

Следовательно,

Р(С)=0,90*0,0592+0,1*0,999994=0,05328+0,0999994=0,1532794

г) Отбракованное изделие удовлетворяет стандарту. Следовательно произошла гипотеза Н1, при условии что наступило событие С. Вероятность этого события найдем по формуле Байеса, которая служит для переоценки вероятностей гипотез после того, как стало известно, что основное событие произошло. Таким образом,

Теория вероятностей

д) Найдем вероятность р3 того, что одно случайно взятое на проверку изделие удовлетворяет стандарту. Это событие противоположно событию С. Значит, р3=1-Р(С)=1-0,1532794=0,8467206

Для нахождения вероятности тог, что из 5 изделий, взятых на проверку, только одно будет удовлетворять стандарту, воспользуемся формулой Бернулли. Теория вероятностей.

Теория вероятностей

Ответ: а) Теория вероятностей;

б) Теория вероятностей;

в) Р(С)=0,1532794;

г) Теория вероятностей;

д) Теория вероятностей

Задание 3

Вероятность появления события в каждом из n=112 независимых испытаний постоянна и равна р=0,1. Найти вероятность того, что событие наступит не мене 10 и не более 14 раз.


Решение:

Вероятность того, что из n=112 испытаний, событие А - появится от m1=10 до m2=14, вычислим по формуле:

Теория вероятностей

Где

Теория вероятностей

По условию вероятность появления события, равна р=0,1.

Значит q=1-0,1=0,9

Согласно условию,

Теория вероятностей

Значит,Теория вероятностей

Таким образом, вероятность наступления событии от 10 до 14 раз, равна Теория вероятностей

Ответ: вероятность наступления событии от 10 до 14 раз, равна Теория вероятностей

Задание 4

СВ Х задана функцией распределение F(х). Найти:

а) плотность распределения вероятностей;

б) математическое ожидание и дисперсию СВ Х;

в) построить графики функций F(x) и f(x)

Теория вероятностей


Решение:

1) Плотность распределения вероятности

Теория вероятностей

2) Вычислим числовые характеристики случайной величины Х:

Математическое ожидание М(Х) =Теория вероятностей,

Дисперсия D(X)=Теория вероятностей

Cреднее квадратическое отклонение Теория вероятностей(Х)=Теория вероятностей

3) Построим графики функций F(Теория вероятностей) и p(Теория вероятностей).


Теория вероятностей


Теория вероятностей

Ответ: 1)Теория вероятностей

2) М(Х)=1, D(X)=Теория вероятностей, Теория вероятностей=Теория вероятностей

Задание 5

Детали, выпускаемые цехом, по размерам распределяются по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание а=8 см, дисперсия Теория вероятностей.

Определить:

вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры от Теория вероятностей до Теория вероятностей;

в каких границах следует ожидать размер диаметра, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна р=0,9934.


Решение:

Для вычисления вероятности того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры от Теория вероятностей до Теория вероятностей, воспользуемся формулой, по которой найдем вероятность попадания нормальной СВ Х в интервал Теория вероятностей:

Теория вероятностей

где Ф(х) - функция Лапласа.

Значит вероятность равна:

Теория вероятностей

По таблице значений функции Лапласа находим: Теория вероятностей, Теория вероятностей.

Значит, Теория вероятностей

Рассмотрим событие Теория вероятностей, где Теория вероятностей. Будем считать, что вероятность этого события равна р=0,9934:

Теория вероятностей

По условию известно, что а=8 Теория вероятностей и Теория вероятностей.

Так как Теория вероятностей

Значит, по таблице значений функции Лапласа находим, что Теория вероятностей. Следовательно, Теория вероятностей.

Из неравенства Теория вероятностей, получаем

Теория вероятностей

Значит, с вероятностью 0,9934 следует ожидать, что контролируемый размер детали будет заключен в границах от 7,7824 см до 8,2176 см.


Задание 6

В результате статистических наблюдений некоторой совокупности относительно количественного признака Х были получены данные, записанные в виде статистического ряда.

22 19 21 21 18 22 19 23 23 16
22 23 17 23 28 24 22 19 24 20
24 22 26 21 16 12 19 24 23 21
26 24 19 14 25 21 26 18 18 28
21 21 18 17 24 18 31 21 18 22
21 21 21 19 11 24 16 20 22 15
25 23 21 22 18 17 19 19 27 13
23 13 27 24 25 21 24 17 18 19
24 19 17 24 16 24 24 19 25 20
21 16 16 20 19




Требуется:

составить дискретный или интервальный ряд распределения частот и относительных частот СВ Х и построить полигон или гистограмму частот;

Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины и построить ее график.

Вычислить числовые характеристики данного эмпирического распределения: среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

выдвинуть гипотезу о виде распределения рассматриваемой СВ Х. Обосновать выбор вида распределения. Написать аналитическое выражение функции плотности для выбранного распределения, найти теоретические частоты и теоретическую интегральную функцию распределения.

приняв уровень значимости 0,05 или 0,01, по критерию согласия Пирсона проверить гипотезу о виде распределения;

для подтвердившегося нормального распределения найти вероятность попадания признака в интервал Теория вероятностей

Решение:

1. Для построения интервального ряда расположим различные значения признака в порядке возрастания значений. И посчитаем частоту каждого из значений. Получаем таблицу 2.

xi

mx

xi

mx

xi

mx

11 1 20 4 31 1
12 1 21 14

13 2 22 8

14 1 23 7

15 1 24 13

16 6 25 4

17 5 26 3

18 8 27 2

19 12 28 2

Таким образом, видим, что xmin=11; xmax=31. Разобьем множество значений выборки на интервалы.

Найдем длину интервала: Теория вероятностей

Длина каждого интервала будет равна: Теория вероятностей

Таким образом, получаем вариационный ряд:

интервал

середина интервала, xi

частота, mi

11 15 13 6
15 19 17 31
19 23 21 33
23 27 25 22
27 31 29 3

Σ
95

2. Строим гистограмму и полигон частостей случайной величины.

а) Для построения полигона частот на оси абсцисс откладываем варианты хi (середины данных интервалов), а на оси ординат - соответствующие им частоты; соединив точки (xi;mx) получим искомый полигон частот.

Теория вероятностей

б) Для построения гистограммы частот, на оси абсцисс откладываем заданные интервалы длины h=4. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся на расстояниях, равных соответствующим частотам.


3. Найдем эмпирическую функцию распределения СВ и построим ее график.

Для построения эмпирической функции распределения F* воспользуемся округлением, то есть снова возьмем середины интервалов.

При значениях аргумента, лежащих левее середины первого интервала, то есть при Теория вероятностей.

При значениях х, заключенных в интервале Теория вероятностей, Теория вероятностей.

При значениях х, заключенных в интервале Теория вероятностей, Теория вероятностей

При значениях х, заключенных в интервале Теория вероятностей, Теория вероятностей

При значениях х, заключенных в интервале Теория вероятностей, Теория вероятностей

При значениях х, заключенных в интервале Теория вероятностей, Теория вероятностей

Таким образом, получаем значения и график эмпирической функции распределения:

Теория вероятностей


Теория вероятностей


4. Вычислим основные числовые характеристики данного эмпирического распределения:

Для упрощения расчетов составим таблицу:

интервал

середина интервала, xi

частота, mi

ximi

xi2mi

11 15 13 6 78 1014
15 19 17 31 527 8959
19 23 21 33 693 14553
23 27 25 22 550 13750
27 31 29 3 87 2523

Σ


95

1935

40799

Таким образом,

выборочная средняя равна:

Теория вероятностей

выборочная дисперсия:

Теория вероятностей

выборочное среднее квадратическое отклонение:

Теория вероятностей

Найдем точечные оценки параметров нормального распределения.

Точечной оценкой математического ожидания является выборочная средняя: Теория вероятностей

Точечной несмещенной оценкой дисперсии является несмещенная выборочная дисперсия:

Теория вероятностей тогда Теория вероятностей

Гипотетическая функция плотности соответствующего нормального распределения имеет вид: Теория вероятностей

Функция распределения имеет вид: Теория вероятностей

5. Проверим гипотезу о том, что данные получены из нормально распределенной генеральной совокупности с уровнем значимости a=0,01.

Составим расчетную таблицу.

интервал

середина

интервала,

xi

частота,

mi

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

pi

n'i=npi

mi-n'i

(mi-n'i)2

(mi-n'i)2/n'i

11 15 13 6
-1,40 -0,500 -0,419 0,081 7,676 -1,676 2,808976 0,365943
15 19 17 31 -1,40 -0,36 -0,419 -0,141 0,279 26,467 4,533 20,548089 0,776366
19 23 21 33 -0,36 0,69 -0,141 0,255 0,396 37,5725 -4,5725 20,90775625 0,556464
23 27 25 22 0,69 1,73 0,255 0,458 0,203 19,3135 2,6865 7,21728225 0,373691
27 31 29 3 1,73
0,458 0,500 0,042 3,971 -0,971 0,942841 0,237432

Σ


95





1,000

95



2,309896


Где Теория вероятностей. Таким образом Теория вероятностей.

По таблице критических точек распределения Теория вероятностей, по уровню значимости Теория вероятностей и числу степеней свободы Теория вероятностей находим критическую точку правосторонней критической области Теория вероятностей.

Так как Теория вероятностей - гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем.

Теперь для отыскания вероятности попадания признака Х в интервал
(20,37-5;20,37+3)=(15,37;23,37) воспользуемся формулой:

Теория вероятностей где Ф(х) - функция Лапласа.

У нас

Теория вероятностей

Задание 7

Приводятся результаты наблюдений (хi;yi) над двумерной СВ (Х,У). Используя эти экспериментальные данные, необходимо:

определить числовые характеристики выборки Теория вероятностей;

условные средние значения величин Х и Y;

коэффициент корреляции;

параметры эмпирической линейной функции регрессии Y на Х и X на Y и построить их графики;

При уровне значимости α=0,05 проверить адекватность линейной регрессии исходным данным.

написать выборочные уравнения прямых линий регрессии у на х и х на у;

вычислить коэффициент корреляции и проверить гипотезу о значимости коэффициента линейной корреляции при α=0,01;


5

9

13

17

21

25

nу

3






3

3

8




6 7 2

15

13


4 10 25

39

18


8 7 4

19

23


5 2


7

28

3 1 1 2

7

nх

3

18

20

37

7

5

90


Решение:

Для всех вычислений, составим таблицу:


5

9

13

17

21

25

nхx

nхx2

3






3

3

9 27

8




6 7 2

15

120 960

13


4 10 25

39

507 6591

18


8 7 4

19

342 6156

23


5 2


7

161 3703

28

3 1 1 2

7

196 5488

ny

3

18

20

37

7

5

90

1335

22925

nyy

15 162 260 629 147 125

1338

nyy2

75 1458 3380 10693 3087 3125

21818

XiYj mxy

0 0 0 0 0 225
0 0 0 816 1176 400
0 468 1690 5525 0 0
0 1296 1638 1224 0 0
0 1035 598 0 0 0
420 252 364 952 0 0

18079


1) Найдем средние, дисперсии, исправленные дисперсии, среднеквадратические отклонения:

Найдем выборочные средние

Теория вероятностей Теория вероятностей

Найдем выборочные дисперсии

Теория вероятностей Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Выборочные среднеквадратические отклонения

Теория вероятностей

Теория вероятностей

2) Найдем условные

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: