Управление запасами

width="15" height="22" align="BOTTOM" border="0" /> необходимо решить уравнение


Управление запасами (3.6)


Здесь Управление запасами – найденный с помощью соотношения (3.5) верхний критический уровень запасов. Расчет нижнего критического уровня в общем виде даже для известного распределения спроса представляет собой непростую задачу.

Однако если параметры распределения известны, то при нахождении Управление запасами можно избежать многих трудностей. Один подобный пример мы рассмотрим позже. Сейчас ограничимся нахождением верхнего уровня Управление запасами для различных распределений спроса.

При равномерном распределении спроса

Управление запасами


соотношение (3.5) примет вид Управление запасами. Следовательно, оптимальный верхний уровень Управление запасами пополнения запасов для равномерного распределения спроса находится из соотношения


Управление запасами (3.7)


Для усеченного нормального распределения спроса (х ≥ 0) с параметрами а и σ уравнение (3.5) превращается в


Управление запасами


где Управление запасами – функция Лапласа. Таким образом, верхний уровень Управление запасами находится из уравнения


Управление запасами (3.8)

В случае показательного распределения спроса Управление запасами и для Управление запасами имеем


Управление запасами


и (3.9)


Управление запасами


Пример 2. Нахождение оптимальных нижнего и верхнего критических уровней запаса при равномерно распределенном спросе

Рассчитать критические уровни Управление запасами и Управление запасами запасов в статистической модели управления запасами с равномерным распределением спроса


Управление запасами


и мгновенной поставкой. Известно, что с = 0,1, hT = 5, pT = 10, g = 4.

Рассчитаем критическое число


Управление запасами


Найдем верхний уровень Управление запасами из соотношения (3.7): Управление запасами

Нижний критический уровень Управление запасами найдем из уравнения (3.6):

Управление запасами


где


Управление запасами


С учетом исходных данных имеем


Управление запасами


Далее вычислим Управление запасами И наконец, найдем нижний критический уровень Управление запасами как меньший корень уравнения


Управление запасами


или, что одно и то же,


Управление запасами


откуда Управление запасами

В соответствии со стратегией двух уровней Управление запасамии Управление запасами:

при z < 1,67 необходимо пополнить запас до уровня 3,3 единицы,

при z ≥ 1,67 ничего заказывать не надо.

В случае дискретного распределенного спроса

Управление запасами


Соответственно


Управление запасами


Вычислим приращение расходов при увеличении запаса на единицу:


Управление запасами

Покажем существование и единственность оптимального значения Управление запасами, для чего исследуем знак приращения Управление запасами. При Управление запасами справедливо соотношение Управление запасами, при Управление запасамивыполняется условие Управление запасами.

Монотонность функции Управление запасами обеспечивает однократность смены знака приращения. Очевидно, выбор Управление запасами должен производиться из условия одновременного выполнения неравенств Управление запасами и Управление запасами, которые могут быть сведены к системе неравенств для определения верхнего уровня Управление запасами, имеющей вид


Управление запасами (3.10)


Нижний критический уровень Управление запасами найдем с помощью соотношения


Управление запасами (3.11)


аналогично (3.6).

Таким образом, в качестве Управление запасами выбирается такое наименьшее целое значение z, при котором неравенство (3.11) выполняется последний раз.

Пример 3. Нахождение верхнего и нижнего критических уровней при дискретно распределенном спросе

Агропромышленное объединение планирует заказать несколько грузовых автомобилей на автопредприятии для уборки сельскохозяйственной продукции. Издержки, связанные с обслуживанием одного автомобиля (в том числе расходы на бензин и др.) в течение уборочного периода, оцениваются в 3 тыс. руб. Потери объединения в случае нехватки одного автомобиля составляют 9 тыс. руб. Накладные расходы при доставке автомашин на место и обратно (по железной дороге) равны 2 тыс. руб. Необходимое количество автомобилей – случайная величина (зависящая от урожая, погодных условий и др.) с рядом распределения


Х 4 5 6
Р(Х) 1/3 1/3 1/3

Найти оптимальную стратегию пополнения парка автомобилей, т.е. значения Управление запасами и Управление запасами при отсутствии задержки в поставке.

Параметры задачи: Управление запасами тыс. руб., Управление запасами тыс. руб., Управление запасами тыс. руб., с=0. Определим критическое число Управление запасами Теперь найдем верхний уровень Управление запасами. Функция распределения Управление запасами впервые превысит число R при Х=6, следовательно, Управление запасами.

Для определения Управление запасами найдем наименьшее значение z, для которого последний раз выполнено неравенство


Управление запасами


(так как с=0). Полагаем, что все денежные суммы кратны тысяче. Вычислим Управление запасами


Управление запасами


Вычислим Управление запасами


Управление запасами


Так как 4 ≤ 2 + 3, то Управление запасами.

Вычислим Управление запасами


Управление запасами


Неравенство 9 ≤ 2 + 3 не выполняется, значит, Управление запасами

Итак, Управление запасами, Управление запасами. Отсюда следует, что при z < 5 парк автомобилей необходимо пополнить до Управление запасами; при z ≥ 5 пополнять его не нужно.

Расчет планового объема поставок при вероятностном спросе с фиксированной задержкой поставки

Рассмотренные выше модели с вероятностным спросом управлялись либо стратегией «двух уровней» Управление запасами,либо стратегией Управление запасами, когда заказ на пополнение запаса выдается через равные промежутки времени Т, а объем заказа – величина не постоянная, определяемая верхним уровнем Управление запасами. Переход к минимизации затрат за единицу времени по обоим параметрам стратегии обычно затруднен вследствие сложного характера зависимости распределения спроса от времени. В связи с этим при отсутствии регламентированной периодичности поставок удобно перейти к стратегии Управление запасами с нижним критическим уровнем и фиксированным объемом поставок.

Предположим, что недостачи товара в модели случаются редко, средняя величина дефицита мала сравнительно с q, а время его существования значительно меньше среднего интервала между поставками (при достаточно высокой цене штрафа все перечисленные условия должна выполняться). При этих предположениях средний уровень запаса составит Управление запасами, а затраты на содержание – Управление запасами в единицу времени. В каждом периоде, кроме того, будут выплачиваться стоимость заказа g и штраф, среднее значение которого составит


Управление запасами


где f(x) – плотность распределения спроса за время между выдачей заказа (момент достижения Управление запасами) и получением восполнения. Количество периодов в единицу времени, очевидно, равно Управление запасами. Следовательно, суммарные ожидаемые затраты в единицу времени могут быть подсчитаны следующим образом:


Управление запасами. (3.12)

Приравнивая к нулю Управление запасами и Управление запасами, убеждаемся, что оптимальные параметры стратегии должны удовлетворять соотношениям


Управление запасами (3.13)


и


Управление запасами. (3.14)


Указанная система уравнений легко расширяется итерационным способом: задавшись начальным значением Управление запасами, представляют его в (3.14) и получают Управление запасами. Подстановка последнего в (3.13) дает Управление запасами и т.д. Процесс повторяется до тех пор, пока значения параметров в последовательных итерациях не окажутся достаточно близки друг к другу. Последняя пара значений Управление запасами и принимается за оптимальный надор параметров. Начальное значение Управление запасами целесообразно определять по формуле (2.14), т.е. следует положить Управление запасами.

Начальное приближенное по своей величине обычно оказывается достаточно близким к конечному результату. Однако более строгим критерием качества приближенного решения является сравнение затрат. Оценим относительное увеличение затрат от неточного определения Управление запасами и Управление запасами при экспоненциально распределенном спросе за время задержки. При средней интенсивности спроса µ и задержке τ плотность распределения спроса за время τ равна Управление запасами, а математическое ожидание дефицита –


Управление запасами.


Отметим, что Управление запасами. Следовательно, в нашем случае при оптимальном выборе q


Управление запасами. (3.15)


Подставим этот результат в (2.17), для нахождения оптимального Управление запасами имеем уравнение


Управление запасамиУправление запасами, (3.16)


откуда


Управление запасами. (3.17)


Соответственно

Управление запасами. (3.18)


Перепишем (3.17) в виде


Управление запасами,


где коэффициент перед скобкой равен приближенному значению Управление запасами, определяемому согласно (2.14), а Управление запасами – отношение среднего спроса за время задержки к Управление запасами. При малом Управление запасами, что следует считать типичным для практики, можно записать


Управление запасами. (3.19)


Найдем разность затрат в единицу времени Управление запасами с помощью формулы (3.12), используя (3.16):


Управление запасами


Таким образом,

Управление запасами.


Используя приближенные и допустимые при малых Управление запасами разложения функции в ряд


Управление запасами


и


Управление запасами,


получаем


Управление запасами


Так как


Управление запасами, то Управление запасами и

Управление запасами (3.20)

т.е. увеличение затрат за счет приближенного определения q примерно пропорционально времени задержки поставки.

Пример 4. Оценка величины погрешности функции затрат при фиксированной задержке поставки

Положим Управление запасамиp = 100, h = 6, g = 20, µ = 5 и τ = 0,3. При этом приближенные значения параметров стратегии будут равны Управление запасами; соответственно уточненные значения (при q, определяемом из (3.17)), суть Управление запасами и Управление запасами. Математическое ожидание затрат для стратегии Управление запасами составляет 67,7 а для Управление запасами – 66,3 единицы, т.е. разница Управление запасами, единицы, или 1,9 % Управление запасами.

Проверим качество приближенной оценки величины Управление запасами, рассчитанной по формуле (3.19). в нашем случае Управление запасами, откуда Управление запасами. Таким образом, порядок погрешности формула (3.19) указывает верно.

При других способах расчета штрафа форма записи системы (3.13) – (3.14) меняется очевидным образом. Так, при расчете штрафа, связанного с недостачей, носящей стохастический характер, оптимальный набор Управление запасами определяется по формулам


Управление запасами (3.21)


а при учете величины и времени существования дефицита – с помощью соотношений

Управление запасами


Эти системы тоже решаются методом итераций.

Приближенные методы планирования поставок при их случайной издержке

Небольшой разброс фактических моментов прибытия поставок относительно предусмотренных позволяет планировать организацию снабжения методами, рассмотренными выше. В связи с неопределенностью момента прибытия поставки применение периодических стратегий Управление запасами и Управление запасами в данном случае оказывается невыгодным, и оптимизация проводится в классе стратегий с нижним критическим уровнем – обычно Управление запасами.

В качестве примера рассмотрим пуассоновский спрос интенсивности и экспоненциально распределенное время задержки поставок со средним, равным 1/λ.

Найдем распределение спроса за время задержки. Вероятность того, что спрос будет равен х, очевидно, составит


Управление запасами.


Последний интеграл может быть представлен в виде


Управление запасами

и выражен через гамма-функцию Управление запасами (для целых х). таким образом,


Управление запасами, (3.23)

т.е. спрос за время издержки имеет отрицательное биноминальное распределение. Математическое ожидание недостач при страховом запасе Управление запасами составит


Управление запасами.


Первая из этих сумм


Управление запасами


представляет собой арифметико-геометрическую прогрессию. Сумма членов прогрессии вида Управление запасами записывается в виде


Управление запасами.


В интересующем нас случае d = 0 и r = 1, так что


Управление запасами.

С помощью этой формулы легко получить более общее соотношение:


Управление запасами.


Его предельным случаем при Управление запасами и Управление запасами является


Управление запасами.


Таким образом,


Управление запасами.


Вторая сумма – обычная геометрическая прогрессия:


Управление запасами.


Следовательно, математическое ожидание недостач


Управление запасами.

Для облегчения процесса минимизации затрат предположим, что q и Управление запасами – любые действительные числа. Тогда мы сможем найти оптимальные q и Управление запасами из системы уравнений (3.13 – 3.14), в нашем случае принимающей вид


Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: