Управление запасами

(3.6)

Здесь – найденный с помощью соотношения (3.5) верхний критический уровень запасов. Расчет нижнего критического уровня в общем виде даже для известного распределения спроса представляет собой непростую задачу.

Однако если параметры распределения известны, то при нахождении можно избежать многих трудностей. Один подобный пример мы рассмотрим позже. Сейчас ограничимся нахождением верхнего уровня для различных распределений спроса.

При равномерном распределении спроса

соотношение (3.5) примет вид . Следовательно, оптимальный верхний уровень пополнения запасов для равномерного распределения спроса находится из соотношения

(3.7)

Для усеченного нормального распределения спроса (х ≥ 0) с параметрами а и σ уравнение (3.5) превращается в

где – функция Лапласа. Таким образом, верхний уровень находится из уравнения

(3.8)

В случае показательного распределения спроса и для имеем

и (3.9)

Пример 2. Нахождение оптимальных нижнего и верхнего критических уровней запаса при равномерно распределенном спросе

Рассчитать критические уровни и запасов в статистической модели управления запасами с равномерным распределением спроса

и мгновенной поставкой. Известно, что с = 0,1, hT = 5, pT = 10, g = 4.

Рассчитаем критическое число

Найдем верхний уровень из соотношения (3.7):

Нижний критический уровень найдем из уравнения (3.6):

где

С учетом исходных данных имеем

Далее вычислим И наконец, найдем нижний критический уровень как меньший корень уравнения

или, что одно и то же,

откуда

В соответствии со стратегией двух уровней и :

при z < 1,67 необходимо пополнить запас до уровня 3,3 единицы,

при z ≥ 1,67 ничего заказывать не надо.

В случае дискретного распределенного спроса

Соответственно

Вычислим приращение расходов при увеличении запаса на единицу:

Покажем существование и единственность оптимального значения , для чего исследуем знак приращения . При справедливо соотношение , при выполняется условие .

Монотонность функции обеспечивает однократность смены знака приращения. Очевидно, выбор должен производиться из условия одновременного выполнения неравенств и , которые могут быть сведены к системе неравенств для определения верхнего уровня , имеющей вид

(3.10)

Нижний критический уровень найдем с помощью соотношения

(3.11)

аналогично (3.6).

Таким образом, в качестве выбирается такое наименьшее целое значение z, при котором неравенство (3.11) выполняется последний раз.

Пример 3. Нахождение верхнего и нижнего критических уровней при дискретно распределенном спросе

Агропромышленное объединение планирует заказать несколько грузовых автомобилей на автопредприятии для уборки сельскохозяйственной продукции. Издержки, связанные с обслуживанием одного автомобиля (в том числе расходы на бензин и др.) в течение уборочного периода, оцениваются в 3 тыс. руб. Потери объединения в случае нехватки одного автомобиля составляют 9 тыс. руб. Накладные расходы при доставке автомашин на место и обратно (по железной дороге) равны 2 тыс. руб. Необходимое количество автомобилей – случайная величина (зависящая от урожая, погодных условий и др.) с рядом распределения

Найти оптимальную стратегию пополнения парка автомобилей, т.е. значения и при отсутствии задержки в поставке.

Параметры задачи: тыс. руб., тыс. руб., тыс. руб., с=0. Определим критическое число Теперь найдем верхний уровень . Функция распределения впервые превысит число R при Х=6, следовательно, .

Для определения найдем наименьшее значение z, для которого последний раз выполнено неравенство

(так как с=0). Полагаем, что все денежные суммы кратны тысяче. Вычислим

Вычислим

Так как 4 ≤ 2 + 3, то .

Вычислим

Неравенство 9 ≤ 2 + 3 не выполняется, значит,

Итак, , . Отсюда следует, что при z < 5 парк автомобилей необходимо пополнить до ; при z ≥ 5 пополнять его не нужно.

Расчет планового объема поставок при вероятностном спросе с фиксированной задержкой поставки

Рассмотренные выше модели с вероятностным спросом управлялись либо стратегией «двух уровней» ,либо стратегией , когда заказ на пополнение запаса выдается через равные промежутки времени Т, а объем заказа – величина не постоянная, определяемая верхним уровнем . Переход к минимизации затрат за единицу времени по обоим параметрам стратегии обычно затруднен вследствие сложного характера зависимости распределения спроса от времени. В связи с этим при отсутствии регламентированной периодичности поставок удобно перейти к стратегии с нижним критическим уровнем и фиксированным объемом поставок.

Предположим, что недостачи товара в модели случаются редко, средняя величина дефицита мала сравнительно с q, а время его существования значительно меньше среднего интервала между поставками (при достаточно высокой цене штрафа все перечисленные условия должна выполняться). При этих предположениях средний уровень запаса составит , а затраты на содержание – в единицу времени. В каждом периоде, кроме того, будут выплачиваться стоимость заказа g и штраф, среднее значение которого составит

где f(x) – плотность распределения спроса за время между выдачей заказа (момент достижения ) и получением восполнения. Количество периодов в единицу времени, очевидно, равно . Следовательно, суммарные ожидаемые затраты в единицу времени могут быть подсчитаны следующим образом:

. (3.12)

Приравнивая к нулю и , убеждаемся, что оптимальные параметры стратегии должны удовлетворять соотношениям

(3.13)

и

. (3.14)

Указанная система уравнений легко расширяется итерационным способом: задавшись начальным значением , представляют его в (3.14) и получают . Подстановка последнего в (3.13) дает и т.д. Процесс повторяется до тех пор, пока значения параметров в последовательных итерациях не окажутся достаточно близки друг к другу. Последняя пара значений и принимается за оптимальный надор параметров. Начальное значение целесообразно определять по формуле (2.14), т.е. следует положить .

Начальное приближенное по своей величине обычно оказывается достаточно близким к конечному результату. Однако более строгим критерием качества приближенного решения является сравнение затрат. Оценим относительное увеличение затрат от неточного определения и при экспоненциально распределенном спросе за время задержки. При средней интенсивности спроса µ и задержке τ плотность распределения спроса за время τ равна , а математическое ожидание дефицита –

.

Отметим, что . Следовательно, в нашем случае при оптимальном выборе q

. (3.15)

Подставим этот результат в (2.17), для нахождения оптимального имеем уравнение

, (3.16)

откуда

. (3.17)

Соответственно

. (3.18)

Перепишем (3.17) в виде

,

где коэффициент перед скобкой равен приближенному значению , определяемому согласно (2.14), а – отношение среднего спроса за время задержки к . При малом , что следует считать типичным для практики, можно записать

. (3.19)

Найдем разность затрат в единицу времени с помощью формулы (3.12), используя (3.16):

Таким образом,

.

Используя приближенные и допустимые при малых разложения функции в ряд

и

,

получаем

Так как

, то и

(3.20)

т.е. увеличение затрат за счет приближенного определения q примерно пропорционально времени задержки поставки.

Пример 4. Оценка величины погрешности функции затрат при фиксированной задержке поставки

Положим p = 100, h = 6, g = 20, µ = 5 и τ = 0,3. При этом приближенные значения параметров стратегии будут равны ; соответственно уточненные значения (при q, определяемом из (3.17)), суть и . Математическое ожидание затрат для стратегии составляет 67,7 а для – 66,3 единицы, т.е. разница , единицы, или 1,9 % .

Проверим качество приближенной оценки величины , рассчитанной по формуле (3.19). в нашем случае , откуда . Таким образом, порядок погрешности формула (3.19) указывает верно.

При других способах расчета штрафа форма записи системы (3.13) – (3.14) меняется очевидным образом. Так, при расчете штрафа, связанного с недостачей, носящей стохастический характер, оптимальный набор определяется по формулам

(3.21)

а при учете величины и времени существования дефицита – с помощью соотношений

Эти системы тоже решаются методом итераций.

Приближенные методы планирования поставок при их случайной издержке

Небольшой разброс фактических моментов прибытия поставок относительно предусмотренных позволяет планировать организацию снабжения методами, рассмотренными выше. В связи с неопределенностью момента прибытия поставки применение периодических стратегий и в данном случае оказывается невыгодным, и оптимизация проводится в классе стратегий с нижним критическим уровнем – обычно .

В качестве примера рассмотрим пуассоновский спрос интенсивности и экспоненциально распределенное время задержки поставок со средним, равным 1/λ.

Найдем распределение спроса за время задержки. Вероятность того, что спрос будет равен х, очевидно, составит

.

Последний интеграл может быть представлен в виде

и выражен через гамма-функцию (для целых х). таким образом,

, (3.23)

т.е. спрос за время издержки имеет отрицательное биноминальное распределение. Математическое ожидание недостач при страховом запасе составит

.

Первая из этих сумм

представляет собой арифметико-геометрическую прогрессию. Сумма членов прогрессии вида записывается в виде

.

В интересующем нас случае d = 0 и r = 1, так что

.

С помощью этой формулы легко получить более общее соотношение:

.

Его предельным случаем при и является

.

Таким образом,

.

Вторая сумма – обычная геометрическая прогрессия:

.

Следовательно, математическое ожидание недостач

.

Для облегчения процесса минимизации затрат предположим, что q и – любые действительные числа. Тогда мы сможем найти оптимальные q и из системы уравнений (3.13 – 3.14), в нашем случае принимающей вид