Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов

1. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный – 4 ден. Ед. какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?


Решение:

Условие задачи:


стоимость 3 4
Состав удобрения Количество удобрений Необходимый минимум

обычное улучшенное
Азотное 3 2 10
Фосфорное 4 6 20
Калийное 1 3 7

1 составим математическую модель:

Обозначим через xj количество кг удобрения

x1- количество кг обычного удобрения;

x2- количество кг улучшенного удобрения.

Цель – наименьшая стоимость удобрения,

F= 3x1+4x2 →min

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсовОграничения:

По азотным удобрениям 3х1+2х2≥10

По фосфорным удобрениям 4х1+6х2≥20

По калийным удобрениям 1х1+3х2≥7

По смыслу х1≥0 х2≥0

Решим графическим способом.

Первое ограничение (по азоту) имеет вид 3х1+2х2≥10 найдем пересечение с осями координат, т. е. 3х1+2х2=10 – l1


Х1 0 10/3
Х2 5 0

0<10, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Второе ограничение 4х1+6х2=20 – l2


Х1 0 5
Х2 10/3 0

0<20, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Третье ограничение х1+3х2=7- l3


Х1 0 7
Х2 7/3 0

0<7 верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Для определения направления движения к оптиму построим вектор – градиента Їс (с1;с2), координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с (3;4).

Построим линию уровня l0, приравняем целевую функцию к 0

3х1+4х2=0


Х1 0 -4
Х2 0 0

Передвигая линию уровня l0 в направлении обратном направлению вектора – градиента, т. к задача на минимум, достигнем минимальную точку целевой функции. Найдем координаты этой точки, решая систему из двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку минимума:


(.) А = l1∩l3

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов3х1+2х2=10, *3 «-»

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов4х1+6х2=20

5х1=10

х1=2


Подставим в первое уравнение 3*2+2х2=10,

2х2=10-6,

2х2=4,

х2=2.

Fmin=3*2+4*2=6+8=14 ден. ед.

График:


Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов


Ответ: чтобы обеспечить эффективное питание почвы при минимизированной стоимости, которая составила 14 ден ед, необходимо купить 2 набора обычного удобрения и 2 набора улучшенного. Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+∞


2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.


тип сырья норма расхода сырья на одно изделие запасы сырья

А Б В Г
1 2 1 3 2 200
2 1 2 4 8 160
3 2 4 1 170
цена изделия 5 7 3

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теории двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

Проанализировать использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

Определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья 1 и2 вида на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья 3 вида;

Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которой расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

Сформулируем экономико – математическую модель задачи.

Переменные:

х1- количество единиц продукции А,

х2- количество единиц продукции Б,

х3- количество единиц продукции В,

х4- количество единиц продукции Г.

Целевая функция: F=5х1+7х2+3х3+6х4 →max,

Цель максимизировать выручку от реализации готовой продукции

Ограничение:

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсовПо 1 типу ресурса: 2х1+х2+3х3+2х4≤200,

По 2 типу ресурса: х1+2х2+4х3+8х4≤160,

По 3 типу ресурса: 2х1+4х2+х3+х4≤170,

По смыслу х1;х2;х3;х4 ≥0.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск Решения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.

Полученное решение означает, что максимальную выручку 460 ден ед, можем получит при выпуски 80 ед продукции А и 10 ед продукции Г. При это ресурсы 2 и 3 типа будут использоваться полностью, а из 200 ед сырья 1 типа будет использоваться 180 ед сырья.

Сформулируем экономико–математическую модель двойственной задачи

Переменные:

у1- двойственная оценка ресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,

у2- двойственная оценка ресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,

у3- двойственная оценка ресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.

Целевая функция двойственной задачи: необходимо найти такие «цены» у на ресурсы, чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной. G=b1*y1+b2*y2+…→min

G=200у1+160у2+170у3→min

Ограничения:

Вы исходной задачи четыре переменных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.


Экономико-математическое моделирование анализа ресурсовa11*y1+a12*y2+…≥c1

a12*y1+a22*y2+…≥c2

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсовпо виду продукции А: 2у1+у2+2у3≥5,

по виду продукции Б: у1+2у2+4у3≥7,

по виду продукции В: 3у1+4у2+у3≥3,

по виду продукции Г: 2у1+8у2+у3≥6

по смыслу у1; у2; у3≥0

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности:

По 2 теореме- yi*(∑aij*xj-bi)=0 и xj(∑aij*yi-cj)=0,


у1*(2х1+х2+3х3+2х4-200)=0 → у1(2*80+0+3*0+2*10-200)=0 180<200, то у1=0

у2*(х1+2х2+4х3+8х4-160)=0 → у2(80+2*0+4*0+8*10-160)=0 ,

у3*(2х1+4х2+х3+х4-170)=0 → у3*(2*80+4*0+0+10-170)=0.


В нашей задачи х1=80>0 и х4=10>0, поэтому первое и четвертое ограничение двойственной задачи обращаются в равенство:


Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов2у1+у2+2у3=5,

2у1+8у2+у3=6,

у1=0,

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсову2+2у3=5,

8у2+у3=6,

Выразим через у2=5-2у3,


8*(5-2у3)+у3=6,

40-16у3+у3=6

-15у3=-34,

у3=34/15,

у2=5-2*34/15=7/15,

у1=0; у2=7/15; у3=34/15

G=200*0+160*7/15+170*34/15=460


Проверим выполняемость первой теоремы двойственности:

Fmax=Gmin=460

В нашей задачи в план выпуска не вошла продукция Б и В, потому что затраты по ним превышают цену на 3 ден ед (10-7=3) и 1,133 ден ед (4,1333-3=1,133) соответственно.

Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения у:


2*0+7/15+2*34/15=5=5,

0+2*7/15+4*34/15=10≥7,

3*0+4*7/15+34/15=4,133≥3,

2*0+8*7/15+34/15=6=6.


Так как запас ресурсов 1, 2 типа сырья изменяться на 8 и 10 единицы (увеличиться) и 3 типа уменьшаться на 5 единиц. Из теоремы об оценках известно, что колебание величины bi приводит к увеличению или уменьшению F.

F=∆bi*yi

F=8*0+10*7/15+(-5)*34/15=-6,667, следовательно, увеличение запасов ресурсов 1 и 2 типа на 8 и 10 ед. и уменьшение 3 типа на 5 ед приведет к уменьшению значения целевой функции на -6,667 ден ед.

По условию задачи для изготовления изделия Д используется:

Сырье 1 типа а*1=2,

Сырье 2 типа а*2=2,

Сырье 3 типа а*3=2

Ожидаемая прибыль от данного изделия Д с*=10 ден ед.

Для оценки целесообразности продукта Д, рассчитаем чистый доход


е=с*-∑а*i*yi

е=10-(2*0+2*7/15+2*34/15)=4,533


следовательно, целесообразно включать в план изделие Д, т.к. е=4,533>0.


3. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителями, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij(i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции У.

Требуется:

Проверить продуктивность технологической матрицы А=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.


предприятия коэффициенты прямых затрат конечный продукт

1 2 3
1 0,2 0,1 0,2 150
2 0 0,1 0,2 180
3 0,1 0 0,1 100

Решение:

Найдем продуктивность А с помощью достаточного условия ||A||max(0,3;0,2;0,5)=0,5<1

Следовательно матрица А продуктивна

Подготовим таблицу матричного баланса


предприятия


конечный валов. пр

1 2 3

1 50,22293 23,08917 27,80255 150 251,1146
2 0 23,08917 27,80255 180 230,8917
3 25,11146 0 13,90127 100 139,0127
усл. ч. пр. 175,7803 184,7134 69,50637 430=430
вал. вып 251,1146 230,8917 139,0127
621,0191=621,0191

Используем соотношение Х=(Е-А)’*У, полученное в соответствие модели Леонтьева для определения валового выпуска для этого найдем: (Е-А)’ – матрицу полных затрат (Е – единичная матрица),


Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов1

0

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов0

Е = 0 1 0
0 0 1

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов




1 0

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов0


Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов0,2

0,1

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов0,2

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов

0,8 -0,1

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов-0,2

Е-А= 0 1 0 - 0 0,1 0,2 = 0 0,9 -0,2

0 0 1
0,1 0 0,1
-0,1 0 0,9

Найдем обратную матрицу (Е-А)’ используя функцию в Excel (fx/математическая/МоБР),



Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов1,289809

0,143312

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов0,318471

(Е-А)’= 0,031847 1,11465 0,254777

0,143312 0,015924 1,146497

Найдем величины валовой продукции, используя в Excel (fx/математическая/МУМНОЖ)


Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов

1,289809 0,143312

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов0,318471


Экономико-математическое моделирование анализа ресурсовЭкономико-математическое моделирование анализа ресурсов150


Экономико-математическое моделирование анализа ресурсовЭкономико-математическое моделирование анализа ресурсов251,1146

(E-A)’*Y= 0,031847 1,11465 0,254777 * 180 = 230,8917

0,143312 0,015924 1,146497
100
139,0127

Рассчитаем величины производственных затрат по формуле

Xij=aij*xj

aij- технологическая матрица

xj-строка валового выпуска,

Х11=0,2*251,1146=50,22293 Х12=0,1*230,8917=23,08917 Х13=0,2*139,0127=27,80255
Х21=0*251,1146=0 Х22=0,1*230,8917=23,08917 Х23=0,2*139,0127=27,80255
Х31=0,1*251,1146=25,11146 Х32=0*230,8917=0 Х33=0,1*139,0127=13,90127

Для расчета величин условно чистой продукции используем соотношение баланса для производства:

Z=xj-∑xij

xij – по столбцу

Z1=251.1146-(50.22293+0+25.11146)=175.7803

Z2=230.8917-(23.08917+23.08917+0)=184.7134

Z3=139.0127-(27.80255+27.80255+13.90127)=69.50637


Проверим баланс конечной и условно чистой продукции


∑YI=∑ZJ , ∑Xi=∑Xj,

Z=175.7803+184.7134+69.50637=430 =Y=150+180+100=430

Xi=251.1146+230.8917+139.0127=621.0191=Xj=251.1146+230.8917+139.0127=621.0191


Заполняем таблицу, подготовленную выше, матричного баланса полученными данными.


4. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.


Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Спрос на кредитные ресурсы 3 7 10 11 15 17 21 25 23

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель Y(t)=a0+a1t параметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании RS- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитывать при доверительной вероятности р=70%)

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.


Решение:


Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Спрос на кредитные ресурсы 3 7 10 11 15 17 21 25 23

Построим график:


Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов


Проверим на анормальность - 9 неделю, у9=23

Оставшиеся наблюдения


Недели 1 2 3 4 5 6 7 8
Спрос на кредитные ресурсы 3 7 10 11 15 17 21 25

Для оставшихся рассчитаем: уср - среднее значение; Sy – средне квадратичное отклонение, используя функции Excel;

Вычислим статистику Стьюдента – tнаб=| y*-yср|/Sy

уср= 13,625 (fx/статистические/СРЗНАЧ)

Sy= 6,836254457 (fx/статистическая/СТАНДОТКЛОН)

При L=5%, K=n-2=9-2=7,


tкр= 2,36462256 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР)

tнаб= |23-13,625|/6,84=1,371364986

tнаб=1,37<tкр=2,36


Следовательно, наблюдаемое у9 не является аномальной и не требует замены.

С помощью программы РЕГРЕССИИ (в Excel сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ) рассчитаем и получим:


Регрессионная статистика
Множественный R 0,983716989
R-квадрат 0,967699115
Нормированный R-квадрат 0,963084703
Стандартная ошибка 1,444200224
Наблюдения 9

Дисперсионный анализ



df SS MS F Значимость F
Регрессия 1 437,4 437,4 209,7123 1,78531E-06
Остаток 7 14,6 2,085714286

Итого 8 452



Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0%
Y-пересечение 1,166667 1,049187 1,111971949 0,302876 -1,31426491 3,648 -1,3143 3,6475982
Переменная X 1 2,7 0,186445 14,48144774 1,79E-06 2,259126889 3,141 2,25913 3,1408731

ВЫВОД ОСТАТКА



Наблюдение Предсказанное Y Остатки
1 3,866667 -0,866666667
2 6,566667 0,433333333
3 9,266667 0,733333333
4 11,96667 -0,966666667
5 14,66667 0,333333333
6 17,36667 -0,366666667
7 20,06667 0,933333333
8 22,76667 2,233333333
9 25,46667 -2,466666667

Модель построена, ее уравнение уt=a+b*t, t-момент времени, уt- теоретическое моделирование значения У, а,b- коэффициенты модели

a=1.166666667, b=2.7, следовательно уt=1,166666667+2,7t

коэффициент регрессии b=2,7, т. е. с каждым годом спрос на кредитные ресурсы финансовой компании в среднем возрастают на 2,7 млн. руб.

Рассмотрим столбец Остатки и построим с помощью «мастер диаграмм» в Excel график остатков:


Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов


1 подсчитаем количество поворотных точек р для рядов остатков – р=5

2 критическое количество определим формулой - ркр=[2*(n-2)/3-1,96*√16*n-29/90]

[ ] – целая часть; n- количество исходных данных


ркр=[2*(9-2)/3-1,96*√16*9-29/90]=2,451106=2


3 сравним фактическое р с ркр

р=5 > ркр=2 следовательно, свойство случайности выполняется.

Для проверки независимости уровней ряда остатков:

1 вычислим d- статистику (критерий Дарбина – Уотсона)

2 вычислить первый коэффициент автокорреляции r(1)

для расчетов подготовим –

∑e2(t) = 14,6 - используем Excel fx/математическая/СУММКВ),

∑(e(t)-e(t-1))2 = 32,32 – используем Excel fx/математическая/СУММКВРАЗН) – 1 массив кроме 1-го, 2 массив кроме последнего.


d=∑(e(t)-e(t-1))2 / ∑e2(t) = 32,32/14,6=2,213699


По таблице Значения d-критерия Дарбина – Уотсона определим, что d1= 1,08 и d2= 1,36

Т.е. наше d=2,213699 ? (1.08;1,36), следовательно нужна дополнительная проверка, найдем d’=4-d=4-2,213699=1,786301, т.е d’ ? (1,36;2)


Экономико-математическое моделирование анализа ресурсовЭкономико-математическое моделирование анализа ресурсовЭкономико-математическое моделирование анализа ресурсовЭкономико-математическое моделирование анализа ресурсовне выпол-ся доп. Прове-ка выпол-ся d’=4-d

Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов

0 d1 d2 2 4 d

следовательно, свойство независимости уровней ряда остатков выполняются, остатки независимы.

Для проверки нормального распределения остатков вычислим R/S – статистику

R/S=emax-emin / Se

еmax- максимальный уровень ряда остатков,

еmin- минимальный уровень ряда остатков,

S- среднеквадратичное отклонение.

еmax=2,2333333 используем Excel fx/статистическая/МАКС),

еmin=-2,466666667 используем Excel fx/статистическая/МИН),

Se=1,444200224 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»

Следовательно, R/S=2,2333333 - (-2,466666667)/ 1,444200224=3,254396

Критический интервал (2,7;3,7), т.е R/S=3,254396 ? (2,7;3,7), свойство нормального распределения остатков выполняется.

Подводя итоги проверки можно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Еотн = |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениям определить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)


относит. погр-ти
28,88888889
6,19047619
7,333333333
8,787878788
2,222222222
2,156862745
4,444444444
8,933333333
10,72463768

Eотн ср =8,853564 – хороший уровень точности модели

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:


у10=1,166666667+2,7*10=28,16666667

у11=1,166666667+2,7*11= 30,86666667,


Ожидаемый спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около 28,16666667 млн. руб., а на 11 неделю около 30,86666667 млн. руб.

При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7, равен


tкр(30%;7)=1,119159 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР),


Se=1,444200224 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»,

t’ср = 5(fx/математическая/СРЗНАЧ) - средний уровень по рассматриваемому моменту времени,

∑(t-t’ср)=60 (fx/статистическая/КВАДРОТКЛ),

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:


U1=t*Se*√1+1/n+(t*-t’)2/∑(t-t’ср)= 1,119159*1,444200224*√1+1/9+(10-5)2/60=1,997788

U2=t*Se*√1+1/n+(t*-t’)2/∑(t-t’ср)=1,119159*1,444200224*√1+1/9+(11-5)2/60= 2,11426


Далее вычислим верхнюю и нижнюю границы прогноза uниж=y10-u1; uверх=у10+u1; uниж=y11-u1; uверх=у10+u1


uниж=28,16666667-1,997788=26,16888

uверх=28,16666667+1,997788=30,16445

uниж=30,86666667-2,11426=28,75241

uниж=30,86666667+2,11426= 32,98093


Спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 26,16888 млн. руб. до 30,16445 млн. руб., а на 11 неделю от 28,75241 млн. руб. до 32,98093 млн. руб.

Строим график:


Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: