Математические методы в экономике

Задание 1. Графоаналитический метод решения задач линейного программирования


Постановка задачи: Необходимо найти решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции F=c1x1+c2x2, где переменные xj≥0 (j=1;2) – планируемое количество единиц j-й продукции, а сj – прибыль на единицу j-й продукции при условиях ai1x1+ai2x2≤bi (i=1,…,k), xj≥0 (j=1,2).


Решение


1. Заменяем ограничения-неравенства на ограничения-равенства (привести задачу к каноническому виду).

2. Построим прямые, соответствующие полученным уравнениям.

3. Определить полуплоскости, соответствующие заданным неравенствам в системе ограничений.

4. Поиск области допустимых решений задачи.

5. Построить градиент функции цели: grad F=(F’x1; F’x2).

6. Построить прямую нулевого уровня c1x1+c2x2=0, (эта прямая перпендикулярна градиенту).

7. Переместить эту прямую в направлении градиента, в результате чего будет найдена точка (точки), в которой целевая функция принимает максимальное значение, или же установлена неограниченность функции на множестве планов.

8. Определить координаты точки максимума функции и вычислить значение целевой функции в этой точке.

Система ограничений:


Математические методы в экономике

Целевая функция Математические методы в экономике.

Математические методы в экономике (1)


Построим прямые, ограничивающие многоугольник допустимых решений:


Математические методы в экономике


Математические методы в экономике

6

15


Математические методы в экономике

2

1


Математические методы в экономике


Математические методы в экономике

7

8


Математические методы в экономике

3

0



Математические методы в экономике - прямая, параллельная оси Математические методы в экономике.

Математические методы в экономике - линия уровня (F=0); Математические методы в экономике


Математические методы в экономике

0 5

Математические методы в экономике

0 -2

Математические методы в экономике - вектор, в направлении которого расположено оптимальное решение задачи


Из системы неравенств (1) следует, что многоугольник решений на графике ОАВС.

Максимальную длину имеет перпендикуляр, опущенный из точки В, где пересекаются прямые Математические методы в экономике

Математические методы в экономике - оптимальный план выпуска продукции.

Математические методы в экономике - максимальное значение прибыли.


Математические методы в экономикеМатематические методы в экономике


Задание 2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования


Постановка задачи: необходимо найти решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции F=c1x1+c2x2+c3x3, где переменные xj≥0 (j=1;2) – планируемое количество единиц j-й продукции, а сj прибыль на единицу j-й продукции при условиях ai1x1+ai2x2+…+ ainxn≤bi (i=1,…,m), xj≥0 (j=1,2,…,m).


Решение.


1. Записать математическую модель задачи

Сырье Продукция Общее количество сырья

А В С
S1 15 12 15 360
S2 6 8 4 192
S3 3 2 5 180
Цена одного изделия (руб.) 9 10 16

2. Привести задачу к каноническому виду, для этого перейти от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, для чего вводятся дополнительные переменные, которые по экономическому смыслу означают не используемое при данном плане производства количество сырья того или иного вида.

3. Заполнить симплекс-таблицу.

4. Выяснить, имеется ли хотя бы одно отрицательное число Dj (в строке F, см. таблицу ниже). Если нет, то найденный опорный план оптимален. Если же среди чисел Dj есть отрицательные, то либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану.

5. Находят направляющие столбец и строку. Направляющий столбец определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом Dj, а направляющая строка – минимальным из отношений компонент столбца вектора Р0 к положительным компонентам направляющего столбца.

6. Определяют положительные компоненты нового опорного плана, коэффициенты разложения векторов Pj по векторам нового базиса и числа F0’, Dj’. Все эти числа записываются в новой таблице.

7. Проверяют найденный опорный план на оптимальность. Если план не оптимален и необходимо перейти к новому опорному плану, то возвращаются к пункту 5, а в случае получения оптимального плана или установления неразрешимости процесс решения задачи заканчивается.

Запишем систему ограничений задачи.


Математические методы в экономике Математические методы в экономике.

Математические методы в экономике - целевая функция.


Для использования симплекс-метода запишем задачу в следующем виде:


Математические методы в экономике

Математические методы в экономике - целевая функция.



Математические методы в экономике

Математические методы в экономике

Математические методы в экономике

Математические методы в экономике

Математические методы в экономике

Математические методы в экономике

b Отношения

Математические методы в экономике

15 12 15 1 0 0 360

Математические методы в экономике

Математические методы в экономике

6 8 4 0 1 0 192

Математические методы в экономике

Математические методы в экономике

3 2 5 0 0 1 180

Математические методы в экономике

F -9 -10 -16 0 0 0 0

Математические методы в экономике *

1 4/5 1 1/15 0 0 24

Математические методы в экономике

2 24/5 0 -4/15 1 0 96

Математические методы в экономике

-2 -2 0 -1/3 0 1 60
F 7 14/5 0 16/15 0 0 -384

Так как в строке F нет отрицательных элементов (кроме последнего значения), то получен оптимальный план (0;0;24;0;96;60) и максимальное значение целевой функции Fmax=384. Значит, план выпуска продукции составляет 24 изделия вида С.

При данном выпуске продукции полностью используется сырье S3, остаются неиспользованными сырье вида S1,2. Стоимость производимой продукции равна 384 руб.


Задание 3. Транспортная задача


На оптовых складах А1, А2, А3 имеются запасы некоторого продукта в количествах 30, 60 и 10 т соответственно. Найти такой вариант прикрепления магазинов к складам, при котором сумма затрат на перевозку была бы минимальной.


Склады вооружения Потребители Запасы

N1 N2 N3 N4
А1 4 10 11 7 30
А2 5 3 6 8 60
А3 2 1 12 9 10
Потребности 40 20 10 30 100

Данная задача является закрытой транспортной задачей, так как суммы потребностей и запасов равны 100.


Решение.


Найдем опорный план методом наименьшей стоимости


Склады вооружения Потребители Запасы

N1 N2 N3 N4
А1 4 30 10 11 7 30 α1
А2 5 10 3 10 6 10 8 30 60 α2
А3 2 1 10 12 9 10 α3
Потребности

40

β1

20

β2

10

β3

30

β4

100

Сумма затрат равна F=120+50+30+10+60+240=510.


Правильность опорного решения N=m+n-1=3+4-1=6, это число равно количеству заполненных клеток.

Проверим построенный план на оптимальность методом потенциалов.

Для занятых ячеек:


α1+ β1=4,

α2+ β1=5,

α2+ β2=3,

α2+ β3=6,

α2+ β4=8,

α3+ β2=1.


Пусть α1=0, тогда получаем:


α2=1,

α3=-1,

β1=4,

β2=2,

β3=5,

β4=7.


Для свободных клеток:


D12=с12-(α1+β2)=10-(0+2)=8>0,

D13=с13-(α1+β3)=11-(0+5)=6>0,

D14=с14-(α1+β4)=7-(0+7)=0≥0,

D31=с31-(α3+β1)=2-(-1+4)=-1<0,

D33=с33-(α3+β3)=12-(-1+5)=6>0,

D34=с34-(α3+ β4)=9-(-1+7)=3>0.


Здесь имеются отрицательные значения, в частности, для клетки с тарифом c31. Следовательно, построенный план нуждается в оптимизации, для чего построим цикл пересчета.


Склады вооружения Потребители Запасы

N1 N2 N3 N4
А1 4 30 10 11 7 30 α1
А2

Математические методы в экономикеМатематические методы в экономике5 10 -

Математические методы в экономике3 10 +

6 10 8 30 60 α2
А3

Математические методы в экономике2 +

1 10 - 12 9 10 α3
Потребности

40

β1

20

β2

10

β3

30

β4

100



Используя цикл пересчета получаем новый опорный план. Проверим правильность опорного решения N=m+n-1=3+4-1=6<5, это число меньше количества заполненных клеток (5 клеток).


Склады вооружения Потребители Запасы

N1 N2 N3 N4
А1 4 30 10 11 7 30 α1
А2 5 3 20 6 10 8 30 60 α2
А3 2 10 1 12 9 10 α3
Потребности

40

β1

20

β2

10

β3

30

β4

100



Таким образом, мы получили план, матрица которого является вырожденной, то есть ее определитель равен нулю.


Задание 4. Системы массового обслуживания


Контроль готовой продукции фирмы осуществляют А контролеров. Если изделие поступает на контроль, когда все контролеры заняты проверкой готовых изделий, то оно остается не проверенным. Среднее число изделий, выпускаемых фирмой, составляют В изд./час. Среднее время на проверку одного изделия – С мин.

Определить:

вероятность того, что изделие пройдет проверку;

насколько загружены контролеры;

сколько контролеров необходимо поставить, чтобы Робс.≥D.


Решение.


A=5, B=24, C=6, D=0,98, n=5.


1. Вероятность того, что изделие пройдет проверку.

Математические методы в экономике - интенсивность нагрузки, Математические методы в экономике- интенсивность потока заявок, Математические методы в экономике - интенсивность потока обслуживания.

По условию задачи Математические методы в экономикедет./ч.=0,4 дет./мин.;

Математические методы в экономикемин., Математические методы в экономике, Математические методы в экономике.

Вероятность простоя канала обслуживания: Математические методы в экономике.

Математические методы в экономике

Вероятность отказа в обслуживании: Математические методы в экономике.

Вероятность обслуживания: Робс.=1-Ротк.=1-0,062=0,938.


2. Среднее число каналов, занятых обслуживанием:


Математические методы в экономике


Доля каналов, занятых обслуживанием:


Математические методы в экономике


3. При n=5 Робс.=0,938<0,95.

Произведем расчеты аналогично п. 1, 2 для n=6.


Математические методы в экономике

Математические методы в экономике.

Робс.=1-Ротк.=1-0,024=0,98.

Робс.=0,98>0,95.

Ответ: вероятность того, что при n=5 изделие не пройдет проверку составляет (Ротк.) 6,2% и контролеры будут заняты обслуживанием (kз) 45%. Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо иметь не менее 6-ти контролеров.


Задание 6. Элементы теории игр


Фирма производит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы в течение апреля – мая на единицу продукции составят: платья – А ден.ед., костюмы – В ден.ед. Цена реализации составит С и D ден.ед. соответственно.

По данным наблюдений за несколько предыдущих лет, фирма может реализовать в условиях теплой погоды Е шт. платьев и К шт. костюмов, при прохладной погоде – М шт. платьев и N шт. костюмов.

В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальный доход. Задачу решить, используя различные критерии игр с природой, приняв степень оптимизма α.


Решение


1) Если фирма примет стратегию А1 и погода будет в действительности теплая, то продукция будет реализована и доход составит:


Математические методы в экономике


2) Если погода будет прохладной при стратегии А1, то костюмы будут проданы полностью, а платья – только в количестве 490 усл.ед. Тогда доход составит:

Математические методы в экономике


3) Если реальная погода совпадет со стратегией А2, то прибыль составит:


Математические методы в экономике


4) Если же реальная погода будет теплой при стратегии А2, то прибыль составит:


Математические методы в экономике


Рассматривая фирму и погоду в виде двух игроков, составим матрицу:


Математические методы в экономике

Математические методы в экономике

Математические методы в экономике

Математические методы в экономике


Цена игры лежит в диапазоне


Математические методы в экономике


Из платежной матрицы видно, что при всех условиях доход фирмы будет не меньше 12540 р., но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то доход фирмы может составить 29340 р.

В условиях непределенности не представляется возможным фирме использовать смешанную стратегию (договоры с другими организациями), для определения оптимальной стратегии используем следующие критерии.

1. Критерий Вальде: Математические методы в экономике - фирме целесообразно использовать стратегию А1.


2. Критерий максимума: Математические методы в экономике - фирме целесообразно использовать стратегию А2.


3. Критерий Гурвица:

- для стратегии А1:


Математические методы в экономике;

- для стратегии А2:

Математические методы в экономике

Математические методы в экономике - фирме целесообразно выбрать стратегию А2.


4. Критерий Сэвиджа: максимальный элемент в первом столбце – 29340 р., во втором – 12540 р. Элементы матрицы рисков:


Математические методы в экономике.

Математические методы в экономике

Математические методы в экономике

Математические методы в экономике

Математические методы в экономике

Матрица рисков: Математические методы в экономике.

Математические методы в экономике

Фирме целесообразно применять стратегию А1.

Список литературы


1. Экономико-математическое моделирование. Учебник для вузов / Под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. – М.: Изд. «Экзамен», 2004.

2. Орехов Н.А., Левин А.Г., Горбунов Е.А. Математические методы и модели в экономике. Учебное пособие для вузов / Под ред. проф. Н.А. Орехова – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

3. Лунгу К.Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. – М.: Физматлит, 2005.

4. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2002.

5. Самаров К.Л., Шапкин А.С. Задачи с решениями по высшей математике и математическим методам в экономике: Учебное пособие – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2007.

6. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике: Учебник: в 2-х ч. Ч. 2. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 376 с.: ил.

7. Колемаев В.А. Математическая экономика. Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: