Економетрія (економічні моделі)

Вступ.

Актуальність роботи.

В нинішній час економіка України наражається на важкі деформації, падає виробництво, росте безробіття, має місце інфляція. Для того, щоб виправити ситуацію ,що склалася на Україні необхідно побудова реальних моделей, за допомогою яких можна достатньо точно прогнозувати економічні процеси.

В нашій роботі ми вжили спробу побудови однієї з таких моделей.


Наукова новизна.

В нашій роботі ми використали засоби математичної статистики, теоретичного аналізу, теорії імовірності, системного аналізу, економетрії. Ми зробили першу спробу побудови економетричної моделі України.

Ми показали, як застосовуючи засоби економетрії можливо управляти економікою і розглянули відзнаки між регресійним аналізом і побудовою економетричної моделі.


Практична цінність.

В нашій моделі ми спробували відбити процеси, зв'язані з виробництвом, і побудували економетричну модель, показали, що можна прорахувати коефіціенти цієї моделі. Однак зараз склалася така ситуація, при якій не уміють цінувати інформацію, їй приділяється мало уваги, хоча за рубіжем вже давно навчилися її цінувати і до неї відносяться як до дуже дорогого товару. В зв'язку з цим у нас склалася ситуація інформаційного «голоду». Тому нам не вистачало статистичних даних. Ми маємо надію, що в найближчий час на Україні будуть розвиватися комп'ютерні технології і програмні продукти, буде приділятися більше уваги побудові економетричних моделей і їхньому використанню.


Апробація роботи.

Апробація моделі була вироблена на реальних статистичних даних, отриманих і взятих з збірника народної господарства, статистичних збірників, а також періодичної преси.


Завдання 1.

На базі статистичних показників змінних X(i) та Y(i), n=17, побудувати графік емпіричних змінних, вибрати форму криволінійної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості a=0,9. Перевірити фактор Y на автокореляцію, а також оцінити прогноз для таких значень X: X1(p1)=15, X2(p2)=17, X3(p3)=20.


I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
X(i) 6,15 6 6,05 6,8 7,15 6,5 7,2 6,65 7,3 7,25 7,25 7 6,9 6,9 6,7 6,9 6,75
Y(i) 12 13,8 14 14,4 13,6 14,2 13,8 14,2 14,6 17 14,6 14,4 15,2 17,4 14,8 16 15,2

Рішення.

1-й крок:

взяти декартову систему координат на площині;

відкласти на ній точки (Xi; Yi), і=1,….., n;

обвести всі відкладені точки замкнутою кривою – отримати хмару розсіяння експерементальних даних;

на око провести криву, яка відповідає усередненим значенням.

Економетрія (економічні моделі)У нашому випадку, по розташуванню крапок на графіку 1, можна припустити, що рівняння прямої будемо знаходити у вигляді

Економетрія (економічні моделі)

2-й крок:

2.1) визначити параметри моделі методом найменших квадратів (МНК) за формулами:

Економетрія (економічні моделі)

Економетрія (економічні моделі)

Економетрія (економічні моделі)

Економетрія (економічні моделі)

2.2)обчислити значення Економетрія (економічні моделі) для кожного значення Економетрія (економічні моделі) і занести в таблицю у якості додаткового стовбця;

Економетрія (економічні моделі)2.3)побудувати графік регресійної функції Економетрія (економічні моделі)

3-й крок:

3.1) обчислити залишкову дисперсію за формулою:


Економетрія (економічні моделі), де n – довжина вибірки, m – число факторів(m=1)


Економетрія (економічні моделі)

3.2) обчислити відносну похибку розрахункових значень регресії за формулою:


Економетрія (економічні моделі),

а середнє значення відносної похибки, як

Економетрія (економічні моделі), Економетрія (економічні моделі)

4-й крок:

4.1) обчислити коефіцієнти еластичності за формулою:

Економетрія (економічні моделі), де

Економетрія (економічні моделі), Економетрія (економічні моделі)


Економетрія (економічні моделі); Економетрія (економічні моделі)

Економетрія (економічні моделі)


5-й крок:

5.1) обчислити центровані значення Економетрія (економічні моделі) за формулою:

Економетрія (економічні моделі)

5.2) знайти коефіцієнт Стьюдента Економетрія (економічні моделі), де a=1-p, k=n-2( з таблиці, яку наведено звичайно у будь-якій книзі із статистики),

в нашому випадку Економетрія (економічні моделі)=1.75

5.3) обчислити дисперсію:

Економетрія (економічні моделі)

Економетрія (економічні моделі)


5.4) обчислити Економетрія (економічні моделі) за формулою:

Економетрія (економічні моделі)

Економетрія (економічні моделі)5.5) з'єднати неперервною лінією на графіку всі значення Економетрія (економічні моделі) і Економетрія (економічні моделі) та отримані дані занести у таблицю (Економетрія (економічні моделі)отримуємо надійну зону).

6-й крок:

6.1) обчислити збурювальну змінну за формулою

Економетрія (економічні моделі), де Економетрія (економічні моделі)=1, 2,…., n

6.2) визначити d- статистику за формулою

Економетрія (економічні моделі)

6.3) знайти верхню (Економетрія (економічні моделі)) і нижню (Економетрія (економічні моделі)) межу (із додатку в кінці будь-якої книги із статистики ) – d-статистика(Критерій Дарбіна-Уотсона); Економетрія (економічні моделі); Економетрія (економічні моделі)


6.4) зробити висновок про автокореляцію.

Так як Економетрія (економічні моделі) , то ряд не містить автокореляцію.


7-й крок:

7.1) у рівняння Економетрія (економічні моделі) підставити значення Економетрія (економічні моделі);

Коли Xp=15, Yp=25,88365.

Коли Xp=17, Yp=28,61847.

Коли Xp=20, Yp=32,7207.


7.2) знайти межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень за формулою

Економетрія (економічні моделі)


Коли Xp=15, Економетрія (економічні моделі)DYp=12,318.

Коли Xp=17, DYp=15,207.

Коли Xp=20, DYp=19,567.


7.3) записати межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень ( Економетрія (економічні моделі); Економетрія (економічні моделі) ).

(13,56565; 38,20165)

(13,41147; 43,82547)

(13,1537; 52,2877)


n X(i) Y(i) Xi2 X(i)ЧY(i)

Економетрія (економічні моделі)

U(i) Ui2 di

Економетрія (економічні моделі)

Економетрія (економічні моделі)

Економетрія (економічні моделі)

Економетрія (економічні моделі)

Економетрія (економічні моделі)

Ui – Ui-1 (Ui – Ui-1)2
1 6,15 12 37,8225 73,8 13,78207 -1,7820715 3,17577883 -14,8506 -0,64118 0,411107 1,112438 12,66963 14,89451

2 6 13,8 36 82,8 13,57696 0,22304 0,04974684 1,616232 -0,79118 0,625959 1,304358 12,2726 14,88132 2,005112 4,020472
3 6,05 14 36,6025 84,7 13,64533 0,3546695 0,12579045 2,533354 -0,74118 0,549342 1,239332 12,406 14,88466 0,131629 0,017326
4 6,8 14,4 46,24 97,92 14,67089 -0,270888 0,07338031 -1,88117 0,008824 7,79E-05 0,591756 14,07913 15,26264 -0,62556 0,391322
5 7,15 13,6 51,1225 97,24 15,14948 -1,5494815 2,40089292 -11,3932 0,358824 0,128755 0,792444 14,35704 15,94193 -1,27859 1,634801
6 6,5 14,2 42,25 92,3 14,26067 -0,060665 0,00368024 -0,42722 -0,29118 0,084783 0,730096 13,53057 14,99076 1,488817 2,216575
7 7,2 13,8 51,84 99,36 15,21785 -1,417852 2,01030429 -10,2743 0,408824 0,167137 0,843106 14,37475 16,06096 -1,35719 1,841957
8 6,65 14,2 44,2225 94,43 14,46578 -0,2657765 0,07063715 -1,87167 -0,14118 0,019931 0,626924 13,83885 15,0927 1,152076 1,327278
9 7,3 14,6 53,29 106,58 15,35459 -0,754593 0,5694106 -5,16845 0,508824 0,258902 0,95338 14,40121 16,30797 -0,48882 0,238942
10 7,25 17 52,5625 123,25 15,28622 1,7137775 2,93703332 10,08104 0,458824 0,210519 0,89693 14,38929 16,18315 2,468371 6,092853
11 7,25 14,6 52,5625 105,85 15,28622 -0,6862225 0,47090132 -4,70015 0,458824 0,210519 0,89693 14,38929 16,18315 -2,4 5,76
12 7 14,4 49 100,8 14,94437 -0,54437 0,2963387 -3,78035 0,208824 0,043607 0,666445 14,27793 15,61081 0,141853 0,020122
13 6,9 15,2 47,61 104,88 14,80763 0,392371 0,153955 2,581388 0,108824 0,011843 0,612841 14,19479 15,42047 0,936741 0,877484
14 6,9 17,4 47,61 120,06 14,80763 2,592371 6,7203874 14,89868 0,108824 0,011843 0,612841 14,19479 15,42047 2,2 4,84
15 6,7 14,8 44,89 99,16 14,53415 0,265853 0,07067782 1,796304 -0,09118 0,008313 0,606592 13,92756 15,14074 -2,32652 5,412686
16 6,9 16 47,61 110,4 14,80763 1,192371 1,4217486 7,452319 0,108824 0,011843 0,612841 14,19479 15,42047 0,926518 0,858436
17 6,75 15,2 45,5625 102,6 14,60252 0,5974825 0,35698534 3,930806 -0,04118 0,001695 0,5947 14,00782 15,19722 -0,59489 0,353892

Сума

115,5 249,2 786,7975 1696,13 249,2 1,55E-05 20,9076491 -9,457 8E-06 2,756176 13,69395 235,506 262,8939 2,379554 35,90415

Таблиця 2


Завдання 2.

На базі статистичних даних показників змінних x (t) за n=18 місяців побудувати графік тренду зміни x (t), вибрати форму однофакторної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості a=0.9.Перевірити показник Х на автокореляцію, а також оцінити для наступних трьох місяців прогноз значення x (tр):


t X (t)
1 9,51
2 11,62
3 11,22
4 15,22
5 13,99
6 15,18
7 14,98
8 17,88
9 16,78
10 18,94
11 20,98
12 15,71
13 20,74
14 24,7
15 20,78
16 20,74
17 19,75
18 23,92
k кор. 0,899208

Рішення:

Побудуємо графік тренду зміни Х(t)

Економетрія (економічні моделі)


Введемо гіпотезу про те, що зміну Х(t) розподілено за законом X(t)=btα.Визначимо параметри цієї регресії:

18 18

α=( Σ t 1 x 1 (t)-18 t 1 x 1 (t) )/(Σ x 1 2 (t)-18 x 1 2 ) =0.3081

t=1 t=1

b 1=x 1(t)-α t 1=2.2002.

Де х 1 (t)=ln x(t), t 1 =ln t ,α 1 = α ,b 1= ln b.Звідки a=0.3081,b=9.0268.

Дисперсію визначаємо за формулою:

n

S2= Σ(x 1-x)2/( n-p-1)=1.9044

i=1

Вибірковий коефіцієнт детермінації :

n n

R=(1-(S(xi-xi)2/S(xi-x)2))1/2= 0.9095

i=1 i=1


Для оцінки надійності рівняння регресії і значущості індексу кореляції обчислимо значення Fp-критерію Фішера:

Fp=dx2/S2=5.445,

n

де dx2= Σ(x 1-x)2/(n-1).Оскільки Fрозр>Fтабл=1,95,то прийнята

i=1

модель адекватна експерементальним даним.

Для оцінки меж надійних інтервалів лінії регресії спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,

Dx1i=ta,kS/n1/2(1+(x1i-x1)2/dx12)1/2

а потім виконаємо зворотній перехід за формулами :

Yi±DYi=exp(Y1i±DY1i).

Складемо таблицю1.

Визначимо автокореляцію за формулою:

n n

d= Σ(lt-lt-1)2/Σlt2=2.425.

t=2 t=1

Визначимо границі d-статистики: d1=1.16,dn=1.39.Оскільки виконується нерівність dn<d<4-dn ,то враховується гіпотеза про відсутність атокореляції.

Для оцінки меж надійних інтервалів прогнозу спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,

DX1p=ta,kS/n1/2(1+n+(X1i-X1)2/dx12)

а потім виконаємо зворотній перехід за формулами:

Yp±DYp=exp(Y1p±DY1p)

Складемо таблицю 2.


Таблиця 1.

t x(t) t1 x1 (t) x1r xr Dx1 xmin xvf[
1 9,51 0 2,2523 2,2002 9,0268 2,6461 0,6402 127,267
2 11,62 0,6931 2,4527 2,4137 11,1757 1,8811 1,7034 73,3196
3 11,22 1,0986 2,4177 2,5338 12,6626 1,4754 2,8958 55,371
4 15,22 1,3863 2,7226 2,6273 13,8362 1,228 4,0522 47,2427
5 13,99 1,6094 2,6383 2,696 14,8202 1,0767 5,0498 43,4978
6 15,18 1,7918 2,72 2,7522 15,6771 0,9922 5,8123 42,2844
7 14,98 1,9459 2,7067 2,7997 16,4396 0,9561 6,3193 42,7674
8 17,88 2,0794 2,8837 2,8408 17,13 0,9541 6,5974 44,4772
9 16,78 2,1972 2,8202 2,8771 17,763 0,9753 6,6978 47,1082
10 18,94 2,3026 2,9413 2,9096 18,349 1,0114 6,6738 50,4487
11 20,98 2,3979 3,0436 2,9389 18,8958 1,0568 6,5695 54,3499
12 15,71 2,4849 2,7543 2,9657 19,4092 1,1068 6,4169 58,7071
13 20,74 2,5649 3,0321 2,9904 19,8937 1,1598 6,2377 63,446
14 24,7 2,6391 3,2068 3.0132 20,3532 1,2138 6,0463 68,5134
15 20,78 2,7081 3,034 3,0345 20,7904 1,2678 5,8514 73,8702
16 20,74 2,7726 3,0321 3,0544 21,2079 1,3212 5,6585 79,4872
17 19,75 2,8332 2,9832 3,0731 21,6077 1,3736 5,4709 85,342

Таблиця 2.

t xlp(t) xp(t) Dxlp xpmin xpmax
19 3.1073 22.3610 7.1463 0.0176 28385.4
20 3.1231 22.7172 7.1565 0.0177 29131.4
21 3.1382 23.0612 7.1666 0.0178 29874.0

Відповідь.

З надійністю р=0,1 можна вважати, що експерементальним даним відповідає така математична модель:Yr=9.0268X0.3081.

Для tp=19 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,36.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0176;2838,4).

Для tp=20 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,72.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0177;29131,4).

Для tp=21 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,36.З надійністю p=0,1 прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0178;29874,0).


Завдання 3.

Визначити параметри лінійної моделі залежності витрат на споживання С від рівня доходів D,збережень S та заробітної плати L.Оцінить коефіцієнти детермінації,автокореляції та перевірте показники на мультиколінеарність між факторами.Обчислення виконати на базі 13 статистичних даних певного регіону (C,D,S,L подані у тис $).


Дано:


І С(і) D(i) S(i) L(i)
1 9,08 10,11 12,29 9
2 10,92 12,72 11,51 8,03
3 12,42 11,78 11,46 9,66
4 10,9 14,87 11,55 11,34
5 11,52 15,32 14 10,99
6 14,88 16,63 11,77 13,23
7 15,2 16,39 13,71 14,02
8 14,08 17,93 13,4 12,78
9 14,48 19,6 14,01 14,14
10 14,7 18,64 1625 14,67
11 18,34 18,92 16,72 15,36
12 17,22 21,22 14,4 15,69
13 19,42 21,84 18,19 17,5

Рішення:

Припустимо, що між показником Ŷ і чинниками Х1 Х2 Х3 існує лінійна залежність Ŷ=А1Х1+А2Х2+А3Х3 . Знайдемо оцінки параметрів,використовуючи матричні операції. Запишеио систему нормальних рівнянь у матричній формі: [X]T[X]ā=[X]TY. Якщо помножити матричне рівняння зліва на матрицю [[X]T[X]]-1, то для оцінки параметрів вектора ā отримаємо формулу:

ā=[[X]T[X]]-1[X]Ty, звідки а1 =0,0603; а 2=0,151;а3=0,859.


Складемо таблицю:


І D(i) S(i) L(i) C(i) Cроз (i) 1
1 10,11 12,29 9 9,08 10,1954 1,1154
2 12,72 11,51 8,03 10,92 9,4018 -1,5182
3 11,78 11,46 9,66 12,42 10,7376 -1,6824
4 14,87 11,55 11,34 10,9 12,3803 1,4803
5 15,32 14 10,99 11,52 12,4768 0,9568
6 16,63 11,77 13,23 14,88 14,1429 -0,7371
7 16,39 13,71 14,02 15,2 15,1 -0,1
8 17,93 13,4 12,78 14,08 14,0809 0,0009
9 19,6 14,01 14,14 14,48 15,4418 0,9618
10 18,64 16,25 14,67 14,7 16,1774 1,4774
11 18,92 16,72 15,36 18,34 16,8579 -1,4821
12 21,22 14,4 15,69 17,22 16,9296 -0,2904
13 21,84 18,19 17,5 19,42 19,0939 -0,3261

Коефіцієнт множинної детермінації:

13 13

R2=1-Σ(yi-ŷi)2/Σ(y-ỳ)2=0.863

I=1 i=1

Визначимо автокореляцію за формулою:

13 13

d=Σ(lt–lt-1 )2/Σlt2=2.0531.

t=2 t=1

Оскільки значення d-статистики близьке до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.Для визначення мультиколінеарності використаємо критерій Х2

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: