Московский городской институт управления Правительства Москвы

Лабораторные работы

по дисциплине

«Экономико-математические методы и модели»

Подготовила студентка V курса Евдокимова Е. Д.

Преподаватель – Новикова Г. М.

Москва

2004

Содержание

Задание №1……………………………………………………………….3

Задание №2……………………………………………………………….8

Задание №3……………………………………………………………...11

Задание №4……………………………………………………………...14

Задание №5……………………………………………………………...16

Задание №6……………………………………………………………...20

Задание №1

Тема: Сетевое моделирование при планировании

Задача: Разработка, анализ и оптимизация сетевого графика при календарном планировании проекта

Компания «АВС» реализует проекты серийного производства различных видов продукции. Каждый проект обеспечивает получение в неделю 100 тыс. $ дополнительной прибыли. Перечень работ и их характеристики представлены в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Перечень работ и их характеристики

Работы	Непосредственно предшествующие работы	Продолжительность работы, недель		Стоимость работы, тыс. $ при t(i,j)=tHB(I,j)	Коэффициент затрат на ускорение работы
		tmin	tmax
A	-	4	6	110	22
B	-	7	9	130	28
C	-	8	11	160	18
D	A	9	12	190	35
E	C	5	8	150	28
F	B, E	4	6	130	25
G	C	11	15	260	55
H	F, G	4	6	90	15

Задание:

1. Изобразить проект с помощью сетевой модели.

2. Определить наиболее вероятную продолжительность каждой работы.

3. Найти все полные пути сетевого графика, определить критический путь, ожидаемую продолжительность выполнения проекта и полную стоимость всех работ.

4. Разработать математическую модель оптимизации процесса реализации проекта.

Сетевой график

D

A H

B F

C E

G

Наиболее вероятная продолжительность работ

t_НВ = (2t_min + 3t_max)/5

t_{НВ A} = (2*4 + 3*6)/5 = 5,2

t_{НВ B}= (2*7 + 3*9)/5 = 8,2

t_{НВ C}= (2*8 + 3*11)/5 = 9,8

t_{НВ D}= (2*9 + 3*12)/5 = 10,8

t_{НВ E}= (2*5 + 3*8)/5 = 6,8

t_{НВ F}= (2*4 + 3*6)/5 = 5,2

t_{НВ G}= (2*11 + 3*15)/5 = 13,4

t_{НВ H}= (2*4 + 3*6)/5 = 5,2

Возможные полные пути

1. 1 – 2 – 5. Длина: t_{НВ A} + t_{НВ D} =5,2 + 10,8 = 16

2. 1 – 3 – 6 – 5. Длина: t_{НВ B} + t_{НВ F} + t_{НВ H} = 8,2 + 5,2 +5,2 = 18,6

3. 1 – 4 – 6 – 5. Длина: t_{НВ C} + t_{НВ G} + t_{НВ H} = 9,8 + 13,4 + 5,2 = 28,4

4. 1 – 4 – 3 – 6 – 5. Длина: t_{НВ C} + t_{НВ E} + t_{НВ F} + t_{НВ H} = 9,8 + 6,8 + 5,2 + 5,2= = 27

Максимальная длина пути, равная 28,4 недели соответствует пути III, на котором лежат работы C, G, H. Следовательно, он является критическим.

Математическая модель

Примем за x_1, x₂ , …, x₈ продолжительность работ A, B,…, H соответственно.

x₁  4 ⁽¹⁾

x₂  7 ⁽²⁾

x₃  8 ⁽³⁾

x₄  9 ⁽⁴⁾

x₅  5 ⁽⁵⁾

x₆  4 ⁽⁶⁾

x₇  11 ⁽⁷⁾

x₈  4 ⁽⁸⁾

x₁  6 ⁽⁹⁾

x₂  9 ⁽¹⁰⁾

x₃  11 ⁽¹¹⁾

x₄  12 ⁽¹²⁾

x₅  8 ⁽¹³⁾

x₆  6 ⁽¹⁴⁾

x₇  15 ⁽¹⁵⁾

x₈  6 ⁽¹⁶⁾

x₁ + x₄ + x₉  28,4 ⁽¹⁷⁾

x₂ + x₆ + x₈ + x₉  28,4 ⁽¹⁸⁾

x₃ + x₇ + x₈ + x₉  28,4 ⁽¹⁹⁾

x₃ + x₅ + x₆ + x₈ + x₉  28,4 ⁽²⁰⁾

Функция цели: 22x₁ + 28x₂ + 18x₃ + 35x₄ + 28x₅+ 25x₆ + 55x₇ + 15x₈ + 100x₉ max

Исходная матрица

Таблица 1.2

№	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	Знак	Св. чл.
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0		4
2	0	1	0	0	0	0	0	0	0		7
3	0	0	1	0	0	0	0	0	0		8
4	0	0	0	1	0	0	0	0	0		9
5	0	0	0	0	1	0	0	0	0		5
6	0	0	0	0	0	1	0	0	0		4
7	0	0	0	0	0	0	1	0	0		11
8	0	0	0	0	0	0	0	1	0		4
9	1	0	0	0	0	0	0	0	0		6
10	0	1	0	0	0	0	0	0	0		9
11	0	0	1	0	0	0	0	0	0		11
12	0	0	0	1	0	0	0	0	0		12
13	0	0	0	0	1	0	0	0	0		8
14	0	0	0	0	0	1	0	0	0		6
15	0	0	0	0	0	0	1	0	0		15
16	0	0	0	0	0	0	0	1	0		6
17	1	0	0	1	0	0	0	0	1		28,4
18	0	1	0	0	0	1	0	1	1		28,4
19	0	0	1	0	0	0	1	1	1		28,4
20	0	0	1	0	1	1	0	1	1		28,4
Ф. ц.	22	28	18	35	28	25	55	15	100		max

Решение

x₁ = 6

x₂ = 9

x₃ = 8

x₄ = 12

x₅ = 7

x₆ = 4

x₇ = 11

x₈ = 4

x₉ = 5,4

Т. к. x₉ = 5,4, то длина критического пути уменьшится на эту величину. Проверим это утверждение:

x₃ + x₇ + x₈ = 8 + 11 + 4 = 23

Уменьшение времени выполнения работы, как правило, связано с увеличением затрат. В таблице 1.3 определим прирост затрат при уменьшении времени реализации проекта.

Таблица 1.3

Изменение затрат при уменьшении времени реализации проекта

Работа	х	tHB	 x	Куск	 затрат	Стоимость	Итого затрат
A	6	5,2	-0,8	22	-17,6	110	92,4
B	9	8,2	-0,8	28	-22,4	130	107,6
C	8	9,8	1,8	18	32,4	160	192,4
D	12	10,8	-1,2	35	-42	190	148
E	7	6,8	-0,2	28	-5,6	150	144,4
F	4	5,2	1,2	25	30	130	160
G	11	13,4	2,4	55	132	260	392
H	4	5,2	1,2	15	18	90	108
Всего затрат					124,8	1220	1344,8

Таким образом, время выполнения работ A, B, D, E увеличилось по сравнению с наиболее вероятным; продолжительность остальных работ уменьшилась. Затраты на реализацию проекта возросли на 124,8 тыс. $. Увеличение затрат произошло, в основном, из-за работы G, по которой наблюдается наибольшее сокращение времени в сочетании с наивысшим коэффициентом затрат на выполнение работы.

Из-за сокращения критического пути проект будет введен в эксплуатацию на 5,4 недели раньше. Т. к. прибыль за неделю составляет 100 тыс. $, то за этот срок она составит 100 тыс. $ * 5,4 = 540 тыс. $.

В результате дополнительная прибыль с учетом возрастания затрат на проведение работ составит 540 тыс. $ - 124,8 тыс. $ = 415,2 тыс. $

Задание №2

Тема: Графы

Задача о коммивояжере

Имеется 4 пункта. Время переезда из пункта I в пункт j представлено в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Исходные данные

Из пункта i	В пункт j
	1	2	3	4
1	0	8	8	6
2	4	0	6	12
3	10	12	0	18
4	8	10	4	0

График представлен на рисунке.

Требуется найти оптимальный маршрут, вычеркнув из таблицы отсутствующие маршруты.

Математическая модель

Обозначим за x маршруты, приведенные в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Обозначения

xi	Пункт отправления	Пункт назначения	Время переезда
x1	1	2	8
x2	1	3	8
Продолжение
x3	1	4	6
x4	2	1	4
x5	2	3	6
x6	2	4	12
x7	3	1	10
x8	3	2	12
x9	3	4	18
x10	4	1	8
x11	4	2	10
x12	4	3	4

Сумма входящих и исходящих маршрутов в каждом пункте равна 1. Следовательно, система условий-ограничений выглядит следующим образом:

x₁ + x₂ + x₃ = 1 ⁽¹⁾

x₄ + x₅ + x₆ = 1 ⁽²⁾

x₇ + x₈ + x₉ = 1 ⁽³⁾

x₁₀ + x₁₁ + x₁₂ = 1 ⁽⁴⁾

x₄ + x₇ + x₁₀ = 1 ⁽⁵⁾

x₁ + x₈ + x₁₁ = 1 ⁽⁶⁾

x₂ + x₅ + x₁₂ = 1 ⁽⁷⁾

x₃ + x₆ + x₉ = 1 ⁽⁸⁾

Функция цели: 8x₁ + 8x₂ + 6x₃ + 4x₄ + 6x₅ + 12x₆ + 10x₇ + 12x₈ + 18x₉ + 8x₁₀ + 10x₁₁ + 4x₁₂ min

Исходная матрица условий задачи представлена в таблице 2.3.

Таблица 2.3

№	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	х10	x11	x12	Св.чл.	Зн
1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	=
2	0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0	1	=
3	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1	=
4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	=
5	0	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	=
6	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1	0	1	=
7	0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	1	1	=
8	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0	0	1	=
Фц.	8	8	6	4	6	12	10	12	18	8	10	4	min

Исходная матрица

Решение

x₃ = 1

x₅ = 1

x₇ = 1

x₈ = 0

x₁₁ = 1

Это означает, что на графике остаются только пути, соответствующие переменным х₃, х₅, х₇, х₁₁ (1 4, 2 3, 3 1, 4 2). Функционал равен 12, т. е. время пути будет равно 12 единицам. График при этом выглядит следующим образом.

Задание №3

Тема: Графы

Задача о максимальном потоке

Имеется трубопроводная сеть с заданной S_ij пропускной способностью каждого участка из i-го узла в j-й узел и мощностью насосной станции, расположенной в узле. Необходимо рассчитать максимальную пропускную способность сети из начального узла в конечный узел.

_исток _сток

Пропускная способность S_ij , тыс. тонн

S₁₂ = 4

S₁₃ = 7

S₁₄ = 8

S₂₃ = 3

S₂₅ = 5

S₃₄ = 8

S₃₅ = 9

S₄₅ = 9

Математическая модель

Обозначим за х_{1, 2, …, 8} перевозки по маршрутам 12, 13, 14, 23, 25, 34, 35, 45 соответственно, а за х₉ – пропускную способность конечного узла сети.

Сумма входящих в каждый узел потоков равна сумме выходящих, причем интенсивность каждого потока не может превышать пропускную способность своего участка сети. Поэтому система условий-ограничений выглядит следующим образом.

х₉ - х₁ – х₂ – х₃ = 0 ⁽¹⁾

х₁ – х₄ – х₅ = 0 ⁽²⁾

х₂ + х₄ – х₆ – х₇ = 0 ⁽³⁾

х₃ + х₆ – х₈ = 0 ⁽⁴⁾

х₅ + х₇ + х₈ – х₉ = 0 ⁽⁵⁾

х₁  4 ⁽⁶⁾

х₂  7 ⁽⁷⁾

х₃  8 ⁽⁸⁾

х₄  3 ⁽⁹⁾

х₅  5 ⁽¹⁰⁾

х₆  8 ⁽¹¹⁾

х₇  9 ⁽¹²⁾

х₈  9 ⁽¹³⁾

Функция цели: х₉ max

Таблица 3.1

Исходная матрица

№	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9	Знак	Св.чл.
1	-1	-1	-1	0	0	0	0	0	1	=	0
2	1	0	0	-1	-1	0	0	0	0	=	0
3	0	1	0	1	0	-1	-1	0	0	=	0
4	0	0	1	0	0	1	0	-1	0	=	0
5	0	0	0	0	1	0	1	1	-1	=	0
6	1	0	0	0	0	0	0	0	0		4
7	0	1	0	0	0	0	0	0	0		7
8	0	0	1	0	0	0	0	0	0		8
9	0	0	0	1	0	0	0	0	0		3
10	0	0	0	0	1	0	0	0	0		5
11	0	0	0	0	0	1	0	0	0		8
12	0	0	0	0	0	0	1	0	0		9
13	0	0	0	0	0	0	0	1	0		9
Ф. ц.	0	0	0	0	0	0	0	0	1	max

Решение

х₁ = 4

х₂ = 7

х₃ = 8

х₅ = 4

х₇ = 7

х₈ = 8

х₉ = 19

Функционал в данной задаче равен –481, что не имеет смысла при заданных условиях. Однако, исходя из математической модели, функционал в данной задаче равен значению х₉ . Таким образом, максимальная пропускная способность сети составит 19 тыс. тонн. При этом некоторые маршруты окажутся незадействованными (х₄ и х₆). График будет выглядеть следующим образом.

Задание №4

Тема: Системы массового обслуживания

Задача: Рационализация функционирования системы управления аэропортом на базе анализа марковских процессов

Различные аэропорты имеют отделы системы управления, функциональная связь которых и интенсивность потоков информации представлены на рисунке и в таблице 4.1.

Требуется вычислить вероятности состояний в стационарном режиме по значениям интенсивности перехода.

Таблица 4.1

Исходные данные

Интенсивность потоков (переходов)
12	13	21	32	34	45	53	54
3	2	1	3	2	2	3	1

Математическая модель

Примем за х₁, х₂, …, х₅ предельные вероятности состояний в стационарном режиме пунктов S₁, S₂, …, S₅ соответственно. Произведение вероятности состояния на интенсивность исходящих из этого пункта потоков равна произведению интенсивностей входящих потоков на вероятность состояния в стационарном режиме пунктов их отправления. Система уравнений Колмогорова для данной задачи в общем виде выглядит следующим образом:

(₁₃ + ₁₂ )* х₁ = ₂₁ * х₂ ⁽¹⁾

₂₁ * х₂ = ₁₂ * х₁+ ₃₂ * х₃ ⁽²⁾

(₃₂ + ₃₄ )* х₃ = ₁₃ * х₁ + ₅₃ * х₅ ⁽³⁾

₄₅ * х₄ = ₃₄ * х₃+ ₅₄ * х₅ ⁽⁴⁾

(₅₄ + ₅₃ )* х₅ = ₄₅ * х₄ ⁽⁵⁾

Кроме того, сумма всех вероятностей равна 1. При подстановке данных таблицы 4.1 и добавлении переменной х₆ получаем:

5 х₁ - х₂ + х₆ = 0 ⁽¹⁾

х₂ - 3х₁ - 3х₃ + х₆ = 0 ⁽²⁾

5 х₃ - 2х₁ - 3х₅ + х₆ = 0 ⁽³⁾

2 х₄ - 2х₃ – х₃ + х₆ = 0 ⁽⁴⁾

4 х₅ - 2х₄ + х₆ = 0 ⁽⁵⁾

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ + х₆ = 1 ⁽⁶⁾

Функция цели: М х₆ max

Таблица 4.2.

Исходная матрица

№	х1	х2	х3	х4	х5	х6	Св.чл.	Знак
1	5	-1	0	0	0	1	0	=
2	-3	1	-3	0	0	1	0	=
3	-2	0	5	0	-3	1	0	=
4	0	0	-2	2	-1	1	0	=
5	0	0	0	-2	4	1	0	=
6	1	1	1	1	1	1	1	=
Ф.ц.	0	0	0	0	0	М	max

Решение

Функционал = -500

х₁ = 0,125

х₂ = 0,625

х₃ = 0,083

х₄ = 0,111

х₅ = 0,055

Сумма данных вероятностей составляет 0,999, т. е. погрешность, полученная при расчетах, крайне незначительна.

Задание №5

Тема: Имитационное моделирование

Задача: Расчет и анализ графика запуска-выпуска продукции в цехе мелкосерийного производства

В таблице 5.1 представлены технологические маршруты изготовления различных видов продукции, а также директивное время исполнения заказов (в условных единицах) и нормы затрат времени на обработку одной партии продукции на каждом из типов оборудования.

Общая масса заказа по каждому виду продукции разбивается на N партий так, что для каждого вида продукции выполняется условие:

Общая масса заказа = (масса партий)*(число партий)

Нормы затрат времени в каждом эксперименте имитационного моделирования обратно пропорциональны числу партий.

Требуется определить оптимальный маршрут изготовления продукции.

Таблица 5.1

Технологические маршруты изготовления продукции

Продукция Оборудование	Эксперимент №1						Эксперимент №2						Эксперимент №3
	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6
1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	4	4	4	4	4	4
2	6	-	-	-	-	-	12	-	-	-	-	-	24	-	-	-	-	-
3	-	-	6	-	-	-	-	-	12	-	-	-	-	-	24	-	-	-
4	-	-	-	-	3	-	-	-	-	-	6	-	-	-	-	-	12	-
5	-	-	-	-	-	2	-	-	-	-	-	4	-	-	-	-	-	8
6	1	2	-	2	-	-	2	4	-	6	-	-	4	8	-	12	-	-
Количество партий	4	4	4	4	4	4	2	2	2	2	2	2	1	1	1	1	1	1

Т_д = 27

Решение

В результате применения программы «APOSUM» было получено 3 варианта решения. Время изготовления заказа в каждом из них составляет соответственно 41, 48 и 52 единицы. Ближе всего к нормативному времени находится вариант 1. Количество переналадок при этом равно 19, что больше, чем в других вариантах (10 и 5), однако решающее значение имеет время. Изменяя длительность обработки изделий, можно уменьшить время с 41 до 29 единиц. Измененная длительность обработки изделий представлена в таблице 5.2.

Таблица 5.2.

Длительность обработки изделий

	Ст. 1	Ст. 2	Ст. 3	Ст. 4	Ст. 5	Ст. 6	Объем заказа	Длит. обраб.
Изделие 1	1	6	0	0	0	1	4	26
Изделие 2	1	0	0	0	0	2	4	14
Изделие 3	1	0	6	0	0	0	4	25
Изделие 4	1	0	0	0	0	3	4	12
Изделие 5	1	0	0	3	0	0	4	25
Изделие 6	1	0	0	0	2	0	4	24

В итоге получился следующий график запуска-выпуска продукции.

Таблица 5.3.

График запуска-выпуска продукции

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Продукция	4	1	4	3	4	2	1	3	2	4	2
Время запуска	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Время выпуска	4	9	12	10	15	17	18	16	20	23	25
Длительность обработки	4	8	10	7	11	12	12	9	12	14	15
Пролеживание	0	0	6	0	7	9	4	2	9	10	12

Продолжение

№ п/п	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Продукция	2	1	3	5	5	6	6	1	3	5	6	6	5
Время запуска	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
Время выпуска	27	28	22	18	21	19	21	29	28	24	24	26	27
Длительность обработки	16	16	9	4	6	3	4	11	9	4	3	4	4
Пролеживание	13	8	2	0	2	0	1	3	2	0	0	1	0

Время и очередность запуска и выпуска каждой партии продукции, последовательность и время использования каждого оборудования проиллюстрированы далее графиком Ганта.

График Ганта

Задание №6

Тема: Матричные модели балансового метода планирования

Задача: Разработка межпродуктового баланса производства и распределения продукции предприятия

В трех цехах приборостроительного завода изготовляются датчики, приборы и их узлы, основная часть которых идет на внутреннее потребление при сборке блоков АСУ, остальная является конечным продуктом и поставляется внешним приборостроительным и машиностроительным организациям, а также в ремонтные мастерские.

Требуется составить межпродуктовый баланс производства и распределения продукции, если известны коэффициенты прямых затрат и конечный продукт (таблица 6.1).

Таблица 6.1.

Исходные данные

Производящие цехи	Потребляющие цехи (коэф. прямых затрат)			Конечная продукция
	№1	№2	№3
№1	0,15	0,10	0,30	100
№2	0,25	0,15	0,25	280
№3	0,30	0,25	0	320

Математическая модель

х₁ = 0,15х₁ + 0,1х₂ + 0,3х₃ + 100

х₂ = 0,25х₁ + 0,15х₂ + 0,25х₃ + 280

х₃ = 0,3х₁ + 0,25х₂ + 0х₃ + 320

Отсюда, умножив уравнения на –1, получаем следующую систему уравнений ограничений:

0,85х₁ - 0,1х₂ - 0,3х₃ - х₄ = 100 ⁽¹⁾

-0,25х₁ + 0,85х₂ - 0,25х₃ - х₄ = 280 ⁽²⁾

-0,3х₁ + 0,25х₂ + х₃ - х₄ = +320 ⁽³⁾

Функция цели: -Мх₄ max

Исходная матрица условий задачи представлена в таблице 6.2.

Таблица 6.2.

Исходная матрица

№	х1	х2	х3	х4	Знак	Св. чл.
1	0,85	-0,1	-0,3	-1	=	100
2	-0,25	0,85	-0,25	-1	=	280
3	-0,3	-0,25	1	-1	=	320
Ф. ц.	0	0	0	-М	max

Решение

Функционал = 0

х₁ = 401,292

х₂ = 622,756

х₃ = 596,077

Умножив полученные значения валового продукта на коэффициенты прямых затрат, получим решение, представленное в таблице 6.3.

Таблица 6.3.

Решение

Производящие цехи	Потребляющие цехи			Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
1	60,15	40,1	120,3	100	401
2	155,75	93,45	155,75	280	623
3	178,8	149,0	0	320	596
Итого

В таблице показаны затраты на производство продукции в количественном выражении.