Моделирование экономических систем

портфеля ценных бумаг и построить модели, позволяющие определить структуру эффективных портфелей.

Период наблюдения	Доходность компании А	Доходность компании В	Доходность компании С
1	27	25	22
2	30	20	18
3	33	26	16

Решение

Оценим ожидаемую доходность каждой акции:

Оценим риск каждой акции, который выражается вариацией:

Из приведенных расчетов следует, что самыми привлекательными для инвестора ценными бумагами являются акции компании А, так как они имеют самую высокую ожидаемую доходность и наименьший риск. Если же сравнить между собой компании В и С, то акции компании В имеют несколько большую ожидаемую доходность, но и больший риск, поэтому выбор зависит от отношения инвестора к риску.

Рассчитаем ковариации доходностей акций друг с другом:

Из расчетов видно, что ковариация доходностей компаний А и С отрицательна, т.е. зависимость между доходностями акций этих компаний обратная, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в разных направлениях. Ковариации доходностей акций компаний А и В, В и С положительные, что свидетельствует о прямой зависимости между доходностями акций этих компаний, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в одном направлении.

Дадим определение эффективного портфеля. Портфель, имеющий минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности или максимальную ожидаемую доходность при заданном уровне риска, называется эффективным.

пусть х_А, х_В, х_С — доли капитала инвестора, вложенные в акции компаний А, В, С соответственно. Сумма долей равна единице, т.е.:

х_А + х_В + х_С = 1

Так как риск портфеля, составленного из акций компаний А, В и С, выражается формулой:

а ожидаемая доходность этого же портфеля выражается формулой

то, подставляя рассчитанные значения вариаций, ковариаций, получаем модели, определяющие структуру эффективных портфелей:

х_А + х_В + х_С = 1

х_А + х_В + х_С = 1

Задание 6

Руководство одного из банков решило разместить ресурсы в операциях с процентным арбитражем с целью получения прибыли от разницы процентных ставок на различных кредитных рынках с учетом изменения валютных курсов. Для проведения операций с процентным арбитражем на домашнем кредитном рынке было приобретено 500000 рос. руб. под 7,5% годовых на месяц. На момент начала операции наиболее привлекательными для банка оказались кредитный рынок США и еврорынок. Процентная ставка по вкладам на месяц на кредитном рынке США равнялась 7,75% годовых, а на еврорынке по вкладам в евро на месяц 7,7% годовых. Соотношение курсов валют было следующее: RUR/? = 37,7 руб., RUR/$ = 27,8 руб. Через месяц на момент окончания операции прогнозируются следующие курсы валют: с вероятностью 0,4 RUR/? = 36,3 руб., RUR/$ = 28,2 руб., с вероятностью 0,6 RUR/? = 38,2 руб., RUR/$ = 26,6 руб. Определить наилучшую стратегию размещения ресурсов сроком на один месяц, используя критерии Вальда, Гурвица и Байеса.

Решение

В данной задаче выделяются 2 игрока: руководство банка, принимающее решения, и природа — рынок валют. Предположим, что руководство банка определило для себя три стратегии:

А₁ — разместить 500000 руб. на еврорынке;

А₂— разместить 500000 руб. на рынке США;

А₃— разместить 250000 руб. на рынке США и 250000 руб. на еврорынке.

У природы будут две стратегии, соответствующие двум прогнозам курсов. Для определения наилучшей стратегии построим платежную матрицу. Ее размерность будет 3×2 в соответствии с количеством стратегий.

Элементы платежной матрицы будут равны прибыли, которую получит банк в каждой из возможных ситуаций.

Рассчитаем элемент платежной матрицы а ₁₁:

1. Конвертируем валюту:

500000/37,7 = 13262,6 ?

2. Вкладываем получившуюся в валюте сумму на соответствующем рынке на месяц:

13262,6×(1+0,077/12) = 13347,7 ?

3. Конвертируем полученную сумму в рубли соответственно стратегии природы:

13347,7×36,3 = 484,521 руб.

4. Рассчитаем сумму, которую нужно вернуть через месяц на домашнем рынке:

500000×(1+0,075/12) = 503125 руб.

5. Находим чистый доход от операции

484521,6 – 503125 = –18603,4 руб.

Аналогично рассчитываются все остальные элементы платежной матрицы. В результате расчетов она принимает вид:

	П1	П2
A1	-18603,45	6757,18
A2	7344,87	-21617,96
A3	5629,29	7430,39

Для выбора лучшей стратегии воспользуемся следующими критериями:

1.     Критерий Вальда — критерий крайнего пессимизма. Наилучшая, по Вальду, стратегия — соответствующая наибольшему из наименьших выигрышей. Наилучшей, по Вальду, будет стратегия А₃, т.е. разместив по 250000 тыс. руб. на рынках США и Европы, банк получит прибыль не менее, чем на 5629,29 руб.

2.     Критерий Сэвиджа — критерий минимального риска. Наилучшей, по Сэвиджу, считается стратегия, соответствующая наименьшему из наибольших рисков. Для ее определения построим дополнительную матрицу R:

	П1	П2
A1	25948,32	673,20
A2	0,00	29048,34
A3	1715,59	0,00

Стратегия А₃ соответствует минимальному из максимальных рисков, т.е. наилучшей, по Сэвиджу будет вложение по 250000 руб. на обоих рынках.

3.     Критерий Гурвица — критерий пессимизма-оптимизма. Параметр γ в нашем случае равен 0,4. Рассчитаем числа и выберем из них максимальное:

a₁ = 0,4×(-18603,45) + 0,6×6757,18 = -3387,07

a₂ = 0,4× (-21617,96) + 0,6×7344,87 = -4240,26

a₃ = 0,4×5629,29 + 0,6×7430,39 = 6709,95

Таким образом при γ = 0,4, если руководство банка настроено оптимистично оно принимает решение вложить по 250000 руб. на обоих рынках.

4.Критерий Байеса — используется тогда, когда известны вероятности состояний природы. Такая ситуация называется ситуацией риска. Наилучшей, по Байесу, стратегией считается соответствующая наибольшему ожидаемому выигрышу. Рассчитаем а₁, а₂, а₃:

a₁ = 0,4× (-18603,45) + 0,6× 6757,18 = -3387,07

a₂ = 0,4×7344,87 + 0,6× (-21617,96) = -10032,82

a₃ = 0,4×5629,29 + 0,6×7430,39 = 6709,95

Наилучшей, по Байесу, стратегией будет стратегия А₃.

Задание 7

Компания рассматривает строительство филиалов в четырех местах, соответственно имеются четыре проекта, продолжительностью 5 лет. Первоначальные инвестиции и доходы по годам приведены в таблице исходных данных. Инвестиционные возможности компании ограничены. В силу определенных соображений сумма расстояний от компании до филиалов не должна превышать 450 км. Из-за ограниченности фонда заработной платы общее число работников филиала на должно превышать 450 человек. Совместное строительство филиалов не допускается, так как они располагаются достаточно близко друг к другу.

Построить модель оптимального распределения инвестиций по проектам, в качестве критерия оптимальности использовать сумму NPV проектов. Ставка дисконта равна 15%.

Номер проекта	I0	Доходы по годам
		первый	второй	третий	четвертый	пятый
первый	1250	-200	600	1200	1300	1400
второй	1300	100	830	700	570	720
третий	1400	500	250	400	320	710
четвертый	2200	-330	1000	1150	1600	1800

Решение

Для расчета NPV будем использовать следующую формулу:

 i = 1,2,3,4

Отсюда:

NPV₁ = 1258,12

NPV₂ = 558,68

NPV₃ = 22,78

NPV₄ = 835,05

Введем переменные. Пусть х_i, i = 1,2,3,4 характеризует i-й проект и может принимать только 2 значения — 0 или 1. Если х_i = 0, это значит, что i-й проект не следует инвестировать. Если х_i = 1, то i-й проект следует инвестировать.

Используя введенные переменные запишем целевую функцию:

NPV = 1258,12х₁ + 558,68х₂ + 22,78х₃ + 835,05х₄

Теперь запишем ограничения, которые вытекают из условий задачи.

Первое ограничение следует из ограниченности инвестиционных возможностей компании:

1250х₁ + 1300х₂ + 1400х₃ + 2200х₄≤5600

Второе ограничение следует из того, что в первом году некоторые проекты еще не требуют инвестиций, которые должны быть покрыты доходами от других проектов:

-200х₁ + 100х₂ + 500х₃ - 300х₄≥0

Далее запишем ограничение, вытекающее из ограниченности суммы расстояний:

100х₁ + 90х₂ + 120х₃ + 160х₄≤450

Аналогично запишем ограничение, которое следует из того, что общее количество работников филиалов ограничено:

100х₁ + 120х₂ + 120х₃ + 150х₄≤450

Наконец, запишем условие того, что второй и третий филиалы одновременно строить нельзя:

х₂ + х₃ ≤1

Модель оптимального распределения инвестиций по проектам состоит в максимизации целевой функции при ограничениях, т.е.

NPV = 1258,12х₁ + 558,68х₂ +