Моделирование экономических систем
Период наблюдения | Доходность компании А | Доходность компании В | Доходность компании С |
1 | 27 | 25 | 22 |
2 | 30 | 20 | 18 |
3 | 33 | 26 | 16 |
Решение
Оценим ожидаемую доходность каждой акции:
Оценим риск каждой акции, который выражается вариацией:
Из приведенных расчетов следует, что самыми привлекательными для инвестора ценными бумагами являются акции компании А, так как они имеют самую высокую ожидаемую доходность и наименьший риск. Если же сравнить между собой компании В и С, то акции компании В имеют несколько большую ожидаемую доходность, но и больший риск, поэтому выбор зависит от отношения инвестора к риску.
Рассчитаем ковариации доходностей акций друг с другом:
Из расчетов видно, что ковариация доходностей компаний А и С отрицательна, т.е. зависимость между доходностями акций этих компаний обратная, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в разных направлениях. Ковариации доходностей акций компаний А и В, В и С положительные, что свидетельствует о прямой зависимости между доходностями акций этих компаний, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в одном направлении.
Дадим определение эффективного портфеля. Портфель, имеющий минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности или максимальную ожидаемую доходность при заданном уровне риска, называется эффективным.
пусть хА, хВ, хС — доли капитала инвестора, вложенные в акции компаний А, В, С соответственно. Сумма долей равна единице, т.е.:
хА + хВ + хС = 1
Так как риск портфеля, составленного из акций компаний А, В и С, выражается формулой:
а ожидаемая доходность этого же портфеля выражается формулой
то, подставляя рассчитанные значения вариаций, ковариаций, получаем модели, определяющие структуру эффективных портфелей:
хА + хВ + хС = 1
хА + хВ + хС = 1
Задание 6
Руководство одного из банков решило разместить ресурсы в операциях с процентным арбитражем с целью получения прибыли от разницы процентных ставок на различных кредитных рынках с учетом изменения валютных курсов. Для проведения операций с процентным арбитражем на домашнем кредитном рынке было приобретено 500000 рос. руб. под 7,5% годовых на месяц. На момент начала операции наиболее привлекательными для банка оказались кредитный рынок США и еврорынок. Процентная ставка по вкладам на месяц на кредитном рынке США равнялась 7,75% годовых, а на еврорынке по вкладам в евро на месяц 7,7% годовых. Соотношение курсов валют было следующее: RUR/? = 37,7 руб., RUR/$ = 27,8 руб. Через месяц на момент окончания операции прогнозируются следующие курсы валют: с вероятностью 0,4 RUR/? = 36,3 руб., RUR/$ = 28,2 руб., с вероятностью 0,6 RUR/? = 38,2 руб., RUR/$ = 26,6 руб. Определить наилучшую стратегию размещения ресурсов сроком на один месяц, используя критерии Вальда, Гурвица и Байеса.
Решение
В данной задаче выделяются 2 игрока: руководство банка, принимающее решения, и природа — рынок валют. Предположим, что руководство банка определило для себя три стратегии:
А1 — разместить 500000 руб. на еврорынке;
А2— разместить 500000 руб. на рынке США;
А3— разместить 250000 руб. на рынке США и 250000 руб. на еврорынке.
У природы будут две стратегии, соответствующие двум прогнозам курсов. Для определения наилучшей стратегии построим платежную матрицу. Ее размерность будет 3×2 в соответствии с количеством стратегий.
Элементы платежной матрицы будут равны прибыли, которую получит банк в каждой из возможных ситуаций.
Рассчитаем элемент платежной матрицы а 11:
1. Конвертируем валюту:
500000/37,7 = 13262,6 ?
2. Вкладываем получившуюся в валюте сумму на соответствующем рынке на месяц:
13262,6×(1+0,077/12) = 13347,7 ?
3. Конвертируем полученную сумму в рубли соответственно стратегии природы:
13347,7×36,3 = 484,521 руб.
4. Рассчитаем сумму, которую нужно вернуть через месяц на домашнем рынке:
500000×(1+0,075/12) = 503125 руб.
5. Находим чистый доход от операции
484521,6 – 503125 = –18603,4 руб.
Аналогично рассчитываются все остальные элементы платежной матрицы. В результате расчетов она принимает вид:
П1 | П2 | |
A1 | -18603,45 | 6757,18 |
A2 | 7344,87 | -21617,96 |
A3 | 5629,29 | 7430,39 |
Для выбора лучшей стратегии воспользуемся следующими критериями:
1. Критерий Вальда — критерий крайнего пессимизма. Наилучшая, по Вальду, стратегия — соответствующая наибольшему из наименьших выигрышей. Наилучшей, по Вальду, будет стратегия А3, т.е. разместив по 250000 тыс. руб. на рынках США и Европы, банк получит прибыль не менее, чем на 5629,29 руб.
2. Критерий Сэвиджа — критерий минимального риска. Наилучшей, по Сэвиджу, считается стратегия, соответствующая наименьшему из наибольших рисков. Для ее определения построим дополнительную матрицу R:
П1 | П2 | |
A1 | 25948,32 | 673,20 |
A2 | 0,00 | 29048,34 |
A3 | 1715,59 | 0,00 |
Стратегия А3 соответствует минимальному из максимальных рисков, т.е. наилучшей, по Сэвиджу будет вложение по 250000 руб. на обоих рынках.
3. Критерий Гурвица — критерий пессимизма-оптимизма. Параметр γ в нашем случае равен 0,4. Рассчитаем числа и выберем из них максимальное:
a1 = 0,4×(-18603,45) + 0,6×6757,18 = -3387,07
a2 = 0,4× (-21617,96) + 0,6×7344,87 = -4240,26
a3 = 0,4×5629,29 + 0,6×7430,39 = 6709,95
Таким образом при γ = 0,4, если руководство банка настроено оптимистично оно принимает решение вложить по 250000 руб. на обоих рынках.
4.Критерий Байеса — используется тогда, когда известны вероятности состояний природы. Такая ситуация называется ситуацией риска. Наилучшей, по Байесу, стратегией считается соответствующая наибольшему ожидаемому выигрышу. Рассчитаем а1, а2, а3:
a1 = 0,4× (-18603,45) + 0,6× 6757,18 = -3387,07
a2 = 0,4×7344,87 + 0,6× (-21617,96) = -10032,82
a3 = 0,4×5629,29 + 0,6×7430,39 = 6709,95
Наилучшей, по Байесу, стратегией будет стратегия А3.
Задание 7
Компания рассматривает строительство филиалов в четырех местах, соответственно имеются четыре проекта, продолжительностью 5 лет. Первоначальные инвестиции и доходы по годам приведены в таблице исходных данных. Инвестиционные возможности компании ограничены. В силу определенных соображений сумма расстояний от компании до филиалов не должна превышать 450 км. Из-за ограниченности фонда заработной платы общее число работников филиала на должно превышать 450 человек. Совместное строительство филиалов не допускается, так как они располагаются достаточно близко друг к другу.
Построить модель оптимального распределения инвестиций по проектам, в качестве критерия оптимальности использовать сумму NPV проектов. Ставка дисконта равна 15%.
Номер проекта |
I0 |
Доходы по годам | ||||
первый | второй | третий | четвертый | пятый | ||
первый | 1250 | -200 | 600 | 1200 | 1300 | 1400 |
второй | 1300 | 100 | 830 | 700 | 570 | 720 |
третий | 1400 | 500 | 250 | 400 | 320 | 710 |
четвертый | 2200 | -330 | 1000 | 1150 | 1600 | 1800 |
Решение
Для расчета NPV будем использовать следующую формулу:
i = 1,2,3,4
Отсюда:
NPV1 = 1258,12
NPV2 = 558,68
NPV3 = 22,78
NPV4 = 835,05
Введем переменные. Пусть хi, i = 1,2,3,4 характеризует i-й проект и может принимать только 2 значения — 0 или 1. Если хi = 0, это значит, что i-й проект не следует инвестировать. Если хi = 1, то i-й проект следует инвестировать.
Используя введенные переменные запишем целевую функцию:
NPV = 1258,12х1 + 558,68х2 + 22,78х3 + 835,05х4
Теперь запишем ограничения, которые вытекают из условий задачи.
Первое ограничение следует из ограниченности инвестиционных возможностей компании:
1250х1 + 1300х2 + 1400х3 + 2200х4≤5600
Второе ограничение следует из того, что в первом году некоторые проекты еще не требуют инвестиций, которые должны быть покрыты доходами от других проектов:
-200х1 + 100х2 + 500х3 - 300х4≥0
Далее запишем ограничение, вытекающее из ограниченности суммы расстояний:
100х1 + 90х2 + 120х3 + 160х4≤450
Аналогично запишем ограничение, которое следует из того, что общее количество работников филиалов ограничено:
100х1 + 120х2 + 120х3 + 150х4≤450
Наконец, запишем условие того, что второй и третий филиалы одновременно строить нельзя:
х2 + х3 ≤1
Модель оптимального распределения инвестиций по проектам состоит в максимизации целевой функции при ограничениях, т.е.
NPV = 1258,12х1 + 558,68х2 +