Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Методы решения уравнений линейной регрессии

Методы решения уравнений линейной регрессии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ФИЛИАЛ В Г. ЛИПЕЦКЕ


Контрольная работа

по эконометрике


Липецк, 2009 г.


Задача


По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.)


Y 31 23 38 47 46 49 20 32 46 24
Х 38 26 40 45 51 49 34 35 42 24

Требуется:

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков Методы решения уравнений линейной регрессии; построить график остатков.

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве.

Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,01 при Х=80% от его максимального значения.

Представить графически фактических и модельных значений Y, точки прогноза.

Составить уравнения нелинейной регрессии:

Гиперболической;

Степенной;

Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение

Уравнение линейной регрессии имеет вид:


Методы решения уравнений линейной регрессии= а0 + а1x.


Построим линейную модель.

Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю таблицу исходных данных по возрастанию факторной переменной Х (Данные => Сортировка). ( рис. 1).


Методы решения уравнений линейной регрессии

Рис.1


Используем программу РЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели (рис.2)


Методы решения уравнений линейной регрессии

Рис.2


Коэффициенты модели содержатся в таблице 3 (столбец Коэффициенты).

Таким образом, модель построена и ее уравнение имеет вид

Yт = 12,70755+0,721698Х.

Коэффициент регрессии b=0,721698, следовательно, при увеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн руб. объем выпуска продукции (Y) увеличивается в среднем на 0,721698 млн руб.

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков SІe; построить график остатков.

Остатки содержатся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица 4).

Программой РЕГРЕССИЯ найдены также остаточная сумма квадратов SSост=148,217 и дисперсия остатков MS=18,52712 (таблица 2).

Для построения графика остатков нужно выполнить следующие действия:

Вызвать Матер Диаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с соединенными точками).

Для указания данных для построения диаграммы зайти во вкладку Ряд, нажать кнопку Добавить; в качестве значений Х указать исходные данные Х (таблица 1);значения Y - остатки (таблица 4).


Методы решения уравнений линейной регрессии

Рис.3 График остатков


3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.

В уравнении линейной модели Y=a+b*X+ε слагаемое ε - случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной Y.

Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю, а дисперсия постоянна.

Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).

Распределение случайного члена является нормальными.

1) Проведем проверку случайности остаточной компоненты по критерию повторных точек.

Количество повторных точек определим по графику остатков: p=5

Вычислим критическое значение по формуле:


Методы решения уравнений линейной регрессии.


При Методы решения уравнений линейной регрессии найдем Методы решения уравнений линейной регрессии

Схема критерия:


Методы решения уравнений линейной регрессии


Сравним Методы решения уравнений линейной регрессии, следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по МНК, выполняется автоматически. С помощью функции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: Методы решения уравнений линейной регрессии.

Свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критерию Гольдфельда–Квандта.

В упорядоченных по возрастанию переменной X исходных данных (Методы решения уравнений линейной регрессии) выделим первые 4 и последние 4 уровня, средние 2 уровня не рассматриваем.

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по первым четырем наблюдениям (регрессия-1), для этой модели остаточная сумма квадратов Методы решения уравнений линейной регрессии.


Дисперсионный анализ






df SS MS F Значимость F
Регрессия 1 107,7894737 107,7894737 15,67347 0,15751
Остаток 1 6,877192982 6,877192982


Итого 2 114,6666667




С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним четырем наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов Методы решения уравнений линейной регрессии.


Дисперсионный анализ






df SS MS F Значимость F
Регрессия 1 4,166666667 4,166666667 0,186916 0,707647
Остаток 2 44,58333333 22,29166667


Итого 3 48,75




Рассчитаем статистику критерия:


Методы решения уравнений линейной регрессии.


Критическое значение при уровне значимости Методы решения уравнений линейной регрессиии числах степеней свободы Методы решения уравнений линейной регрессии составляет Методы решения уравнений линейной регрессии.

Схема критерия:


Методы решения уравнений линейной регрессии


Сравним Методы решения уравнений линейной регрессии, следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарбина–Уотсона


Методы решения уравнений линейной регрессии.


Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим Методы решения уравнений линейной регрессии; используем найденную программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты Методы решения уравнений линейной регрессии.

Таким образом,

Методы решения уравнений линейной регрессии

Схема критерия:


Методы решения уравнений линейной регрессии


Полученное значение d=2,375, что свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d’=4-d=1,62 и сравним ее с двумя критическими уровнями d1=0,88 и d2=1,32.

D’=1,62 лежит в интервале от d2=1,32 до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняются.


Методы решения уравнений линейной регрессии


С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков Методы решения уравнений линейной регрессии, следовательно r(1)=2,4869Е-14/148,217=1,67788Е-16.

Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение Методы решения уравнений линейной регрессииЦn и составляет для данной задачи Методы решения уравнений линейной регрессии

Сравнения показывает, что зr(1)= 1,67788Е-16<0,62, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

4) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью Методы решения уравнений линейной регрессиикритерия:


Методы решения уравнений линейной регрессии.


С помощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим Методы решения уравнений линейной регрессии, Методы решения уравнений линейной регрессии. Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет Методы решения уравнений линейной регрессии. Тогда:

Методы решения уравнений линейной регрессии

Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения Методы решения уравнений линейной регрессии и при Методы решения уравнений линейной регрессии составляет (2,67; 3,57).

Схема критерия:


Методы решения уравнений линейной регрессии


2,995 Методы решения уравнений линейной регрессии (2,67; 3,57), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса–Маркова.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t–критерия Стьюдента (Методы решения уравнений линейной регрессии).

t–статистика для коэффициентов уравнения приведены в таблице 4.

Для свободного коэффициента Методы решения уравнений линейной регрессии определена статистика Методы решения уравнений линейной регрессии.

Для коэффициента регрессии Методы решения уравнений линейной регрессии определена статистика Методы решения уравнений линейной регрессии.

Критическое значение Методы решения уравнений линейной регрессии найдено для уравнения значимости Методы решения уравнений линейной регрессии и числа степеней свободы Методы решения уравнений линейной регрессии с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.

Схема критерия:


Методы решения уравнений линейной регрессии


Сравнение показывает:

Методы решения уравнений линейной регрессии, следовательно, свободный коэффициент a является значимым.

Методы решения уравнений линейной регрессии, значит, коэффициент регрессии b является значимым.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F–критерия Фишера (Методы решения уравнений линейной регрессии), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R–квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ и составляет Методы решения уравнений линейной регрессии.

Таким образом, вариация объема выпуска продукции Y на 79,5% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F–критерия Фишера.

F–статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 2) и составляет Методы решения уравнений линейной регрессии.

Критическое значение Методы решения уравнений линейной регрессии найдено для уровня значимости Методы решения уравнений линейной регрессии и чисел степеней свободы Методы решения уравнений линейной регрессии, Методы решения уравнений линейной регрессии.

Схема критерия:


Методы решения уравнений линейной регрессии


Сравнение показывает: Методы решения уравнений линейной регрессии; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительный столбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле


Методы решения уравнений линейной регрессии


с помощью функции ABS (таблица 5).


ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение Предсказанное Y Остатки Отн. Погр-ти
1 27,14150943 6,858490566 20,17%
2 29,30660377 -3,306603774 12,72%
3 30,02830189 -6,028301887 25,12%
4 35,08018868 2,919811321 7,68%
5 35,80188679 -0,801886792 2,29%
6 40,13207547 -0,132075472 0,33%
7 45,90566038 -3,905660377 9,30%
8 45,90566038 5,094339623 9,99%
9 46,62735849 -1,627358491 3,62%
10 48,07075472 0,929245283 1,90%


По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение Методы решения уравнений линейной регрессии (функция СРЗНАЧ).

Схема проверки:


Методы решения уравнений линейной регрессии


Сравним: 9,31% < 15%, следовательно, модель является точной.

Вывод: на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшее использование такой модели для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости Методы решения уравнений линейной регрессии, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит 80% от 49, следовательно, Методы решения уравнений линейной регрессии. Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя У:

Методы решения уравнений линейной регрессии.

Таким образом, если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит около 48 млн. руб.

Зададим доверительную вероятность Методы решения уравнений линейной регрессии и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:


Методы решения уравнений линейной регрессии


Предварительно подготовим:

- стандартную ошибку модели Методы решения уравнений линейной регрессии (Таблица 2);

- по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение Методы решения уравнений линейной регрессии (функция СРЗНАЧ) и определим Методы решения уравнений линейной регрессии (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет:

Методы решения уравнений линейной регрессии

При Методы решения уравнений линейной регрессии размах доверительного интервала для среднего значения


Методы решения уравнений линейной регрессии


Границами прогнозного интервала будут


Методы решения уравнений линейной регрессии

Методы решения уравнений линейной регрессии


Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции будет от 45,3 млн. руб. до 50,67 млн. руб.

7. Представить графически фактические и модальные значения Y точки прогноза.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели:


тип → линейная; параметры → показывать уравнение на диаграмме.


Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:


Имя → прогноз; значения Методы решения уравнений линейной регрессии; значения Методы решения уравнений линейной регрессии;

Имя → нижняя граница; значения Методы решения уравнений линейной регрессии; значения Методы решения уравнений линейной регрессии;

Имя → верхняя граница; значения Методы решения уравнений линейной регрессии; значения Методы решения уравнений линейной регрессии


Методы решения уравнений линейной регрессии


8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической; степенной; показательной.

8.1 Гиперболическая модель

Уравнение гиперболической функции:

Методы решения уравнений линейной регрессии= a + b/x.


Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1/x. В результате получим линейное уравнение


Методы решения уравнений линейной регрессии= a + bX.


Рассчитаем параметры уравнения по данным таблицы 2.


b =Методы решения уравнений линейной регрессии =Методы решения уравнений линейной регрессии


а = Методы решения уравнений линейной регрессии =38,4+704,48*0,03=60,25.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

Методы решения уравнений линейной регрессии = 60,25-704,48/х.

8.2 Степенная модель

Уравнение степенной модели имеет вид: Методы решения уравнений линейной регрессии=аxb

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:


lg Методы решения уравнений линейной регрессии= lg a + b lg x.


Обозначим через


Y=lg Методы решения уравнений линейной регрессии, X=lg x, A=lg a.


Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.

b = Методы решения уравнений линейной регрессии =Методы решения уравнений линейной регрессии

A = Методы решения уравнений линейной регрессии = 1,57-0,64*1,53=0,59


Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 0,59+0,64* Х.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

Методы решения уравнений линейной регрессии= 100,59* х0,64.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

Методы решения уравнений линейной регрессии= 3,87* х0,64.

8.3 Показательная модель

Уравнение показательной кривой: Методы решения уравнений линейной регрессии=abx.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:


lg Методы решения уравнений линейной регрессии = lg a + x lg b.


Обозначим: Y = lg Методы решения уравнений линейной регрессии, B = lg b, A = lg a. Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B x. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 4.


В =Методы решения уравнений линейной регрессии =Методы решения уравнений линейной регрессии


А =Методы решения уравнений линейной регрессии = 1,57-0,01*35,6=1,27

Уравнение будет иметь вид: Y = 1,27+0,01х.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Методы решения уравнений линейной регрессии=101,27* ( 100,01)х = 18,55*1,02х.

Графики построенных моделей:

Методы решения уравнений линейной регрессии

Рис.3. Гиперболическая


Методы решения уравнений линейной регрессии

Рис.4. Степенная


Методы решения уравнений линейной регрессии

Рис.5. Показательная


9. Сравнение моделей по характеристикам: коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Вывод.

9.1 Гиперболическая модель

Коэффициент детерминации:


Методы решения уравнений линейной регрессии=Методы решения уравнений линейной регрессии


Вариация результата Y на 70,9% объясняется вариацией фактора Х.

Коэффициент эластичности:


Методы решения уравнений линейной регрессии =Методы решения уравнений линейной регрессии = 0,05.

Это означает, что при увеличении фактора Х на 1 % результирующий показатель изменится на 0,05 %.

Бета-коэффициент:


Sx=Методы решения уравнений линейной регрессии=0,01 Sy=Методы решения уравнений линейной регрессии=8,5 Методы решения уравнений линейной регрессии60,25*0,01/8,5=0,07.


Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 0,07 среднеквадратического отклонения этого показателя.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Методы решения уравнений линейной регрессииотн = 109,7/ 10= 10,97 %.

В среднем расчетные значения Методы решения уравнений линейной регрессии для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 10,97%.

9.2 Степенная модель

Коэффициент детерминации:


Методы решения уравнений линейной регрессии=Методы решения уравнений линейной регрессии


Вариация результата Y на 73,6% объясняется вариацией фактора Х. Коэффициент эластичности:


Методы решения
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: