Анализ предприятия с использованием регрессивного анализа
Содержание:
I. Введение
II. Теоретическая часть
1. Основные производственные показатели предприятия (организации)
2. Основные понятия корреляции и регрессии
3. Корреляционно-регрессионный анализ
4. Пример для теоретической части
III. Расчетная часть
IV. Заключение
V. Список использованной литературы
Введение
Полная и достоверная статистическая информация является тем необходимым основанием, на котором базируется процесс управления экономикой. Принятие управленческих решений на всех уровнях – от общегосударственного или регионального и до уровня отдельной корпорации или частной фирмы – невозможно без должного статистического обеспечения.
Именно статистические данные позволяют определить объемы валового внутреннего продукта и национального дохода, выявить основные тенденции развития отраслей экономики, оценить уровень инфляции, проанализировать состояние финансовых и товарных рынков, исследовать уровень жизни населения и другие социально-экономические явления и процессы.
Статистика – это наука, изучающая количественную сторону массовых явлений и процессов в неразрывной связи с их качественной стороной, количественное выражение закономерностей общественного развития в конкретных условиях места и времени.
Для получения статистической информации органы государственной и ведомственной статистики, а также коммерческие структуры проводят различного рода статистические исследования. Процесс статистического исследования включает три основные стадии: сбор данных, их сводка и группировка, анализ и расчет обобщающих показателей.
От того, как собран первичный статистический материал, как он обработан и сгруппирован, в значительной степени зависят результаты и качество всей последующей работы. Недостаточная проработка программно-методологических и организационных аспектов статистического наблюдения, отсутствие логического и арифметического контроля собранных данных, несоблюдение принципов формирования групп в конечном счете могут привести к абсолютно ошибочным выводам.
Не менее сложной, трудоемкой и ответственной является и заключительная, аналитическая стадия исследования. На этой стадии рассчитываются средние показатели и показатели распределения, анализируется структура совокупности, исследуется динамика и взаимосвязи между изучаемыми явлениями и процессами.
Используемые на всех стадиях исследования приемы и методы сбора, обработки и анализа данных являются предметом изучения общей теории статистики, которая является базовой отраслью статистической науки. Разработанная ею методология применяется в макроэкономической статистике, отраслевых статистиках (промышленности, сельского хозяйства, торговли и прочих), статистике населения, социальной статистике и в других статистических отраслях.
Теоретическая частьОсновные производственные показатели предприятия (организации)
Статистика промышленности – одна из отраслей экономической статистики. Она изучает промышленность, происходящие в ней явления, процессы, закономерности и взаимосвязи.
На основе статистического изучения производственно-хозяйственной деятельности промышленных предприятий вырабатываются стратегия и тактика развития предприятия, обосновываются производственная программа и управленческие решения, осуществляется контроль за их выполнением, выявляются резервы повышения эффективности производства, оцениваются результаты деятельности предприятий, его подразделений и работников.
В статистике промышленности применяют методологию системного статистического анализа основных экономических показателей результатов деятельности предприятия, характерных для рыночной экономики. Проводят анализ основных статистических показателей по различным направлениям производственно-хозяйственной деятельности предприятия: производство продукции, трудовые ресурсы и уровень их использования, основные фонды и производственное оборудование, оборотные средства и предметы труда, научно-технический прогресс, себестоимость промышленной продукции.
1. Статистика производства продукции
Продукция промышленности – прямой полезный результат промышленно-производственной деятельности предприятий, выраженный либо в форме продуктов, либо в форме производственных услуг (работ промышленного характера).
Для характеристики результатов деятельности отдельных предприятий, объединений, отраслей промышленности и всей промышленности в целом используется система стоимостных показателей продукции, включающая в себя валовой и внутризаводской обороты, товарную и реализованную продукцию.
2. Статистика рабочей силы и рабочего времени
Использование трудовых ресурсов в промышленности – одна из основных проблем, значение которой будет возрастать в связи с напряженным трудовым балансом. Вместе с тем, контроль за уровнем использования трудовых ресурсов – одна из важнейших задач статистического анализа результатов деятельности промышленных предприятий.
3. Статистика производительности труда
Производительность труда – качественная его характеристика, показывающая способность работников к производству материальных благ в единицу времени.
Уровень производительности труда характеризуется количеством продукции, создаваемой в единицу времени (выработка – прямой показатель), или затратами времени на производство единицы продукции (трудоемкость – обратный показатель). Прямые и обратные показатели используются для характеристики уровня производительности труда.
4. Статистика заработной платы
Заработная плата представляет собой часть общественного продукта, поступающего в индивидуальное распоряжение работников в соответствии с количеством затраченного ими труда. Статистика промышленности рассматривает номинальную заработную плату, выраженную суммой денег, начисленной работнику, без учета их покупательной способности.
5. Статистика основных фондов и производственного оборудования
Основные фонды представляют собой средства труда, которые целиком и в неизменной натуральной форме функционируют в производстве в течение длительного времени, постепенно перенося свою стоимость на произведенный продукт.
В статистике промышленности различают следующие характеристики стоимости основных фондов: полная первоначальная стоимость; первоначальная стоимость за вычетом износа (остаточная первоначальная стоимость); полная восстановительная стоимость; восстановительная стоимость за вычетом износа (остаточная восстановительная стоимость).
6. Статистика оборотных средств и предметов труда
6.1 Статистика оборотных средств
Оборотные средства – это выраженные в денежной форме оборотные фонды и фонды обращения, авансируемые в плановом порядке для обеспечения непрерывности производства и реализации продукции.
6.2 Статистика предметов труда
По своему происхождению предметы труда подразделяются на сырье и материалы. Сырьем называют продукты сельского хозяйства и добывающей промышленности; материалы – продукты обрабатывающей промышленности.
7. Статистика научно-технического прогресса
Основными направлениями научно-технического прогресса являются: электрификация, механизация, автоматизация и химизация производства; освоение и внедрение новых видов машин, аппаратов, приборов и новых технологических процессов; внедрение изобретений и рационализаторских предложений: углубление специализации и кооперирования.
8. Статистика себестоимости продукции
Под себестоимостью продукции понимают сумму выраженных в денежной форме затрат, связанных с выпуском определённого объема и состава продукции. Себестоимость – обобщающий качественный показатель работы предприятия. Ее уровень служит основой для определения цен на отдельные виды продукции.
Основные понятия корреляции и регрессии
Исследуя природу, общество, экономику, необходимо считаться со взаимосвязью наблюдаемых процессов и явлений. При этом полнота описания так или иначе определяется количественными характеристиками причинно-следственных связей между ними. Оценка наиболее существенных из них, а также воздействия одних факторов на другие является одной из основных задач статистики.
Формы проявления взаимосвязей весьма разнообразны. В качестве двух самых общих их видов выделяют функциональную (полную) и корреляционную (неполную) связи. В первом случае величине факторного признака строго соответствует одно или несколько значений функции. Достаточно часто функциональная связь проявляется в физике, химии. В экономике примером может служить прямо пропорциональная зависимость между производительностью труда и увеличением производства продукции.
Корреляционная связь (которую также называют неполной, или статистической) проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому – сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют неучтенные случайные величины. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев. При корреляционной связи каждому значению аргумента соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения функции.
Например, некоторое увеличение аргумента повлечет за собой лишь среднее увеличение или уменьшение (в зависимости от направленности) функции, тогда как конкретные значения у отдельных единиц наблюдения будут отличаться от среднего. Такие зависимости встречаются повсеместно. Например, в сельском хозяйстве это может быть связь между урожайностью и количеством внесенных удобрений. Очевидно, что последние участвуют в формировании урожая. Но для каждого конкретного поля, участка одно и то же количество внесенных удобрений вызовет разный прирост урожайности, так как во взаимодействии находится еще целый ряд факторов (погода, состояние почвы и др.), которые и формируют конечный результат. Однако в среднем такая связь наблюдается – увеличение массы внесенных удобрений ведет к росту урожайности.
По направлению связи бывают прямыми, когда зависимая переменная растет с увеличением факторного признака, и обратными, при которых рост последнего сопровождается уменьшением функции. Такие связи также можно назвать соответственно положительными и отрицательными.
Относительно своей аналитической формы связи бывают линейными и нелинейными. В первом случае между признаками в среднем проявляются линейные соотношения. Нелинейная взаимосвязь выражается нелинейной функцией, а переменные связаны между собой в среднем нелинейно.
Существует еще одна достаточно важная характеристика связей с точки зрения взаимодействующих факторов. Если характеризуется связь двух признаков, то ее принято называть парной. Если изучаются более чем две переменные – множественной.
Указанные выше классификационные признаки наиболее часто встречаются в статистическом анализе. Но, кроме перечисленных различают также непосредственные, косвенные и ложные связи. Собственно, суть каждой из них очевидна из названия. В первом случае факторы взаимодействуют между собой непосредственно. Для косвенной связи характерно участие какой-то третьей переменной, которая опосредует связь между изучаемыми признаками. Ложная связь – это связь, установленная формально и, как правило, подтвержденная только количественными оценками. Она не имеет под собой качественной основы или же бессмысленна.
По силе различаются слабые и сильные связи. Эта формальная характеристика выражается конкретными величинами и интерпретируется в соответствии с общепринятыми критериями силы связи для конкретных показателей.
В наиболее общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая – регрессионный анализ. В то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционно-регрессионный анализ, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительных процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов и др.
Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком смысле – когда всесторонне характеризуется взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле – когда исследуется сила связи – и регрессионный анализ, в ходе которого оцениваются ее форма и воздействие одних факторов на другие.
Задачи собственно корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.
Задачи регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной.
Решение названных задач опирается на соответствующие приемы, алгоритмы, показатели, применение которых дает основание говорить о статистическом изучении взаимосвязей.
Корреляционно-регрессионный анализДля выявления наличия связи, ее характера и направления в статистике используют методы: приведения параллельных данных; аналитических группировок; графический, корреляции.
Корреляционно-регрессионный анализ включает в себя измерение тесноты, направления связи и установление аналитического выражения (формы) связи (регрессионный анализ).
Одним из методов корреляционно-регрессионного анализа является метод парной корреляции, рассматривающий влияние вариации факторного признака x на результативный y. Аналитическая связь между ними описывается уравнениями:
прямой
параболы
гиперболы
и т.д.
Оценка параметров уравнения регрессии осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных yi от выравненных (теоретических) yxi
Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии имеет вид:
Для оценки типичности параметров уравнения регрессии используется t-критерий Стьюдента. При этом вычисляются фактические значения t-критерия для параметров. Полученные фактические значения сравниваются с критическим, которые получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы.
Полученные при анализе корреляционной связи параметры уравнения регрессии признаются типичными, если t фактическое больше t критического.
По приведенным на типичность параметрам уравнения регрессии производится синтезирование (построение) математической модели связи. При этом параметры примененной в анализе математической функции получают соответствующие количественные значения: один параметр показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов, а другой параметр – на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении факторного на единицу его собственного измерения.
Проверка практической значимости синтезированных в корреляционно-регрессионном анализе математических моделей осуществляется посредством показателей тесноты связи между признаками x и y.
Для статистической оценки тесноты связи применяются следующие показатели вариации:
1. общая дисперсия результативного признака, отображающая общее влияние всех факторов;
2. факторная дисперсия результативного признака, отображающая вариацию y только от воздействия изучаемого фактора, которая характеризует отклонение выровненных значений yx от их общей средней величины y;
3. остаточная дисперсия, отображающая вариацию результативного признака y от всех прочих, кроме x факторов, которая характеризует отклонение эмпирических (фактических) значений результативного признака yi от их выровненных значений yxi.
Соотношение между факторной и общей дисперсиями характеризует меру тесноты связи между признаками x и y
Этот показатель называется индексом детерминации (причинности). Он выражает долю факторной дисперсии, т.е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака y объясняется изменением факторного признака x. На основе предыдущей формулы определяется индекс корреляции R:
Используя правило сложения дисперсий, можно вычислить индекс корреляции.
При прямолинейной форме связи показатель тесноты связи определяется по формуле линейного коэффициента корреляции r:
Для оценки
значимости
коэффициента
корреляции
r применяется
t-критерий
Стьюдента с
учетом заданного
уровня значимости
и числа степеней
свободы k.
Если
,
то величина
коэффициента
корреляции
признается
существенной.
Для оценки значимости индекса корреляции R применяется F-критерий Фишера. Фактическое значение критерия FR определяется по формуле:
где m – число параметров уравнения регрессии.
Величина
FR
сравнивается
с критическим
значением FK,
которое определяется
по таблице F
– критерия с
учетом принятого
уровня значимости
и числа степеней
свободы k1=m-1
и k2=n-m.
Если FR> FK, то величина индекса корреляции признается существенной.
По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи.
|
Величина коэффициента корреляции |
Характер связи |
| до 0,3 | практически отсутствует |
| 0,3-0,5 | слабая |
| 0,5-0,7 | умеренная |
| 0,7-1,0 | сильная |
С целью расширения возможностей экономического анализа используются частные коэффициенты эластичности:
Он показывает, на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного на 1%.
Пример для теоретической части
Имеются следующие данные о производстве молочной продукции и стоимости основных производственных фондов по 15 предприятиям Московской области. Произведем синтез адекватной экономико-математической модели между изучаемыми признаками на базе метода наименьших квадратов. С экономической точки зрения сформулируем выводы относительно исследуемой связи.
Зависимость
y от x
найдем с помощью
корреляционно-регрессионного
анализа. Рассмотрим
прямолинейную
форму зависимости
y от x:
|
Таблица 1 |
||
|
Показатели работы предприятий Московской области |
||
|
Номер предприятия |
Молочная продукция (млн. руб.) |
Стоимость ОПФ (млн.руб.) |
| 1 | 6,0 | 3,5 |
| 2 | 9,2 | 7,5 |
| 3 | 11,4 | 5,3 |
| 4 | 9,3 | 2,9 |
| 5 | 8,4 | 3,2 |
| 6 | 5,7 | 2,1 |
| 7 | 8,2 | 4,0 |
| 8 | 6,3 | 2,5 |
| 9 | 8,2 | 3,2 |
| 10 | 5,6 | 3,0 |
| 11 | 11,0 | 5,4 |
| 12 | 6,5 | 3,2 |
| 13 | 8,9 | 6,5 |
| 14 | 11,5 | 5,5 |
| 15 | 4,2 | 8,2 |
|
Итого: |
120,4 |
66,0 |
Параметры этого уравнения найдем с помощью метода наименьших квадратов и, произведя предварительные расчеты, получим:
Получаем следующее уравнение регрессии:
Далее определим адекватность полученной модели. Определим фактические значения t-критерия для a0 и a1.
Из полученного уравнения следует, что с увеличением основных производственных фондов на 1 млн. руб., стоимость молочной продукции возрастает в среднем на 1,311 млн. руб.
Расчетная частьИмеются исходные выборочные данные по организациям одной из отраслей хозяйствования в отчетном году (выборка 20%-ная, бесповторная) о результатах производственной деятельности организаций:
|
Таблица Х |
|||||
|
Исходные данные |
|||||
|
№ организации |
Среднесписочная численность работников, чел. |
Выпуск продукции, млн.руб. |
Среднегодовая стоимость ОПФ, млн.руб. |
Уровень производительности труда, млн.руб. |
Фондоотдача |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 1 | 162 | 36,450 | 34,714 | 0,225 | 1,050 |
| 2 | 156 | 23,400 | 24,375 | 0,150 | 0,960 |
| 3 | 179 | 46,540 | 41,554 | 0,260 | 1,120 |
| 4 | 194 | 59,752 | 50,212 | 0,308 | 1,190 |
| 5 | 165 | 41,415 | 38,347 | 0,251 | 1,080 |
| 6 | 158 | 26,860 | 27,408 | 0,170 | 0,980 |
| 7 | 220 | 79,200 | 60,923 | 0,360 | 1,300 |
| 8 | 190 | 54,720 | 47,172 | 0,288 | 1,160 |
| 9 | 163 | 40,424 | 37,957 | 0,248 | 1,065 |
| 10 | 159 | 30,210 | 30,210 | 0,190 | 1,000 |
| 11 | 167 | 42,418 | 38,562 | 0,254 | 1,100 |
| 12 | 205 | 64,575 | 52,500 | 0,315 | 1,230 |
| 13 | 187 | 51,612 | 45,674 | 0,276 | 1,130 |
| 14 | 161 | 35,420 | 34,388 | 0,220 | 1,030 |
| 15 | 120 | 14,400 | 16,000 | 0,120 | 0,900 |
| 16 | 162 | 36,936 | 34,845 | 0,228 | 1,060 |
| 17 | 188 | 53,392 | 46,428 | 0,284 | 1,150 |
| 18 | 164 | 41,000 | 38,318 | 0,250 | 1,070 |
| 19 | 192 | 55,680 | 47,590 | 0,290 | 1,170 |
| 20 | 130 | 18,200 | 19,362 | 0,140 | 0,940 |
| 21 | 159 | 31,800 | 31,176 | 0,200 | 1,020 |
| 22 | 162 | 39,204 | 36,985 | 0,242 | 1,060 |
| 23 | 193 | 57,128 | 48,414 | 0,296 | 1,180 |
| 24 | 158 | 28,440 | 28,727 | 0,180 | 0,990 |
| 25 | 168 | 43,344 | 39,404 | 0,258 | 1,100 |
| 26 | 208 | 70,720 | 55,250 | 0,340 | 1,280 |
| 27 | 166 | 41,832 | 38,378 | 0,252 | 1,090 |
| 28 | 207 | 69,345 | 55,476 | 0,335 | 1,250 |
| 29 | 161 | 35,903 | 34,522 | 0,223 | 1,040 |
| 30 | 186 | 50,220 | 44,839 | 0,270 | 1,120 |
Задание 1
По исходным данным табл. Х:
Построить статистический ряд распределения организаций по уровню производительности труда, образовав пять групп с равными интервалами.
Постройте графики полученного ряда распределения.
Рассчитайте характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным (табл. Х), сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 настоящего задания. Объясните причину их расхождения.
Сделайте выводы по результатам выполнения Задания.
Выполнение Задания 1.
1. Решение:
Для построения интервального ряда распределения определяем величину интервала h по формуле:
,
где
–
наибольшее
и наименьшее
значения признака
в исследуемой
совокупности,
k – число
групп интервального
ряда.
При заданных k = 5, xmax = 360 тыс.руб. и xmin = 120 тыс.руб.
При h = 48 тыс. руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 1):
|
Таблица 1 |
||
|
Границы интервалов ряда распределения |
||
|
Номер группы |
Нижняя граница, тыс.руб. |
Верхняя граница, тыс.руб. |
|
1 |
2 |
3 |
| I | 120 | 168 |
| II | 168 | 216 |
| III | 216 | 264 |
| IV | 264 | 312 |
| V | 312 | 360 |
Определяем количество организаций, входящих в каждую группу, используя принцип полуоткрытого интервала [ ), согласно которому организации со значениями признаков, служащие одновременно верхними и нижними границами смежных интервалов (168, 216, 264, 312 и 360), будем относить ко второму из смежных интервалов.
Для определения числа организаций в каждой группе строим таблицу 2.
|
Таблица 2 |
|||
|
Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения |
|||
|
Группы фирм по уровню производительности труда, тыс.руб. |
Номер фирмы |
Уровень производительности труда, тыс. руб. |
Выпуск продукции, тыс.руб. |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
| 120-168 | 15 | 120 | 14 400 |
| 20 | 140 | 18 200 | |
| 2 | 150 | 23 400 | |
|
Всего: |
3 |
410 |
56 000 |
| 168-216 | 6 | 170 | 26 860 |
| 24 | 180 | 28 440 | |
| 10 | 190 | 30 210 | |
| 21 | 200 | 31 800 | |
|
Всего: |
4 |
740 |
117 310 |
| 216-264 | 14 | 220 | 35 420 |
| 29 | 223 | 35 903 | |
| 1 | 225 | 36 450 | |
| 16 | 228 | 36 936 | |
| 22 | 242 | 39 204 | |
| 9 | 248 | 40 424 | |
| 18 | 250 | 41 000 | |
| 5 | 251 | 41 415 | |
| 27 | 252 | 41 832 | |
| 11 | 254 | 42 418 | |
| 25 | 258 | 43 344 | |
| 3 | 260 | 46 540 | |
|
Всего: |
12 |
2 911 |
480 886 |
| 264-312 | 30 | 270 | 50 220 |
| 13 | 276 | 51 612 | |
| 17 | 284 | 53 392 | |
| 8 | 288 | 54 720 | |
| 19 | 290 | 55 680 | |
| 23 | 296 | 57 128 | |
| 4 | 308 | 59 752 | |
|
Всего: |
7 |
2 012 |
382 504 |
| 312-360 | 12 | 315 | 64 575 |
| 28 | 335 | 69 345 | |
| 26 | 340 | 70 720 | |
| 7 | 360 | 79 200 | |
|
Всего: |
4 |
1 350 |
283 840 |
|
ИТОГО: |
30 |
7 423 |
1 320 540 |
На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 2 формируем итоговую таблицу 3, представляющую интервальный ряд распределения организаций по уровню производительности труда.
|
Таблица 3 |
||
|
Распределение фирм по уровню производительности труда |
||
|
Номер группы |
Группы фирм по уровню производительности труда, тыс.руб. |
Число фирм |
|
1 |
2 |
3 |
| I | 120-168 | 3 |
| II | 168-216 | 4 |
| III | 216-264 | 12 |
| IV | 264-312 | 7 |
| V | 312-360 | 4 |
|
Итого: |
30 |
|
Приведем еще три характеристики полученного ряда распределения - частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле
.
|
Таблица 4 |
|||||
|
Структура фирм по уровню производительности труда |
|||||
|
Номер группы |
Группы фирм по уровню производительности труда, тыс.руб. |
Число фирм |
Накопленная частота |
Накопленная частость, % |
|
|
в абсолютном выражении |
в % к итогу |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| I | 120-168 | 3 | 10 | 3 | 10 |
| II | 168-216 | 4 | 13 | 7 | 23 |
| III | 216-264 | 12 | 40 | 19 | 63 |
| IV | 264-312 | 7 | 23 | 26 | 87 |
| V | 312-360 | 4 | 13 | 30 | 100 |
|
Итого: |
30 |
100 |
|||
Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности организаций показывает, что распределение организаций по уровню производительности труда не является равномерным: преобладают организации с уровнем производительности труда от 216 до 264 тыс.руб. (это 12 организаций, доля которых составляет 40%); самая малочисленная группа организаций имеет уровень производительности труда от 120 до 168 тыс.руб., которая включает 3 организации, что составляет 10% от общего числа организаций.
2. Решение:
По данным таблицы 3 (графы 2 и 3) строим график распределения организаций по уровню производительности труда.
Рис. 1. График полученного ряда распределения
Мода (Мо) – значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту. Наибольшей частотой является число 12. Этой частоте соответствует модальное значение признака, т.е. количество предприятий. Мода свидетельствует, что в данном примере чаще всего встречаются группы предприятий, входящие в интервал от 216 до 264.
В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:
где хМo – нижняя граница модального интервала,
h – величина модального интервала,
fMo – частота модального интервала,
fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,
fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Вывод. В данном случае наибольший процент предприятий по уровню производительности труда приходится на интервал от 216 до 264, а само значение средней характеризуется 246 (тыс.руб.)
Медиана (Ме) – это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медианы, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда.
Определяем медианный интервал, используя графу 5 табл. 4. Медианным интервалом является интервал 216-264 тыс.руб., т.к. именно в этом интервале накопленная частота Sj=19 впервые превышает полу-сумму всех частот
.
В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности ряды) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полу-сумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле:
Вывод: Полученный результат говорит о том, что из 30 организаций половина организаций имеют уровень производительности труда менее 247 тыс. руб., а вторая свыше.
3. Решение:
Для расчета
характеристик
ряда распределения
,
σ,
σ2,
Vσ
на основе табл.
4 строим вспомогательную
таблицу 5 (x’j
– середина
интервала).
|
Таблица 5 |
||||||
|
Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения |
||||||
|
Группы уровней производитель-ности труда, тыс.руб. |
Середина интервала |
Число органи-заций |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 120-168 | 144 | 3 | 432 | -104 | 10 816 | 32 448 |
| 168-216 | 192 | 4 | 768 | -56 | 3 136 | 12 544 |
| 216-264 | 240 | 12 | 2 880 | -8 | 64 | 768 |
| 264-312 | 288 | 7 | 2 016 | 40 | 1 600 | 11 200 |
| 312-360 | 336 | 4 | 1 344 | 88 | 7 744 | 30 976 |
|
Итого: |
30 |
7 440 |
87 936 |
|||
Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин x1, x2, …, xn – вычисляется по формуле:
Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.
Рассчитаем среднее квадратическое отклонение, которое равно корню квадратному из дисперсии:
Рассчитаем дисперсию:
σ2 = 54,14052=2931,2
Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение средне квадратического отклонения к средней арифметической.
Рассчитаем коэффициент вариации:
Вывод. Анализ
полученных
значений показателей
и σ
говорит о том,
что средняя
величина уровня
производительности
труда составляет
248 тыс.руб. отклонение
от этой величины
в ту или иную
сторону составляет
54,1405 (или 21,83%), наиболее
характерный
уровень производительности
труда находится
в пределах от
194 до 302 тыс.руб.
(диапазон
).
Значение
Vσ
= 21,83% не превышает
33%, следовательно,
вариация уровня
производительности
труда в исследуемой
совокупности
организаций
незначительна
и совокупность
по данному
признаку однородна.
Расхождение
между значениями
незначительно
(=248
тыс.руб., Мо=246
тыс.руб., Ме=247
тыс. руб.), что
подтверждает
вывод об однородности
совокупности
организаций.
Таким образом,
найденное
среднее значение
уровня