Финансовая рента

Финансовые ренты. Коэффициенты наращения финансовой ренты


Финансовые операции часто носят продолжительный характер и состоят не из разового платежа, а из их последовательности, т.е. из потока платежей.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом [5, с.46].

Основные правила процентных вычислений, рассмотренные нами ранее, остаются неизменными и для совокупности платежей, однако возникает необходимость ввести несколько дополнительных понятий. В финансовом анализе для обозначения денежных потоков в наиболее общем смысле используется термин рента.

Частным случаем ренты является финансовая рента или аннуитет - такой поток платежей, все члены которого равны друг другу, так же как и интервалы времени между ними.

Часто аннуитетом называют финансовый актив, приносящий фиксированный доход ежегодно в течение ряда лет [7, с.28].

В буквальном переводе "аннуитет" подразумевает, что платежи происходят с интервалом в один год, однако встречаются потоки с иной периодичностью выплат.

Очевидно, что рента - это более широкое понятие, чем аннуитет, так как существует множество денежных потоков, члены которых не равны друг другу или распределены неравномерно [7, с.28].

Форму аннуитетов имеют многие финансовые потоки, например выплата доходов по облигациям или платежи по кредиту, страховые взносы. Можно сказать, что финансы тяготеют к упорядочению денежных потоков.

Принцип временной ценности денег делает невозможным прямое суммирование членов ренты. Для учета влияния фактора времени к каждому члену ренты применяются рассмотренные выше правила наращения и дисконтирования только сложных процентов, то есть предполагается, что получатель потока имеет возможность реинвестировать получаемые им суммы.

Если бы размеры рент всегда ограничивались двумя-тремя членами, то необходимость создания специальных способов расчета денежных потоков, возможно, и не возникла.

Ни в теории, ни на практике таких ограничений нет, наоборот, существуют большие, очень большие и даже бесконечные денежные потоки (вечные ренты), поэтому были разработаны специальные методы, позволяющие анализировать ренту не по каждому ее члену в отдельности, а как единую совокупность - рассчитывать ее будущую и приведенную величины, а также определять размеры других важных параметров ренты.

Финансовая рента имеет следующие параметры:

член ренты - величина каждого отдельного платежа;

период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты - время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода;

процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты [3, с.62].

Классификация рент может быть произведена по различным признаками.

В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и p-срочные, где p - число выплат в году.

По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей [5, с.47].

По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты.

Если размеры платежей изменяются по какому - либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные.

Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей.

Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.

Рассмотрим расчет современной стоимости и наращенной суммы постоянной обычной (постнумерандо) p - срочной ренты [4, с.84].

Ежегодно сумма R вносится равными долями p раз в году на банковский счет в течение n лет. Тогда имеем поток из np платежей величиной Финансовая рента каждый в моменты Финансовая рента.

Примем за единицу измерения времени 1 год.

Пусть i - годовая эффективная процентная ставка начисления сложных процентов на поступающие платежи.

Согласно определению современной стоимости потока платежей, получаем


Финансовая рента (1)


Вычисляя сумму np членов геометрической прогрессии, знаменатель которой Финансовая рента, получим:


Финансовая рента (2)


современная стоимость постоянной обычной p - срочной ренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет.

Отсюда современная стоимость годовой обычной ренты (p = 1) при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году:


Финансовая рента. (3)


Используя соотношения эквивалентности для эффективной процентной ставки


Финансовая рента и Финансовая рента,

получим современную стоимость обычной p - срочной ренты при начислении на члены ренты сложных процентов m раз в году по номинальной процентной ставке i (m) и непрерывном начислении процентов при постоянной интенсивности процентов δ в год:


Финансовая рента (4)

Финансовая рента. (5)


Формулы для наращенной суммы ренты можно получить непосредственно по определению согласно формуле (3).

Например, для постоянной обычной p - срочной ренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет получаем:


Финансовая рента. (6)


Наращенную сумму ренты можно рассчитать, используя формулу связи современной стоимости и наращенной суммы потока платежей.

Например, для годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год:


S = A F (T) = A (1 + i) n = Финансовая рента (7)


Для других видов обычной ренты из (4) и (5), используя множители наращения Финансовая рента и Финансовая рента соответственно, получим:

Финансовая рента (8)

Финансовая рента (9)


В частности, при m = p (период начисления процентов равен периоду ренты) из (4) и (8) получаем


Финансовая рента (10)

Финансовая рента (11)


Если единицей измерения времени является 1 год, а R - это выплата за год (единицу времени), то множитель в формулах современной стоимости ренты, равный Финансовая рента, называется коэффициентом дисконтирования ренты.

Множитель в формулах наращенной суммы ренты, равный Финансовая рента, называется коэффициентом наращения ренты.

Из (1) - (11) можно получить коэффициенты наращения и дисконтирования всех рассмотренных видов обычной ренты.

Согласно (1) и (5), коэффициенты дисконтирования и наращения обычной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в году в течение n лет равны соответственно:


Финансовая рента (12)

Финансовая рента (13)


Финансовая рента и Финансовая рента - это соответственно современная стоимость и наращенная сумма постоянной обычной p - срочной ренты с ежегодной выплатой 1 д. е. равными долями p раз в году в размере Финансовая рента в моменты времени Финансовая рента с начислением на члены ренты процентов 1 раз в году.

Следовательно, Финансовая рентаи Финансовая рентасвязаны соотношением (14):


Финансовая рента= (1 + i) nФинансовая рента (14)


Аналогичный смысл имеют коэффициенты дисконтирования и наращения других рассмотренных видов обычной ренты.

Для этих рент имеем соотношения:


Финансовая рента - годовая рента с начислением процентов 1 раз в год;

Финансовая рента - p - срочная рента с начислением процентов m раз в год;

Финансовая рента - p - срочная рента с непрерывным начислением процентов.


Коэффициенты дисконтирования и наращения годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год:


Финансовая рента и Финансовая рента (15)


Если применяется p - срочная рента с начислением процентов p раз в год (m = p) по годовой номинальной ставке i (p), то за единицу измерения времени можно принять Финансовая рента часть года. Тогда Финансовая рента - выплата за единицу времени (постнумерандо), Финансовая рента - процентная ставка за 1 единицу времени,

срок ренты - np единиц времени.

Коэффициенты дисконтирования и наращения такой ренты равны соответственно


Финансовая рента и Финансовая рента.


Из формул (10), (11) имеем


Финансовая рента, Финансовая рента (16),


что позволяет для этой ренты использовать те же таблицы коэффициентов. Заметим, что если единицей измерения времени является 1 год, то коэффициенты дисконтирования и наращения этой ренты определяются как Финансовая рента = Финансовая рента и Финансовая рента = Финансовая рента и рассчитываются по формулам, полученным из (10), (11):


Финансовая рента, Финансовая рента (17). Тогда

Финансовая рента= Финансовая рента и Финансовая рента = Финансовая рента (18)


Рассмотрим ренту пренумерандо.

Связь между коэффициентами дисконтирования и наращения рент пренумерандо и постнумерандо следует из их определения. Срок дисконтирования каждого платежа ренты пренумерандо уменьшается, а срок наращения увеличивается на один период ренты по сравнению с обычной рентой. По - прежнему единицей измерения времени считаем 1 год. Если Финансовая рента и Финансовая рента - коэффициенты дисконтирования и наращения p - срочной ренты пренумерандо (платежи поступают в начале каждого периода длиной Финансовая рента) при начислении на члены ренты процентов 1 раз в год, то справедливы соотношения:


Финансовая рента= Финансовая рентаФинансовая рента

Финансовая рента = Финансовая рентаФинансовая рента

Финансовая рента = (1 + i) n Финансовая рента.


Отсюда при p = 1 получаем соотношения для годовых рент:


Финансовая рента= Финансовая рентаФинансовая рента

Финансовая рента = Финансовая рентаФинансовая рента

Финансовая рента = (1 + i) n Финансовая рента.


При непрерывном начислении процентов для p - срочной ренты имеем соотношения:


Финансовая рента = Финансовая рентаФинансовая рента

Финансовая рента

Финансовая рента.

Рассмотрим непрерывную ренту.

Коэффициенты дисконтирования и наращения постоянной непрерывной ренты можно получить из формул для p - срочной ренты при Финансовая рента или по определению для непрерывного равномерно выплачиваемого потока платежей с постоянной годовой интенсивностью f (t) = 1.

Например, для постоянной непрерывной ренты при непрерывном начислении процентов по постоянной силе роста Финансовая рента получаем:


Финансовая рента,


где Финансовая рента - коэффициент дисконтирования обычной p - срочной ренты при непрерывном начислении процентов.

Заметим, что так как


Финансовая рента,


где Финансовая рента - коэффициент дисконтирования p - срочной ренты пренумерандо при непрерывном начислении процентов, то


Финансовая рентаФинансовая рента.


Действительно, при непрерывно поступающих платежах различие между рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает.

Коэффициент дисконтирования постоянной непрерывной ренты при начислении процентов 1 раз в год получим по определению:

Финансовая рента.


Коэффициенты наращения непрерывных рент можно найти из равенств вида:


Финансовая рента = Финансовая рента,

Финансовая рента = Финансовая рента.


Соотношения между коэффициентами дисконтирования рассмотренных трех видов рент - обычной, пренумерандо и непрерывной - можно установить из следующих соображений.

Так как


Финансовая рента,


где i (p) - эквивалентная годовая номинальная процентная ставка, то


Финансовая рента.


С другой стороны,


Финансовая рентаФинансовая рента.


Следовательно

Финансовая рента Финансовая рента, (19)


где Финансовая рента, Финансовая рента - коэффициенты дисконтирования обычной годовой ренты с начислением процентов 1 раз в год и постоянной непрерывной ренты при непрерывном начислении процентов.

Равенства (19) можно продолжить для ренты пренумерандо, если учесть соотношения коэффициентов дисконтирования обеих рент:


Финансовая рента и Финансовая рента.


Тогда


Финансовая рента= Финансовая рента = Финансовая рента. (20)


где Финансовая рента - эквивалентная учетная ставка.

Из (19), (20) получаем


Финансовая рента, (21)


где Финансовая рента - эквивалентная номинальная учетная ставка.

Каждое выражение в этом равенстве - современная стоимость процентов, выплачиваемых по займу 1 д. е. на протяжении n лет в соответствии с различными способами выплаты процентов.

Аналогичные соотношения можно получить и для коэффициентов наращения рент.

Если полагают, что срок ренты n = ∞, то ренту называют вечной. Наращенная сумма вечной ренты бесконечна. Однако современную величину такой ренты можно найти.

Для обычной вечной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в год получаем при n → ∞:


Финансовая рента.


Для такой же ренты пренумерандо:


Финансовая рента.

Кроме того, Финансовая рента.

Таким образом, Финансовая рента, Финансовая рента, Финансовая рента. (21)


Если вечная рента является годовой (p = 1), то имеем:


Финансовая рента, Финансовая рента, Финансовая рента. (22)


Если начало ренты, т.е. начало ее первого периода, переносится в будущее на t единиц времени относительно текущего момента t = 0, то такую ренту называют отсроченной. Современная стоимость отсроченной ренты At определяется следующим образом. Согласно определению современной стоимости потока платежей,


Финансовая рента,

где Финансовая рента, Финансовая рента, Финансовая рента - дисконтные множители k - го платежа на временных отрезках [0, tk], [t, tk], [0, t] соответственно. Так как Финансовая рента, то A - стоимость ренты, рассчитанная на момент начала ее первого периода, т.е. на момент начала неотсроченной ренты.

Следовательно, A - это современная стоимость неотсроченной ренты.

Таким образом, современная стоимость отсроченной ренты определяется путем дисконтирования по процентной ставке ренты в течение времени t современной стоимости A неотсроченной ренты:


Финансовая рента, (23)


Рассмотрим зависимость коэффициентов наращения ренты от срока ренты и процентной ставки.

Поскольку характер зависимости не должен зависеть от числа платежей в году, рассмотрим годовую обычную ренту с начислением процентов 1 раз в год.


Имеем Финансовая рента, Финансовая рента.


Ситуацию можно рассматривать как беспроцентный долг, выданный в сумме n и возвращаемый равными долями в течение n лет.

Установим зависимость от i коэффициента наращения ренты Финансовая рента.


Финансовая рента.


Очевидно, Финансовая
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: