Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Понятие и классификация систем массового обслуживания

Понятие и классификация систем массового обслуживания

/> получим выражение для среднего числа заявок в очереди:

Среднее число обслуживаемых заявок определяется формулой:

Среднее время пребывания в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).

5.7 Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди

Отличие такой СМО от СМО, рассмотренной в подразделе 5.5, состоит в том, что время ожидания обслуживания, когда заявка находится в очереди, считается случайной величиной, распределённой по показательному закону с параметром , где  – среднее время ожидания заявки в очереди, а  – имеет смысл интенсивности потока ухода заявок из очереди. Граф такой СМО изображён на рисунке 9.


Рисунок 9 – Граф многоканальной СМО с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди

Остальные обозначения имеют здесь тот же смысл, что и в подразделе.

Сравнение графов на рис. 3 и 9 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

             (29)

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5) с учетом (29). В результате получим:

,

где . Вероятность образования очереди определяется формулой:


Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е. вероятность отказа в обслуживании:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число заявок, находящихся в очереди, находится по формуле (11) и равно:

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, находится по формуле (10) и равно:


Среднее время пребывания заявки в СМО складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания заявки:

 

 

6. Метод Монте-Карло

 

6.1 Основная идея метода

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое  и принимают  в качестве оценки (приближённого значения) a* искомого числа a:

.

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний.

6.2 Разыгрывание непрерывной случайной величины

Пусть необходимо получить значения случайной величины , распределенной в интервале  с плотностью . Докажем, что значения  можно найти из уравнения

,                                                                                              (30)

где  – случайная величина, равномерно распределенная на интервале .

Т.е. выбрав очередное значение  надо решить уравнение (30) и найти очередное значение . Для доказательства рассмотрим функцию:

Имеем общие свойства плотности вероятности:

                                                                                        (31)

                                                                                            (32)

Из (31) и (32) следует, что , а производная .

Значит, функция  монотонно возрастает от 0 до 1. И любая прямая , где , пересекает график функции  в единственной точке, абсциссу которой мы и принимаем за . Таким образом, уравнение (30) всегда имеет одно и только одно решение.

Выберем теперь произвольный интервал , содержащийся внутри . Точкам этого интервала отвечают ординаты кривой, удовлетворяющие неравенству . Поэтому, если  принадлежит интервалу , то

 принадлежит интервалу , и наоборот. Значит: . Т.к.  равномерно распределена в , то

, а это как раз и означает, что случайная величина , являющаяся корнем уравнения (30) имеет плотность вероятностей .


6.3 Случайная величина с экспоненциальным распределением

Простейшим потоком (или потоком Пуассона) называется такой поток заявок, когда промежуток времени  между двумя последовательными заявками есть случайная величина, распределенная на интервале  с плотностью

Вычислим математическое ожидание:

После интегрирования по частям, получим:

.

Параметр  есть интенсивность потока заявок.

Формулу для розыгрыша  получим из уравнения (30), которое в данном случае запишется так: .

Вычислив интеграл, стоящий слева, получим соотношение . Отсюда, выражая , получим:

                                                                                  (33)

Т.к. величина  распределена также как и , следовательно, формулу (33) можно записать в виде:


                                                                                        (34)

 


7 Исследование системы массового обслуживания

 

7.1 Проверка гипотезы о показательном распределении

 

Исследуемое мной предприятие представляет собой двухканальную систему массового обслуживания с ограниченной очередью. На вход поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивности обслуживания заявок каждым из каналов μ, а максимальное число мест в очереди m.

Начальные параметры:

Время обслуживания заявок имеет эмпирическое распределение, указанное ниже и имеет среднее значение .

Мной были проведены контрольные замеры времени обработки заявок, поступающих в данную СМО. Чтобы приступить к исследованию, необходимо установить по этим замерам закон распределения времени обработки заявок.

Таблица 6.1 – Группировка заявок по времени обработки

Количество заявок 22 25 23 16 14 10 8 4
Время обработки, мин 0–5 5–10 10–15 15–20 20–25 25–30 30–35 35–40

Выдвигается гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы, при уровне значимости  проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, каждый i – й интервал заменяем его серединой  и составляем последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2) Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

3) Найти вероятности попадания X в частичные интервалы по формуле:

4) Вычислить теоретические частоты:

,

где - объем выборки

5) Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где S – число интервалов первоначальной выборки.


Таблица 6.2 – Группировка заявок по времени обработки с усредненным временным интервалом

Количество заявок 22 25 23 16 14 10 8 4
Время обработки, мин 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5

Найдем выборочную среднюю:

2) Примем в качестве оценки параметра λ экспоненциального распределения величину, равную . Тогда:

 ()

3) Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

Для первого интервала:


Для второго интервала:

Для третьего интервала:

Для четвертого интервала:

Для пятого интервала:

Для шестого интервала:

Для седьмого интервала:

Для восьмого интервала:

4) Вычислим теоретические частоты:


Результаты вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические  и теоретические  частоты с помощью критерия Пирсона.

Для этого вычислим разности , их квадраты, затем отношения . Суммируя значения последнего столбца, находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. По таблице критических точек распределения  при уровне значимости  и числу степеней свободы  находим критическую точку

Таблица 6.3 – Результаты вычислений

i

1 22 0,285 34,77 -12,77 163,073
Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: