Понятие и классификация систем массового обслуживания
Среднее число обслуживаемых заявок определяется формулой:
Среднее время пребывания в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).
5.7 Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очередиОтличие такой СМО от СМО, рассмотренной в подразделе 5.5, состоит
в том, что время ожидания обслуживания, когда заявка находится в очереди,
считается случайной величиной, распределённой по показательному закону с
параметром 
, где 
– среднее
время ожидания заявки в очереди, а 
– имеет смысл
интенсивности потока ухода заявок из очереди. Граф такой СМО изображён на рисунке
9.
Рисунок 9 – Граф многоканальной СМО с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди
Остальные обозначения имеют здесь тот же смысл, что и в подразделе.
Сравнение графов на рис. 3 и 9 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):
(29)
Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5) с учетом (29). В результате получим:
,
где 
. Вероятность образования очереди
определяется формулой:
Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е. вероятность отказа в обслуживании:
Относительная пропускная способность:
Абсолютная пропускная способность:
Среднее число заявок, находящихся в очереди, находится по формуле (11) и равно:
Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, находится по формуле (10) и равно:
Среднее время пребывания заявки в СМО складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания заявки:
6. Метод Монте-Карло
6.1 Основная идея метода
Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.
Практически же поступают
так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х;
вычисляют их среднее арифметическое 
и принимают 
в качестве оценки (приближённого значения) a* искомого числа a:
.
Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний.
6.2 Разыгрывание непрерывной случайной величиныПусть необходимо получить значения случайной величины 
, распределенной в интервале 
с плотностью 
. Докажем,
что значения можно найти из уравнения
,
(30)
где 
– случайная величина, равномерно
распределенная на интервале 
.
Т.е. выбрав очередное значение надо
решить уравнение (30) и найти очередное значение . Для доказательства
рассмотрим функцию:
Имеем общие свойства плотности вероятности:
(31)
(32)
Из (31) и (32) следует, что 
, а
производная 
.
Значит, функция 
монотонно возрастает от 0
до 1. И любая прямая 
, где 
,
пересекает график функции 
в единственной точке,
абсциссу которой мы и принимаем за . Таким образом, уравнение
(30) всегда имеет одно и только одно решение.
Выберем теперь произвольный интервал 
,
содержащийся внутри . Точкам этого интервала отвечают
ординаты кривой, удовлетворяющие неравенству 
.
Поэтому, если принадлежит интервалу , то
принадлежит интервалу 
, и наоборот. Значит: 
.
Т.к. равномерно распределена в , то
, а это как раз и означает, что
случайная величина , являющаяся корнем уравнения (30)
имеет плотность вероятностей .
6.3 Случайная величина с экспоненциальным распределением
Простейшим
потоком (или потоком Пуассона) называется такой поток заявок, когда промежуток
времени 
между двумя последовательными заявками есть
случайная величина, распределенная на интервале 
с
плотностью
Вычислим
математическое ожидание: 
После интегрирования по частям, получим:
.
Параметр 
есть интенсивность потока заявок.
Формулу для
розыгрыша получим из уравнения (30), которое в данном
случае запишется так: 
.
Вычислив
интеграл, стоящий слева, получим соотношение 
. Отсюда,
выражая , получим:
(33)
Т.к. величина
распределена также как и , следовательно, формулу (33) можно записать
в виде:
(34)
7 Исследование системы массового обслуживания
7.1 Проверка гипотезы о показательном распределении
Исследуемое мной предприятие представляет собой двухканальную систему массового обслуживания с ограниченной очередью. На вход поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивности обслуживания заявок каждым из каналов μ, а максимальное число мест в очереди m.
Начальные параметры:
Время
обслуживания заявок имеет эмпирическое распределение, указанное ниже и имеет
среднее значение 
.
Мной были проведены контрольные замеры времени обработки заявок, поступающих в данную СМО. Чтобы приступить к исследованию, необходимо установить по этим замерам закон распределения времени обработки заявок.
Таблица 6.1 – Группировка заявок по времени обработки
| Количество заявок | 22 | 25 | 23 | 16 | 14 | 10 | 8 | 4 |
| Время обработки, мин | 0–5 | 5–10 | 10–15 | 15–20 | 20–25 | 25–30 | 30–35 | 35–40 |
Выдвигается гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности.
Для того
чтобы, при уровне значимости 
проверить гипотезу о том,
что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:
1) Найти по
заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю 
. Для этого, каждый i – й интервал заменяем
его серединой 
и составляем последовательность
равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.
2) Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней:
3) Найти вероятности попадания X в частичные интервалы по формуле:
4) Вычислить теоретические частоты:
,
где 
- объем выборки
5) Сравнить
эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число
степеней свободы 
, где S – число интервалов
первоначальной выборки.
Таблица 6.2 – Группировка заявок по времени обработки с усредненным временным интервалом
| Количество заявок | 22 | 25 | 23 | 16 | 14 | 10 | 8 | 4 |
| Время обработки, мин | 2,5 | 7,5 | 12,5 | 17,5 | 22,5 | 27,5 | 32,5 | 37,5 |
Найдем выборочную среднюю:
2) Примем в
качестве оценки параметра λ экспоненциального распределения величину,
равную 
. Тогда:
(
)
3) Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:
Для первого интервала:
Для второго интервала:
Для третьего интервала:
Для четвертого интервала:
Для пятого интервала:
Для шестого интервала:
Для седьмого интервала:
Для восьмого интервала:
4) Вычислим теоретические частоты:
Результаты
вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические 
и
теоретические 
частоты с помощью критерия
Пирсона.
Для этого
вычислим разности 
, их квадраты, затем отношения 
. Суммируя значения последнего столбца,
находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. По таблице критических точек
распределения 
при уровне значимости 
и числу степеней свободы 
находим критическую точку 
Таблица 6.3 – Результаты вычислений
| i |
|
|
|
|
|
|
| 1 | 22 | 0,285 | 34,77 | -12,77 | 163,073 |
Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.),
обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Похожие рефераты: |
