Понятие и классификация систем массового обслуживания
Т.к. 
, то нет оснований отвергнуть гипотезу о
распределении X
по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой
гипотезой.
7.2 Расчет основных показателей системы массового обслуживания
Данная система представляет собой частный случай системы гибели и размножения.
Граф данной системы:
Рисунок 10 – Граф состояний исследуемой СМО
Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, то существует предельное распределение вероятностей состояний. В стационарных условиях поток, входящий в данное состояние должен быть равен потоку, выходящему из данного состояния.
(1)
Для состояния S0:
Следовательно:
Для состояния S1:
Следовательно:
С учетом
того, что :
Аналогично получаем уравнения для остальных состояний системы. В результате получим систему уравнений:
Решение этой системы будет иметь вид:
; 
; 
; 
; 
;
; 
.
Или, с учетом (1):
; 
; 
; 
; 
; 
;
.
Коэффициент загруженности СМО:
С учетом этого предельные вероятности перепишем в виде:
Наивероятнейшее состояние – оба канала СМО заняты и заняты все места в очереди.
Вероятность образования очереди:
Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е.:
Относительная пропускная способность равна:
Вероятность того, что вновь поступившая заявка будет обслужена, равна 0,529
Абсолютная пропускная способность:
СМО обслуживает в среднем 0,13225 заявок в минуту.
Среднее число заявок, находящихся в очереди:
Среднее число заявок в очереди близко к максимальной длине очереди.
Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, может быть записано в виде:
В среднем все каналы СМО постоянно заняты.
Среднее число заявок, находящихся в СМО:
Для открытых СМО справедливы формулы Литтла:
Среднее время пребывания заявки с СМО:
Среднее время пребывания заявки в очереди:
7.3 Выводы о работе исследуемой СМО
Наиболее вероятное состояние данной СМО – занятость всех каналов и мест в очереди. Приблизительно половина всех поступающих заявок покидают СМО необслуженными. Приблизительно 66,5% времени ожидания приходиться на ожидание в очереди. Оба канала постоянно заняты. Все это говорит о том, что в целом данная схема СМО неудовлетворительна.
Чтобы снизить загрузку каналов, сократить время ожидания в очереди и снизить вероятность отказа необходимо увеличить число каналов и ввести систему приоритетов для заявок. Число каналов целесообразно увеличить до 4. Также необходимо сменить дисциплину обслуживания с FIFO на систему с приоритетами. Все заявки теперь будут иметь принадлежность к одному из двух приоритетных классов. Заявки I класса имеют относительный приоритет по отношению к заявкам II класса. Для расчета основных показателей этой видоизмененной СМО целесообразно применить какой-либо из методов имитационного моделирования. Была написана программа на языке Visual Basic, реализующая метод Монте-Карло.
8 Исследование видоизмененной СМО
Пользователю
при работе с программой необходимо задать основные параметры СМО, такие как интенсивности
потоков, количество каналов, приоритетных классов, мест в очереди (если
количество мест в очереди равно нулю, то СМО с отказами), а также временной
интервал модуляции и количество испытаний. Программа преобразовывает
сгенерированные случайные числа по формуле (34), таким образом, пользователь
получает последовательность временных интервалов 
,
распределенных показательно. Затем отбирается заявка с минимальным , и ставится в очередь, согласно ее
приоритету. За это же время происходит перерасчет
очереди и каналов. Затем эта операция повторяется до окончания времени
модуляции, задаваемого изначально. В теле программы присутствуют счетчики, на
основании показаний которых и формируются основные показатели СМО. Если для
увеличения точности было задано несколько испытаний, то в качестве конечных
результатов принимается оценка за серию опытов. Программа получилась достаточно
универсальной, с ее помощью могут быть исследованы СМО с любым количеством
приоритетных классов, либо вообще без приоритетов. Для проверки корректности
работы алгоритма, в него были введены исходные данные классической СМО,
исследуемой в разделе 7. Программа смоделировала результат близкий к тому,
который был получен с помощью методов теории массового обслуживания (см.
приложение Б). Погрешность, возникшая в ходе имитационного моделирования, может
быть объяснена тем, что проведено недостаточное количество испытаний.
Результаты, полученные с помощью программы для СМО с двумя приоритетными
классами и увеличенным числом каналов, показывают целесообразность этих
изменений (см. приложение В). Высший приоритет был присвоен более «быстрым»
заявкам, что позволяет
быстро обследовать короткие задания. Сокращается средняя длина очереди в
системе, а соответственно минимизируется средство для организации очереди. В
качестве основного недостатка данной организации можно выделить то, что
«долгие» заявки находятся в очереди длительно время или вообще получают отказ.
Введенные приоритеты могут быть переназначены после оценки полезности того или
иного типа заявок для СМО.
Заключение
В данной работе была исследована двухканальная СМО методами теории массового обслуживания, рассчитаны основные показатели, характеризующие ее работу. Был сделан вывод о том, что данный режим работы СМО не является оптимальным и были предложены методы, снижающие загруженность и повышающие пропускную способность системы. Для проверки этих методов была создана программа, моделирующая метод Монте-Карло, с помощью которой были подтверждены результаты вычислений для исходной модели СМО, а также рассчитаны основные показатели для видоизмененной. Погрешность алгоритма может быть оценена и снижена путем увеличения количества испытаний. Универсальность программы позволяет использовать ее при исследовании различных СМО, в том числе и классических.
Список использованных источников
1 Вентцель, Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. - М.: «Советское радио», 1972. - 552 с.
2 Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М.: «Высшая школа», 2003. - 479 с.
3 Лаврусь, О.Е. Теория массового обслуживания. Методические указания/ О.Е. Лаврусь, Ф.С. Миронов. - Самара: СамГАПС, 2002.- 38 с.
4 Саакян, Г.Р. Теория массового обслуживания: лекции / Г.Р. Саакян. - Шахты: ЮРГУЭС, 2006. - 27 с.
5 Авсиевич, А.В. Теория массового обслуживания. Потоки требований, системы массового обслуживания / А.В. Авсиевич, Е.Н. Авсиевич. - Самара: СамГАПС, 2004. - 24 с.
6 Черненко, В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3. т. Т. 3/ В.Д. Черненко. - Санкт – Петербург: Политехника, 2003. - 476 с.
7 Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок. Пер.с англ./ Пер. И.И. Грушко; под ред. В.И. Нейман. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.
8 Олзоева, С.И. Моделирование и расчет распределенных информационных систем. Учебное пособие / С.И. Олзоева. - Улан-Удэ: ВСГТУ, 2004. - 66 с.
9 Соболь, И.М. Метод Монте-Карло / И.М. Соболь. - М.: «Наука», 1968. - 64 с.