Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів

Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів

Содержание


Вступ

1. Принципи моделювання на ЕОМ випадкових елементів

2. Моделювання випадкових величин із заданими ймовірнісними характеристиками

Моделювання випадкових величин, що приймають дискретні значення

Моделювання випадкових величин із заданими щільностями імовірностей методом обернених функцій

Моделювання випадкових величин із заданими щільностями імовірностей методом суперпозиції

Моделювання гаусових випадкових величин методом сумації

Моделювання випадкових величин із експоненціальним розподілом та розподілом Релея

Вступ


При статистичному моделюванні на ЕОМ систем та мереж зв’язку виникає необхідність моделювання різних випадкових елементів - одержання на ЕОМ реалізацій випадкових величин та випадкових процесів, які описують реальні фізичні явища, події та процеси функціювання цих систем. Розглянемо основні принципи, методи та алгоритми моделювання на ЕОМ типових випадкових величин та випадкових процесів, що можуть бути використані для статистичних випробовувань при моделюванні систем та мереж зв’язку на ЕОМ.

1. Принципи моделювання на ЕОМ випадкових елементів


При моделюванні випадкових елементів (ВЕ) на ЕОМ розглядають три об'єкти: реальний фізичний об'єкт, його математичну модель, алгоритм моделювання на ЕОМ реалізацій ВЕ на основі вибранної математичної моделі. Наприклад, в системах та мережах зв'язку такими реальними фізичними об'єктами можуть бути повідомлення, сигнали-переносчики, модульовані сигнали, завади, потоки заявок, процеси обслуговування заявок, процеси комутації. Математичні моделі цих фізичних процесів - це різні класи випадкових процесів з імовірнісними характеристиками, що відповідають реальним фізичним процесам. Результатом моделювання на ЕОМ є вибірки реалізацій процесів, що одержуються за допомогою спеціальних моделюючих алгоритмів. Моделювання ВЕ базується на таких принципах:

ВЕ визначається (“конструюється”) як відповідна борелівська функція від найпростіших базових випадкових величин (БВВ);

повинна бути забезпечена близькість (за вибраним критерієм) імовірнісних характеристик реальних фізичних процесів та змодельованих реалізацій випадкових процесів.

БВВ одержують в результаті проведення на ЕОМ найпростішого випадкового експерименту.

Експеримент полягає в “киданні точки навмання“ в інтервал [0,1) (мал.1). Математичною моделлю такого експерименту є ймовірнісний простір Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, де Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - це простір незалежних елементарних подій Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів; Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - це елементарна подія, яка полягає в тому, що координата кинутої точки дорівнює Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів; Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - це Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів-алгебра, що породжена напівінтервалами з простору Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів; Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - це імовірнісна міра, яка визначена для підмножин Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесіві збігається з мірою Лебега, так що Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів


Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів

Рисунок 1 - Графічне пояснення найпростішого випадкового експерименту для одержання реалізацій БВВ


Випадкова величина Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, що задана на просторі Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, породжує інший імовірнісний простір Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, де Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - це множина значень на числовій осі; Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - борельова Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесівалгебра, Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - індуктована імовірнісна міра. Фактично, Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - це функція розподілу БВВ Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, що у даному випадку має вигляд


Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів (1)


Відповідна їй щільність розподілу рівномірна на півінтервалі [0,1]


Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів (2)


На рис.2 наведені графічні зображення функції і щільності розподілу ВВ Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів.

моделювання випадкова величина алгоритм

Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесівМоделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів

а б

Рисунок 2 - Графічне зображення функції розподілу (а) та щільності розподілу (б) БВВ.


У кожній ЕОМ є генератори (спеціальні програми) одержання випадкових величин, що мають вказані ймовірнісні характеристики. При послідовному звертанні Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів раз до таких програм моделюється вибірка із Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів незалежних реалізацій БВВ Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, яка в подальшому використовується для побудови ВЕ із необхідними ймовірнісними характеристиками.

При моделюванні на ЕОМ складних ВЕ, зокрема, випадкової величини (ВВ) або випадкового процесу (ВП) з заданими ймовірнісними характеристиками розглядається складний випадковий експеримент, що полягає в проведенні Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів раз описаного вище найпростішого експерименту. Цей складний експеримент описується імовірнісним простором Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, де Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - декартовий добуток: Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів; Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - найменша Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - алгебра, що побудована на Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів; Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - імовірнісна міра, отримана як добуток імовірнісних мір для найпростішого експерименту.

В результаті проведення такого складного експерименту отримуємо Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів БВВ. Далі відповідно до першого принципу моделювання ВЕ на ЕОМ будь-який складний випадковий елемент Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів отримується як борелівська функція від Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів БВВ


Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів. (4)


Підбирають функцію Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів і число Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів таким, щоб імовірнісні характеристики отриманого ВЕ Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів збігалися з імовірнісними характеристиками оригіналу, що моделюється. Існують різні критерії близькості імовірнісних характеристик ВЕ - оригіналу і ВЕ, отриманого при моделюванні, зокрема, критерій Пірсона, критерій Колмогорова.

2. Моделювання випадкових величин із заданими ймовірнісними характеристиками


Оскільки моделювання випадкових процесів на ЕОМ зводиться до моделювання послідовності випадкових величин із заданими ймовірнісними характеристиками, спочатку розглянемо особливості моделювання деяких випадкових величин.


Моделювання випадкових величин, що приймають дискретні значення


Розглянемо моделювання випадкових величин Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, що приймають Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів дискретних значень Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів із заданими ймовірностями Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів (Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів). Моделювання таких ВВ може бути зведене до моделювання повної групи Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів незалежних подій, які відбуваються з імовірностями Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів. Для цього використовується датчик БВВ із математичною моделлю Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів.

Введемо систему таких підмножин Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, щоб їх можна було розглядати як повну групу незалежних подій на Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів. При цьому повинні задовольнятись умови Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів; Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів; Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів. Визначимо ці підмножини так


Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, (5)

де Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів і Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - це межі інтервалів, які визначаються за формулою

Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, причому Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів. (6)


Зважаючи на те, що БВВ розподілена рівномірно на інтервалі Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, імовірності підмножин Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів визначаються через щільність розподілу БВВ відповідним спввідношенням


Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів. (7)


Це означає, що імовірність попадання значення БВВ в інтервал Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів дорівнює довжині цього інтервалу (рис.3).


Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів

Рисунок 3 - Геометричне пояснення моделювання групи незалежних подій з допомогою БВВ


Таким чином, моделювання ВВ Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, яка приймає дискретні значення, полягає у виборі значення БВВ за допомогою генератора, перевірки попадання значення БВВ до однієї з підмножин Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів і винесенні рішення про те, що модельоване ВВ приймає значення Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів


Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, (8)

де Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - це характеристична функція множини. (9)


Моделювання випадкових величин із заданими щільностями імовірностей методом обернених функцій


Розглянемо моделювання ВВ Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів із заданою щільністю ймовірності Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів та функцією розподілу


Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів. (10)


Якщо функція Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів є строго монотонно зростаючою, то із рівняння Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів можна знайти обернену функцію


Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів. (11)


Підставивши замість Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів БВВ Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, можна одержати алгоритм моделювання ВВ із заданим розподілом:


Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів. (12)


Таким чином, для моделювання на ЕОМ ВВ Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів із заданою щільністю ймовірності, потрібно виконати такі операції:

знайти функцію розподілу, користуючись заданою щільністю ймовірності;

знайти функцію, що буде оберненою до функції розподілу;

одержувати реалізації БВВ Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів;

обчислювати значення ВВ Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів як значення знайденої функції Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів.

Виконуючи ці операції Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - разів, одержимо вибірку реалізацій Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів. Скориставшись нею, можна побудувати гістограму розподілу і порівняти її з заданою щільністю ймовірності.

Даний метод моделювання має недоліки тому, що не завжди вдається аналітично розрахувати для заданої щільності ймовірностей Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів інтеграл для одержання Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, і не для всякої функції розподілу вдається одержати обернену функцію.


Моделювання випадкових величин із заданими щільностями імовірностей методом суперпозиції


Цей метод базується на зображенні складних щільностей ймовірностей Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів через простіші. Зокрема, можна подати будь-яку щільність ймовірності випадкової величини Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів у вигляді суміші простих розподілів


Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, (13)


де Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - деякі коефіцієнти, причому Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів, а Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів - щільності розподілу ВВ, для яких досить просто виконати моделювання на ЕОМ.

В основі моделювання лежить такий математичний апарат. Нехай існують ВВ Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів і Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів незалежні між собою і задані на тому самому імовірнісному просторі Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів. Нехай Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: