Модели и методы принятия решений

Содержание


Вступление

1. Оптимизация решений динамическими методами

2. Динамическая оптимизация в планировании работ

3. Задачи принятия решений в условиях риска

4. Задачи принятия решений в условиях неопределенности

Литература


ВСТУПЛЕНИЕ


Одной из составных частей современной науки управления является набор количественных методов исследования сложных явлений и процессов. В условиях совершенствования систем управления промышленностью и экономикой количественные методы придают процессу управления необходимую научную обоснованность, сводят до минимума элемент субъективности при выборе управленческих решений и позволяют в определенной мере оптимизировать как сам процесс управления, так и комплекс технических средств, обеспечивающих его осуществление.

Принятие решений является основной составляющей управления (основным этапом процессов управления). Поскольку общей наукой об управлении, охватывающей теорию и практику всего комплекса вопросов, связанных с целенаправленным руководством со стороны человека, течением и результатами его деятельности в любой области, связанной с процессами управления, является кибернетика, то естественно теорию принятия решений считают разделом кибернетики.

Процесс теории принятия решений обусловлен быстрым развитием разработок, проектирования, внедрения и использования в различных сферах народного хозяйства автоматизированных систем управления (АСУ). Каждый специалист, в той или иной степени участвующий в управлении сложным объектом, в реальных условиях всегда сталкивается как с элементами математического, программного, информационного и технического обеспечения процесса управления, так и с недостаточностью нужной для управления и принятия решений информации. Использование для управления АСУ требует и будет требовать вес возрастающих объемов информации, так как полнота данных во многом определяет качество машинных решений, вырабатываемых системой.

Принятые решения — понятие, близкое к выбору из множества возможностей. Это понятие базируется не только на количественных характеристиках, но и на факторах, не всегда имеющих количественные меры.

Учет этих факторов необходим также и потому, что в настоящее время четко определилась тенденция применения методов моделирования и оптимизации явлений, позволяющая выполнять формальную сторону подготовки и принятия решения на ЭВМ. Поэтому вопросы: какие составляющие процесса принятия решения должен контролировать человек, принимающий решения, и какие составляющие могут быть выполнены вычислительным комплексом, как осуществить взаимосвязь человека с этим комплексом - стали насущными вопросами теории и практики принятия решений. Без исследования этих вопросов вряд ли могут быть достигнуты какие-либо серьезные успехи в создании и исследовании автоматизированных систем управления.


1. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ


Задача 1.1

Фирма обеспечивает поставку товаров для продажи с базы А0 в четыре торговые точки А1, А2, А3, А4. Расстояния между всеми пунктами известны и заданы в километрах (Таблица 1).

В целях экономии времени и средств необходимо найти такой маршрут передвижения, при котором, побывав в каждой торговой точке по одному разу, поставщик вернулся бы в исходный пункт А0, проделав минимально возможный суммарный путь.


Таблица 1.1.10 – Исходные данные.


А0 А1 А2 А3 А4
А0 0 200 150 300 100
А1 200 0 120 350 200
А2 150 120 0 150 250
А3 300 350 150 0 150
А4 100 200 250 150 0

Решение

Видно, что матрица симметрична относительно главной диагонали, поэтому достаточно информации одной из ее половин. Расстояния определяются для конкретных путей сообщения не обязательно по прямой. Для определения кратчайшего пути коммивояжера будем рассматривать варианты его передвижения последовательно, пункт за пунктом.

Начинаем с вариантов, состоящих из трех участков. Например, отправляясь из исходного пункта A0 можно добраться в третий пункт А3 шестью способами:


Модели и методы принятия решений


Зная расстояния между пунктами, можно вычислить суммарный путь для каждого из шести вариантов.

Результаты рассмотрения сводим в таблицу 1.


Таблица 1 - Перспективы вариантов движения

Варианты движения Расстояние, км. Перспективно или нет

А0 А2 А3 А1

А0 А3 А2 А1

А0 А2 А4 А1

А0 А4 А2 А1

А0 А3 А4 А1

А0 А4 А3 А1

А0 А1 А3 А2

А0 А3 А1 А2

А0 А1 А4 А2

А0 А4 А1 А2

А0 А3 А4 А2

А0 А4 А3 А2

А0 А1 А2 А3

А0 А2 А1 А3

А0 А1 А4 А3

А0 А2 А4 А3

А0 А4 А1 А3

А0 А4 А2 А3

А0 А1 А2 А4

А0 А2 А1 А4

А0 А1 А3 А4

А0 А3 А1 А4

А0 А2 А3 А4

А0 А3 А2 А4

650

570

600

470

650

600

900

770

650

420

700

400

470

620

650

550

650

500

570

470

700

850

450

700

Нет

Да

Нет

Да

Нет

Да

Нет

Да

Нет

Да

Нет

Да

Да

Нет

Нет

Да

Нет

Да

Нет

Да

Да

Нет

Да

Нет


После заполнения таблицы выделяем только перспективные варианты (их будет всего 12), дополняем их номером непосещенного населенного пункта и повторяем процедуру: определяем перспективность движения уже для четырех участков пути. Для этого к вычисленной длине перспективного пути (см. табл. 1) прибавляем расстояние до непосещенного еще населенного пункта. Результаты вычислений заносим в табл. 2.


Таблица 2 - Перспективы выделенных вариантов движения

Варианты движения Расстояние, км. Перспективно или нет

А0 А3 А2 А1 А4

А0 А4 А2 А1 А3

А0 А4 А3 А1 А2

А0 А3 А1 А2 А4

А0 А4 А1 А2 А3

А0 А4 А3 А2 А1

А0 А1 А2 А3 А4

А0 А2 А4 А3 А1

А0 А4 А2 А3 А1

А0 А2 А1 А4 А3

А0 А1 А3 А4 А2

А0 А2 А3 А4 А1

770

820

720

1020

570

520

620

900

850

620

950

650

Да

Нет

Да

Нет

Нет

Да

Да

Нет

Нет

Да

Нет

Да


Аналогично предыдущему из табл. 2 выбираем четыре перспективных варианта.

Так как нам необходимо возвратиться в исходный пункт, то выделенные перспективные последовательности движения дополняем этим исходным пунктом A0. Вычисляем для них суммарные расстояния и заносим результаты в табл. 3.


Таблица 3 – Суммарные расстояния перспективных вариантов движения

Варианты движения Расстояние, км. Перспективно или нет

А0 А3 А2 А1 А4 А0

А0 А4 А3 А1 А2 А0

А0 А4 А3 А2 А1 А0

А0 А1 А2 А3 А4 А0

А0 А2 А1 А4 А3 А0

А0 А2 А3 А4 А1 А0

870

870

720

720

920

850

Нет

Нет

Да

Да

Нет

Нет


Из таблицы видно, что имеется два оптимальных маршрута следования коммивояжера А0 А4 А3 А2 А1 А0 и А0 А1 А2 А3 А4 А0, имеющие минимальную из всех возможных маршрутов длину, равную 720 км.


2. ДИНАМИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В ПЛАНИРОВАНИИ РАБОТ


Задача 1.10

В условиях задачи производственного планирования (см. МУ [12]) найти оптимальные строки начала строительства каждого из объектов так, чтобы суммарный срок строительства всех объектов был бы минимальным.


Таблица 1.10.10 – Исходные данные

Объекты Виды (стадии) работ

1 2 3 4
А1 1 2 5 2
А2 3 2 3 4
А3 2 5 2 4

Решение

Считая, что работа на каждом объекте должна продолжаться непрерывно с момента начала строительства до его окончания, требуется определить сроки начала строительства каждого объекта так, чтобы суммарный срок строительства всех объектов был минимальным.

Последовательность строительства может быть любой:


Модели и методы принятия решений


Покажем, как оценивается суммарное время строительства для одного из вариантов, например А1 А2 А3. Сроки окончания работ на первом объекте будут следующими (см. табл. 1.10.10):

-окончание первой стадии 1 месяц;

-окончание второй стадии 1 + 2 = 3 месяца;

-окончание третьей стадии 3 + 5 = 8 месяцев;

окончание четвертой стадии 8 + 2 = 10 месяцев.

Время t2 начала работ на втором объекте должно удовлетворять следующим неравенствам:


Модели и методы принятия решений


Эти неравенства выражают требования, чтобы каждая из стадий работ на объекте А2 начиналась лишь после окончания работ соответствующих стадий на объекте А1. Одновременно (параллельно) вести один и тот же вид работ у организации нет возможности но условию задачи.

Первое неравенство выражает требование, чтобы первая стадия работ на втором объекте начиналась лишь после окончания первой стадии работ на первом объекте, т.е. через один месяц.

Второе неравенство выражает требование, чтобы вторая стадия работ на втором объекте начиналась лишь после окончания второй стадии работ на первом объекте, т.е. через четыре месяца. При этом надо помнить, что первая стадия работ на втором объекте уже выполнена (t2 +3).

Третье неравенство выражает требование, чтобы третья стадия работ на втором объекте начиналась лишь после окончания третьей стадии работ на первом объекте, т.е. через восемь месяцев (первая и вторая стадии работ на втором объекте уже выполнены, следовательно, t2 +5).

Четвертое неравенство выражает требование, чтобы четвертая стадия работ на втором объекте начиналась лишь после окончания четвертой стадии работ на первом объекте, т.е. через десять месяцев (первая, вторая и третья стадии работ на втором объекте выполнены, следовательно, t2 + 8).

Наименьшее значение t2, удовлетворяющее этим неравенствам, равно 3. Поэтому самый ранний возможный срок начала строительства второго объекта А2 три месяца после начала строительства первого объекта А1. Зная это значение, несложно определить сроки окончания соответствующих стадий работ:

окончание первой стадии 3 + 3 = 6 месяцев;

окончание второй стадии 6 + 2 = 8 месяцев;

окончание третьей стадии 8 + 3 = 11 месяцев;

окончание четвертой стадии 11 + 4 = 15 месяцев.

Зная сроки окончания стадии работ на втором объекте, аналогично определяем срок t3 начала строительства третьего объекта (A3). Для него неравенства будут следующие:


Модели и методы принятия решений


что приводит к минимальному сроку t3 = 6 мес. Следовательно, сроки окончания отдельных стадий строительства третьего объекта будут соответственно:

окончание первой стадии 6 + 2 = 8 месяцев;

окончание второй стадии 8 + 5 = 13 месяцев;

окончание третьей стадии 13 + 2 = 15 месяцев;

окончание четвертой стадии 15 + 4 = 19 месяцев.

Таким образом, для выбранной последовательности строительства объектов А[ А2 А3 общее время строительства (совпадающее со сроком завершения работ на объекте А3) равно 19 мес.

Аналогично определяем сроки и для других оставшихся последовательностей строительства. Результаты заносим в Таблицу.


А1 А3 А2

Стадии А1:

1 – 1 мес.;

2 – 3 мес.;

3 – 8 мес.;

4 – 10 мес..


Неравенства t3:

Модели и методы принятия решений

Следовательно, t3 = 1 мес.


Стадии А3:

1 – 3 мес.;

2 – 8 мес.;

3 – 10 мес.;

4 – 14 мес..


Неравенства t2:

Модели и методы принятия решений

Следовательно, t3 = 6 мес.


Стадии А2:

1 – 9 мес.;

2 – 11 мес.;

3 – 14 мес.;

4 – 18 мес.


Следовательно общее время строительства А1 А3 А2 = 18 мес.

А2 А1 А3

Стадии А2:

1 – 3 мес.;

2 – 5 мес.;

3 – 8 мес.;

4 – 12 мес..


Неравенства t1:

Модели и методы принятия решений

Следовательно, t1 = 5 мес.


Стадии А1:

1 – 6 мес.;

2 – 8 мес.;

3 – 13 мес.;

4 – 15 мес..


Неравенства t3:

Модели и методы принятия решений

Следовательно, t3 = 6 мес.


Стадии А3:

1 – 8 мес.;

2 – 13 мес.;

3 – 15 мес.;

4 – 19 мес..


Следовательно общее время строительства А2 А1 А3 = 19 мес.


А2 А3 А1

Стадии А2:

1 – 3 мес.;

2 – 5 мес.;

3 – 8 мес.;

4 – 12 мес..


Неравенства t3:

Модели и методы принятия решений

Следовательно, t3 = 6 мес.


Стадии А3:

1 – 8 мес.;

2 – 13 мес.;

3 – 15 мес.;

4 – 19 мес..


Неравенства t1:

Модели и методы принятия решений

Следовательно, t1 = 12 мес.


Стадии А1:

1 – 13 мес.;

2 – 15 мес.;

3 – 20 мес.;

4 – 22 мес..


Следовательно общее время строительства А2 А3 А1 = 22 мес.


А3 А1 А2

Стадии А3:

1 – 2 мес.;

2 – 7 мес.;

3 – 9 мес.;

4 – 13 мес..


Неравенства t1:

Модели и методы принятия решений

Следовательно, t1 = 6 мес.


Стадии А1:

1 – 7 мес.;

2 – 9 мес.;

3 – 14 мес.;

4 – 16 мес..


Неравенства t2:

Модели и методы принятия решений

Следовательно, t2 = 9 мес.


Стадии А2:

1 – 12 мес.;

2 – 14 мес.;

3 – 17 мес.;

4 – 21 мес..


Следовательно общее время строительства А3 А1 А2 = 21 мес.


А3 А2 А1

Стадии А3:

1 – 2 мес.;

2 – 7 мес.;

3 – 9 мес.;

4 – 13 мес..


Неравенства t2:

Модели и методы принятия решений

Следовательно, t2 = 5 мес.


Стадии А2:

1 – 8 мес.;

2 – 10 мес.;

3 – 18 мес.;

4 – 20 мес..


Неравенства t1:

Модели и методы принятия решений

Следовательно, t1 = 10 мес.


Стадии А1:

1 – 11 мес.;

2 – 13 мес.;

3 – 18 мес.;

4 – 20 мес..


Следовательно общее время строительства А3 А2 А1 = 20 мес.


Таблица 4 – Результаты расчетов

Варианты работ Время, мес. Перспективно или нет
А1 А2 А3 19 Нет
А1 А3 А2 18 Да
А2 А1 А3 19 Нет
А2 А3 А1 22 Нет
А3 А1 А2 21 Нет
А3 А2 А1 20 Нет

Таким образом наилучший выбор строительства А1 А3 А2, который займет общее время в 18 месяцев.


3. ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА


Задача 3.11

Двум строительным объектам А и Б по разным дорогам (шоссейной и проселочной) доставляется однородный груз одной и той же машиной. Объекту А необходимо ХТ груза; объекту Б необходимо YT груза. Если машина доставляет груз в пункт А, то с вероятностью Р1 она перевозит часть R1 груза, а с вероятностью (1-P1) машина выходит из строя. Если машина доставляет груз в пункт Б, то с вероятностью Р2, она перевозит часть R2, потребного для этого объекта груза, а с вероятностью (1-P2) машина выходит из строя. В течение смены машина может сделать три рейса.

В какой последовательности необходимо использовать машину для перевозки грузов, чтобы математическое ожидание общего количества груза, доставленного в пункты А и Б, было максимальным? Найти это математическое ожидание.

Исходные данные для различных вариантов приведены в таблице5.


Таблица 5 – Исходные данные

P1 R1 X P2 R2 Y
0,9 0,4 20 0,8 0,7 30

Решение

Математическое ожидание Модели и методы принятия решений:


Модели и методы принятия решений

Модели и методы принятия решений


Первым рейсом следует провести 21 т. груза в Б. Вторым рейсом можно отправить Х груза в А или Y(1-R2) в пункт Б:

Модели и методы принятия решений

Модели и методы принятия решений


Выберем отправку вторым рейсом 8т. груза в А. Третьим рейсом можно отправить остаток Х(1-R1) груза в А или Y(1-R2) в пункт Б:


Модели и методы принятия решений


Третьим рейсом целесообразнее отправить 12т. груза в А, так как математическое ожидание 10,8 > 7,2. На четвертый рейс следующей смены осталось доставить Y(1-R2) = 9т. груза в Б, с математическим ожиданием:


Модели и методы принятия решений


Максимальное математическое ожидание общего количества перевезенного в пункты А и Б груза равно:


Модели и методы принятия решений


Таким образом, груз следует доставлять в пункты А и Б в следующих объемах и последовательности:


Рейсы А Б

1

2

3

4

-

8т.

12т.

-

21т.

-

-

9т.


Итого: 20т. 30т. max qi = 42

4. ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ


Задача 4.2

Мелитопольский станкостроительный завод им. 23 Октября выпускает токарно-револьверные автоматы (ТРА) на базе модели 1Б118 двух классов:

1) высший класс - станки повышенной точности 1М118П, оснащенные дополнительными устройствами, значительно расширяющими технологические возможности ТРА;

2) серийная модель 1M118, стоимость которой существенно ниже стоимости модели 1М118П.

Рынком сбыта ТРА традиционно владеют фирмы "Index" и "Traub". Для развития производства и эффективной работы станкозаводу необходимо "прорваться" на рынок сбыта станков, занятый всемирно известными фирмами. Прибыль завода зависит от объёма выпускаемых станков, их номенклатуры и возможной реализации в следующих регионах:

1. Украина.

2. Россия.

3. Белоруссия.

4. Страны Балтии.

5. Страны восточной Европы.

Для станкозавода эта прибыль в зависимости от региона сбыта и класса станков задана в таблице вариантов заданий.

Определить:

1. Оптимальную стратегию поведения станкозавода (номенклатуру и соотношение объёмов выпуска станков различных классов, рынки сбыта).

2. Дать экономическую интерпретацию (гарантированную прибыль) оптимальной стратегии станкозавода.


Таблица 6 – Исходные данные

Класс станка Прибыль

1 2 3 4 5
1 8 4 7 9 4
2 7 10 8 6 11

Решение

Из исходных данных видно:

Класс станка Прибыль

1 2 3 4 5 minj
1 8 4 7 9 4 4
2 7 10 8 6 11 6
maxi 8 10 8 9 11

maxi = {8, 10, 8, 9, 11};minj = {4, 6}.

minj maxi aij = min {8, 10, 8, 9, 11} = 8 – обозначим β.

maxi minj aij = max {4, 6} = 6 – обозначим α.


Так как α = 6 ≠ β = 8, седловая точка в заданной платежной матрице отсутствует. Цена игры 6 < v < 8. Игра не имеет решения в чистых стратегиях. Выбирая доминирующие стратегии для игрока В получим матрицу 2 х 2.



В4 В5
А1 9 4
А2 6 11

Вероятность чистых стратегий:


Модели и методы принятия решений

Модели и методы принятия решений

Модели и методы принятия решений

Модели и методы принятия решений


Оптимальные смешанные стратегии SA и SB, заданные вероятностями применения входящих в них чистых стратегий имеют решение:


Модели и методы принятия решений


Цену игры (средние платежи) смешанной стратегии определяем графически:


Модели и методы принятия решенийМодели и методы принятия решенийМодели и методы принятия решений

8 10*x/5=1/1;

Модели и методы принятия решенийМодели и методы принятия решенийМодели и методы принятия решений

Модели и методы принятия решенийМодели и методы принятия решений6 х = 0,5; v = 6 + 0.5 = 6.5

Модели и методы принятия решенийМодели и методы принятия решений х

Модели и методы принятия решений4


Модели и методы принятия решений2 Цена игры 6 < v = 6,5 < 8


Модели и методы принятия решенийМодели и методы принятия решенийМодели и методы принятия решенийМодели и методы принятия решений0

5/10


Выводы

1. Станкозаводу следует выпускать 0,5 объема станков повышенной точности и 0,5 объема - серийные ТРА.

2. Станки направлять для реализации в страны Балтии и страны Восточной Европы.

3. Какую бы стратегию поведения не выбрали фирмы "Index" и "Traub" в любом регионе сбыта, они не смогут снизить прибыль станкозавода ниже, чем 6,5 млн. грн. в год, если станкозавод будет придерживаться стратегий по пунктам 1 и 2 выводов.


Задача 16

Компания "Kilroy" выпускает очень специфичный безалкогольный напиток, который упаковывается в 40-пиитовые бочки. Напиток готовится в течение недели, и каждый понедельник очередная партия готова к потреблению. Однако в одно из воскресений всю готовую к продаже партию пришлось выбросить. Секретный компонент, используемый для приготовления напитка, покупается в небольшой лаборатории, которая может производить каждую неделю в течение полугода (так налажено производство) только определенное количество этого компонента. Причем он должен быть использован в кратчайший срок.

Переменные затраты на производство одной пииты напитка составляют 70 пенсов, продается она за 1,50 ф.ст. Однако компания предвидит, что срыв поставок приведет к потере части покупателей в долгосрочной перспективе, а следовательно, придется снизить цену на 30 пенсов.

За последние 50 недель каких-либо явных тенденций в спросе выявлено не было:


Спрас на бочки в неделю 3 4 5 6 7
Число недель 5 10 15 10 10

1. Для того чтобы определить, что нужно предпринять, используйте каждое из правил: максимакса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица и минимума ожидаемых возможных потерь.

2. Исследуйте чувствительность: изменит ли увеличение продажной цены до 1,75 ф.ст. какое-либо решение?

Решение

Итак, в начале недели можно изготавливать для последующей продажи от трех до семи бочек напитка. В целом каждое решение и его исходы примерно равны, но, принимая решение, невозможно контролировать исходы. Покупатели определяют их сами, поэтому исходы представляют собой также "фактор неопределенности".

Отдача в денежном выражении для любой комбинации решений и исходов приведена в таблице 7.


Таблица 7 – Доход (прибыль) в неделю, ф.ст.

Возможные исходы: спрос бочек в неделю Число изготовленных для продажи бочек (возможные решения)

3 4 5 6 7
3 2,4 2,9 3,4 3,9 4,4
4 2,4 3,2 3,7 4,2 4,7
5 2,4 3,2 4,0 4,5 5,0
6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,3
7 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6
минимум 2,4 2,9 3,4 3,9 4,4

Здесь доход в неделю в ф.ст. найден следующим образом:


а33,…., а37 = (1,5 – 0,7)*3 = 2,4;

а43 = (1,5 – 0,7)*3

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: