Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Математическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состояний

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ В ПЕРЕМЕННЫХ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ


ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ


Математическая модель системы в переменных пространства состояний имеет вид

Математическая модель системы в переменных пространства состояний, (2.1.1)

Математическая модель системы в переменных пространства состояний (2.1.2)

где Математическая модель системы в переменных пространства состояниймерный вектор параметров состояний; Математическая модель системы в переменных пространства состояний мерный вектор управляющих воздействий; Математическая модель системы в переменных пространства состояний мерный вектор возмущающих воздействий; Математическая модель системы в переменных пространства состоянийl- мерный вектор выходов; А – матрица состояний системы размерности Математическая модель системы в переменных пространства состояний; В – матрица управлений размерности Математическая модель системы в переменных пространства состояний; Г – матрица возмущений размерности Математическая модель системы в переменных пространства состояний; С – матрица выходов размерности lМатематическая модель системы в переменных пространства состоянийn; D – матрица компенсаций (обходов) размерности lМатематическая модель системы в переменных пространства состоянийm.

Решение векторного дифференциального уравнения (2.1.1) имеет следующий вид:

Математическая модель системы в переменных пространства состояний, (2.1.3)

где Математическая модель системы в переменных пространства состояний - экспоненциал матрицы А.

Подставляя выражение (2.1.3) в формулу (2.1.2), получаем интегральное уравнение движения системы в переменных «вход – выход».

Рассмотрение движения системы в переменных пространства состояний связано с трудностью решения дифференциальных уравнений n-го порядка, описывающих движение системы в переменных «вход – выход», и с хорошо разработанными методами решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.

2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ


Задача 2.2.1

Определить переходные процессы в системе

Математическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состояний (2.2.1)

Математическая модель системы в переменных пространства состояний, (2.2.2)

под действием ступенчатых воздействий по каналам управления

Математическая модель системы в переменных пространства состояний и возмущения Математическая модель системы в переменных пространства состояний.


Решение

В соответствии с выражениями (2.1.2), (2.1.3) запишем уравнение движения системы в интегральной форме

Математическая модель системы в переменных пространства состояний. (2.2.3)

Учитывая, что u(t)=u*1(t)=u, r(t)=r*1(t)=r и t0=0, представим выражение (2.2.3) в виде

Математическая модель системы в переменных пространства состояний. (2.2.4)

Для нахождения экспоненциала матрицы А определим корни характеристического уравнения Математическая модель системы в переменных пространства состояний, то есть

Математическая модель системы в переменных пространства состояний и Математическая модель системы в переменных пространства состояний.

Так как корни различные действительные и матрица А диагональная, то ее экспоненциал равен

Математическая модель системы в переменных пространства состояний. (2.2.5)

Подставляя выражения (2.2.5) в формулу (2.2.4) и последовательно проводя преобразования, получаем

Математическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состоянийМатематическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состояний

=Математическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состояний.

Следовательно, уравнение движения рассматриваемой системы в переменных «вход – выход» имеет вид:

Математическая модель системы в переменных пространства состояний.

УСТОЙЧИВОСТЬ


ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ


Устойчивость или неустойчивость линейной многомерной системы (2.1.1) определяется ее свободным движением (Математическая модель системы в переменных пространства состояний Математическая модель системы в переменных пространства состояний), которое характеризуется собственными числами матрицы А, определяемыми из характеристического уравнения

Математическая модель системы в переменных пространства состояний (3.1.1)

Линейная система (2.1.1) устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные части собственных (характеристических) чисел λj=λj(A) (j=1,…,n) имеют неположительные значения, т.е. ReλjМатематическая модель системы в переменных пространства состояний. Если Reλj<0, то система асимптотически устойчива.

Характеристическое уравнение (3.1.1) можно записать в виде

nn-1nn0. (3.1.2)

Условия устойчивости для системы n-го порядка записываются в виде определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов характеристического уравнения (3.1.2).


Математическая модель системы в переменных пространства состояний.


Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при α0>0 были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть ΔI>0 (i=l,...,n). Положительность последнего определителя Гурвица

Δn=αnΔn-1 (3.1.3)


при Δn-1>0 сводится к положительности свободного члена αn характеристического уравнения.


3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ


Задача 3.2.1

Определить устойчивость и характер свободного движения динамической системы, заданной в пространстве состояний векторными уравнениями

Математическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состояний, (3.2.1)

Математическая модель системы в переменных пространства состояний. (3.2.2)


Решение.

Запишем для системы (3.2.1) характеристическое уравнение (3.1.1)

Математическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состояний, (3.2.3)

решение которого дает следующие корни:

Математическая модель системы в переменных пространства состояний.

Рассматриваемая динамическая система является устойчивой. Ее свободное движение носит апериодический сходящийся характер, так как вещественные части корней характеристического уравнения отрицательные.


Задача 3.2.2

Определить устойчивость динамической системы, заданной в пространстве состояний векторно-матричными уравнениями

Математическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состояний, Математическая модель системы в переменных пространства состояний, (3.2.4)

Математическая модель системы в переменных пространства состояний. (3.2.5)


Решение.

Запишем для системы (3.2.4) характеристическое уравнение (3.1.1)

Математическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состояний. (3.2.6)

Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим следующее характеристическое уравнение:

Математическая модель системы в переменных пространства состояний. (3.2.7)

Устойчивость системы будем определять на основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица, составив для этого по уравнению (3.2.7) матрицу Гурвица

Математическая модель системы в переменных пространства состояний. (3.2.8)

Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при положительности коэффициента при старшей степени (в нашем случае коэффициент при λ3 равен 1) были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть Δi>0 (i=1,2,3)

Математическая модель системы в переменных пространства состояний, Математическая модель системы в переменных пространства состояний.

В соответствии с вышеизложенным находим, что свободный член характеристического уравнения (3.2.7) равный 54 - положительный.

Следовательно, система (3.2.4) является устойчивой.

УПРАВЛЯЕМОСТЬ


ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ


Управляемость системы (2.1.1), (2.1.2) по состояниям определяется теоремой (критерием) Калмана: система будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости Lc размерности Математическая модель системы в переменных пространства состояний равен n, то есть

rankМатематическая модель системы в переменных пространства состоянийn, (4.1.1)

где

Математическая модель системы в переменных пространства состояний. (4.1.2)

Если rankМатематическая модель системы в переменных пространства состояний<n, то система будет частично управляемой, а при rankМатематическая модель системы в переменных пространства состояний=0 – полностью неуправляемой.

Управляемость системы (2.1.1), (2.1.2) по выходам (критерий Калмана): система будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости Математическая модель системы в переменных пространства состояний размерности Математическая модель системы в переменных пространства состояний равен l то есть

rankМатематическая модель системы в переменных пространства состояний=l, (4.1.3)

где

Математическая модель системы в переменных пространства состояний. (4.1.4)

Если rankМатематическая модель системы в переменных пространства состояний<l, то система будет частично управляемой по выходам, а при rankМатематическая модель системы в переменных пространства состояний=0 – полностью неуправляемой.

Показатель степени n в выражениях (4.1.2), (4.1.4) соответствует размерности вектора состояний.

4.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ


Задача 4.2.1

Определить управляемость динамической системы по состояниям, заданной векторными уравнениями

Математическая модель системы в переменных пространства состояний,

(4.2.1)

Математическая модель системы в переменных пространства состояний. (4.2.2)


Решение.

В соответствии с выражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2

Математическая модель системы в переменных пространства состояний.

Найдем произведение матриц

Математическая модель системы в переменных пространства состояний.

Следовательно, матрица управляемости имеет вид

Математическая модель системы в переменных пространства состояний,

и ее ранг rankМатематическая модель системы в переменных пространства состояний2, то есть настоящая система полностью управляема по состояниям.


Задача 4.2.2

Определить управляемость по выходам динамической системы, заданной векторными уравнениями

Математическая модель системы в переменных пространства состояний,

Математическая модель системы в переменных пространства состояний.


Решение.

В соответствии с выражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2

Математическая модель системы в переменных пространства состояний.

Найдем произведение матриц

Математическая модель системы в переменных пространства состояний.

Математическая модель системы в переменных пространства состояний.

Следовательно, матрица управляемости имеет вид

Математическая модель системы в переменных пространства состояний,

и ее ранг rankМатематическая модель системы в переменных пространства состояний=2, то есть настоящая система полностью управляема по выходам.

5. НАБЛЮДАЕМОСТЬ


5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ


Наблюдаемость системы (2.1.1), (2.1.2) определяется теоремой (критерием) Калмана: система будет вполне наблюдаемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости L0 размерности Математическая модель системы в переменных пространства состояний равен n, то есть

rankМатематическая модель системы в переменных пространства состоянийn, (5.1.1)

где

Математическая модель системы в переменных пространства состояний. (5.1.2)

Если rankМатематическая модель системы в переменных пространства состояний<n, то система будет не вполне наблюдаемой, а при rankМатематическая модель системы в переменных пространства состояний=0 – полностью ненаблюдаемой.


5.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ


Задача 5.2.1

Определить наблюдаемость динамической системы, заданной векторными уравнениями

Математическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состояний.

Решение.

В соответствии с выражением (5.1.2) запишем матрицу наблюдаемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2

Математическая модель системы в переменных пространства состояний.

Найдем произведение матриц

Математическая модель системы в переменных пространства состояний

Математическая модель системы в переменных пространства состояний.

Следовательно, матрица наблюдаемости имеет вид

Математическая модель системы в переменных пространства состояний,

и ее ранг rankМатематическая модель системы в переменных пространства состояний2, то есть настоящая система полностью наблюдаема.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: