Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Моделювання поведінки виробників та споживачів

Моделювання поведінки виробників та споживачів

  1. МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧІВ


В теорії споживання вважається, що споживач керується принципом рацiональностi: вiн завжди прагне максимізувати свою корисність, i єдине, що його стримує, — це обмежений дохід:

max u(x) (1.1)

px = M


де х=(х1,...,хn)′ – вектор-стовпчик обсягів споживчих товарів, що придбав споживач за заданих цін; n – число різноманітних товарів; u(х) функція корисності споживача; р = (p1,…,pn) – вектор-рядок цін товарів; М – обсяг доходу споживача.

Це задача на умовний екстремум, i її розв’язок зводиться до знаходження безумовного екстремуму функції Лагранжа:


L(x,λ)=u(x)-λ(px-M).


Необхідними умовами локального екстремуму є:


(1.2)

(1.3)


Точка екстремуму справді визначає точку максимуму, оскільки матриця Гессе U(х)=є вiд’ємно визначеною. З виразу (1.3) бачимо, що споживач за фіксованого доходу так обирає набір , що в цій точці відношення граничної корисності дорівнює відношенню цін:



Якщо розв’язати (1.2), (1.3) відносно , отримаємо функцію попиту споживача:



2. РІВНЯННЯ СЛУЦЬКОГО


Розглянемо, як зміниться попит споживача, що визначається моделлю (1.1), якщо зміниться ціна одного з товарів. Нехай ціна n-го товару зросла на . Це приводить до такої зміни попиту на товари


(2.1)


де р – вектор-рядок цін; U – матриця Гессе; – вектор-стовпчик попиту на товари; – множник Лагранжа; – індекс n за дужками біля матриці означає, що взято й n-й стовпчик.

Проаналізуємо зміст складових, що входять у рівняння (2.1).

Зміна попиту за збільшення ціни з компенсацією доходу. Нехай дохід споживача збільшився на таку величину , яка компенсує споживачеві збільшення ціни на n-й товар (благо) на .

Збільшення ціни з компенсацією доходу приводить до такої зміни попиту:


(2.2)


Тобто друга складова у правій частині рівняння (2.1) — це зміна попиту, якщо зростання ціни n-го товару на компенсується збільшенням доходу на .

Зміна попиту за зміни доходу. Якщо дохід змінюється на , то відповідно змінюється попит:


(2.3)


Об’єднуючи вирази (2.1), (2.2), (2.3), отримаємо рівняння Слуцького, яке є серцевиною теорії корисності:


(2.4)


Оскільки вивчається зміна попиту за зростання ціни на n-й товар, що не компенсується підвищенням доходу, то друга складова в (2.4) (з від’ємним знаком) знімає штучний приріст по спричинений компенсуючим зростанням доходу.

Ефект доходу полягає у змiнi споживання внаслідок зміни реального доходу, яка виникла через зміну цін.

Ефект заміщення полягає у змiнi споживання внаслідок зміни відносних цін.


Графік представлено на малюнку 2.1


Малюнок 2.1 - Графік


3. МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ ВИРОБНИКІВ


Моделі оптимального (раціонального) вибору виробника (фірми). Нехай виробнича фірма випускає один продукт (чи багато продуктів, але з постійною структурою). Позначимо річний випуск у натурально-речовiй формі через Х – кількість одиниць продукту одного виду, вектор-стовпчик можливих обсягів різних видів ресурсів через х = 1, ..., хn)′. Тоді технологія фірми визначатиметься її виробничою функцією, яка виражає зв'язок між випуском i витратами ресурсів:


Х=F(х).


Припускається, що F(х) двiчi неперервно диференційована, неокласична, i матриця її других похідних є вiд’ємно визначеною.

Якщо – вектор-рядок цін ресурсів, а р – ціна продукції, то кожному вектору витрат х вiдповiдає прибуток:


(3.1)


У (3.1) – вартість річного випуску фірми, або її річний дохід, – витрати виробництва чи вартість витрат ресурсів за рік.

Якщо не вводити інших обмежень, крім невід’ємних обсягів витрат ресурсів, то задача знаходження максимуму прибутку набере вигляду:


(3.2)

Це задача нелiнiйного програмування з n умовами невід’ємності: Необхідними умовами існування екстремуму є умови Куна-Таккера:


(3.3)


Якщо в оптимальному розв’язку використовуються всi види ресурсів, тобто , то умови (3.3) матимуть вигляд:


(3.4)

тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його цiнi.

Розглянемо задачу знаходження максимуму випуску за заданого обсягу витрат


(3.5)


Це задача нелiнiйного програмування з одним лiнiйним обмеженням i умовою невiд’ємностi змінних. Побудуємо функцію Лагранжа



і знайдемо її максимум за умови невiд’ємностi змiнних. Для цього необхідно, щоб виконувались умови Куна-Таккера:


(3.6)


Як бачимо, якщо покласти , умови (3.6) збiгаються з умовами (3.3).

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: