Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Моделирование систем массового обслуживания

Моделирование систем массового обслуживания

заняты все n каналов, k=n, очереди нет;

S - заняты все n каналов, одна заявка в очереди, k=n+1,

S - заняты все n каналов, r заявок в очереди, k=n+r,


Вероятности состояний получим из формул для многоканальной СМО с ограниченной очередью при переходе к пределу при m. Следует заметить, что сумма геометрической прогрессии в выражении для p расходится при уровне загрузки p/n>1, очередь будет бесконечно возрастать, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

Очереди нет




Рис.3.7 Размеченный граф состояний многоканальной СМО

с неограниченной очередью


для которого и определим выражения для предельных вероятностей состояний:


…;


Поскольку отказа в обслуживании в таких системах не может быть, то характеристики пропускной способности равны:



среднее число заявок в очереди –



среднее время ожидания в очереди –


среднее число заявок в СМО –



Вероятность того, что СМО находится в состоянии , когда нет заявок и не занято ни одного канала, определяется выражением



Эта вероятность определяет среднюю долю времени простоя канала обслуживания. Вероятность занятости обслуживанием k заявок –



На этом основании можно определить вероятность, или долю времени занятости всех каналов обслуживанием



Если же все каналы уже заняты обслуживанием, то вероятность состояния определяется выражением



Вероятность оказаться в очереди равна вероятности застать все каналы уже занятыми обслуживанием



Среднее число заявок, находящихся в очереди и ожидающих обслуживания, равно:



Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла: и в системе



среднее число занятых каналов обслуживанием:


;


среднее число свободных каналов:


;


коэффициент занятости каналов обслуживанием:


Важно заметить, что параметр характеризует степень согласования входного потока, например покупателей в магазине с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при Если же в системе будут возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателями начала обслуживания и, следовательно, СМО будет работать неустойчиво.


3.8 Анализ системы массового обслуживания супермаркета


Одной из важных задач коммерческой деятельности является рациональная организация торгово-технологического процесса массового обслуживания, например в универсаме. В частности, определение мощности кассового узла торгового предприятия является непростой задачей. Такие экономико-организационные показатели, как нагрузка товарооборота на 1м2 торговой площади, пропускная способность предприятия, время пребывания покупателей в магазине, а также показатели уровня технологического решения торгового зала: соотношение площадей зон самообслуживания и расчетного узла, коэффициенты установочной и выставочной площадей, во многом определяются пропускной способностью кассового узла. В этом случае пропускную способность двух зон (фаз) обслуживания: зоны самообслуживания и зоны расчетного узла (рис.4.1).


СМО

СМО


- интенсивность входного потока покупателей;

- интенсивность прихода покупателей зоны самообслуживания;

- интенсивность прихода покупателей в расчетный узел;

- интенсивность потока обслуживания.

Рис.4.1. Модель двухфазной СМО торгового зала универсама


Основная функция расчетного узла состоит в обеспечении высокой пропускной способности покупателей в торговом зале и создании комфортного обслуживания покупателей. Факторы, влияющие на пропускную способность расчетного узла, можно разделить на две группы:

1) экономико-организационные факторы: система материальной ответственности в универсаме; средняя стоимость и структура одной покупки;

2) организационная структура кассового узла;

3) технико-технологические факторы: применяемые типы кассовых аппаратов и кассовых кабин; применяемая контролером-кассиром технология обслуживания покупателей; соответствие мощности кассового узла интенсивности покупательских потоков.

Из перечисленных групп факторов наибольшее влияние оказывают организационное построение кассового узла и соответствие мощности кассового узла интенсивности покупательских потоков.

Рассмотрим обе фазы системы обслуживания:

  1. выбор покупателями товаров в зоне самообслуживания;

2) обслуживание покупателей в зоне расчетного узла. Входящий поток покупателей попадает в фазу самообслуживания, и покупатель самостоятельно отбирает нужные ему товарные единицы, формируя их в единую покупку. Причем время этой фазы зависит от того, как взаиморазмещены товарные зоны, какой фронт они имеют, сколько времени тратит покупатель на выбор конкретного товара, какова структура покупки и т.д.

Выходящий поток покупателей из зоны самообслуживания одновременно является входящим потоком в зону кассового узла, который последовательно включает ожидание покупателя в очереди и затем обслуживание его контролером-кассиром. Кассовый узел можно рассматривать как систему обслуживания с потерями или как систему обслуживания с ожиданием.

Однако ни первая, ни вторая рассмотренные системы не позволяют реально описать процесс обслуживания в кассовом узле универсама по следующим причинам:

в первом варианте кассовый узел, мощность которого будет рассчитана на систему с потерями, требует значительных как капитальных вложений, так и текущих затрат на содержание контролеров-кассиров;

во втором варианте кассовый узел, мощность которого будет рассчитана на систему с ожиданиями, приводит к большим затратам времени покупателей в ожидании обслуживания. При этом в часы пик зона расчетного узла «переполняется» и очередь покупателей «перетекает» в зону самообслуживания, что нарушает нормальные условия для выбора товара другими покупателями.

В связи с этим целесообразно рассматривать вторую фазу обслуживания как систему с ограниченной очереди, промежуточную между системой с ожиданием и системой с потерями. При этом предполагается, что одновременно в системе могут находиться не более L, причем L=n+m, где n-количество обслуживаемых клиентов в кассах, m-количество покупателей, стоящих в очереди, причем любая m+1- заявка покидает систему необслуженной.

Это условие позволяет, с одной стороны, ограничить площадь зоны расчетного узла с учетом максимально допустимой длины очереди, а с другой – ввести ограничение на время ожидания покупателями обслуживания в кассовом узле, т.е. учитывать издержки потребления покупателей.

Правомерность постановки задачи в таком виде подтверждается проведенными обследованиями потоков покупателей в универсамах, результаты которых приведены в табл. 4.1, анализ которых выявил тесную связь между средней длинной очереди в кассовом узле и количеством покупателей, не совершивших покупок.


Табл.4.1

Часы работы День недели

пятница суббота воскресенье

оче-редь,

количество

покупателей

без покупок

оче-редь,

количество

покупателей

без покупок

оче-редь,


количество

покупателей

без покупок



чел. %
чел. %
чел. %
с 9 до 10 2 38 5 5 60 5,4 7 64 4,2
с 10 до 11 3 44 5,3 5 67 5 6 62 3,7
с 11 до 12 3 54 6,5 4 60 5,8 7 121 8,8
с 12 до 13 2 43 4,9 4 63 5,5 8 156 10
с 14 до 15 2 48 5,5 6 79 6,7 7 125 6,5
с 15 до 16 3 61 7,3 6 97 6,4 5 85 7,2
с 16 до 17 4 77 7,1 8 140 9,7 5 76 6
с 17 до 18 5 91 6,8 7 92 8,4 4 83 7,2
с 18 до 19 5 130 7,3 6 88 5,9 7 132 8
с 19 до 20 6 105 7,6 6 77 6


с 20 до 21 6 58 7 5 39 4,4


Итого
749 6,5
862 6,3
904 4,5

В организации работы кассового узла универсама имеется еще одна важная особенность, которая значительно влияет на его пропускную способность: наличие экспресс-касс (одной-двух покупок). Изучение структуры потока покупателей в универсамах по типу кассового обслуживания показывает, что поток оборот составляет 12,9% (табл. 4.2).


Табл. 4.2

Дни недели Потоки покупателей Товарооборот

всего по экспресс-кассам % к дневномупотоку всего по экспресс-кассам % к дневному товарообороту
Летний период
Понедельник 11182 3856 34,5 39669,2 3128,39 7,9
Вторник 10207 1627 15,9 38526,6 1842,25 4,8
Среда 10175 2435 24 33945 2047,37 6
Четверг 10318 2202 21,3 36355,6 1778,9 4,9
Пятница 11377 2469 21,7 43250,9 5572,46 12,9
Суббота 10962 1561 14,2 39873 1307,62 3,3
Воскресенье 10894 2043 18,8 35237,6 1883,38 5,1
Зимний период
Понедельник 10269 1857 18,1 37121,6 2429,73 6,5
Вторник 10784 1665 15,4 38460,9 1950,41 5,1
Среда 11167 3729 33,4 39440,3 4912,99 12,49,4
Четверг 11521 2451 21,3 40000,7 3764,58 9,4
Пятница 11485 1878 16,4 43669,5 2900,73 6,6
Суббота 13689 2498 18,2 52336,9 4752,77 9,1
Воскресенье 13436 4471 33,3 47679,9 6051,93 12,7

Для окончательного построение математической модели процесса обслуживания с учетом перечисленных выше факторов необходимо определить функции распределения случайных величин, а также случайные процессы, описывающие входящие и выходящие потоки покупателей:

1) функцию распределения времени покупателей на выбор товаров в зоне самообслуживания;

2) функцию распределения времени работы контролера-кассира для обычных касс и экспресс-касс;

3) случайный процесс, описывающий входящий поток покупателей в первую фазу обслуживания;

4) случайный процесс, описывающий входящий поток во вторую фазу обслуживания для обычных касс и экспресс-касс.

Моделями для расчета характеристик системы массового обслуживания удобно пользоваться в том случае, если входящий поток требований в систему обслуживания является простейшим пуассоновским потоком, а время обслуживания заявок распределено по экспоненциальному закону.

Исследование потока покупателей в зоне кассового узла показало, что для него может быть принят пуассоновский поток.

Функция распределения времени обслуживания покупателей контролерами-кассирами является экспоненциальной, такое допущение не приводит к большим ошибкам.

Безусловный интерес представляет анализ характеристик обслуживания потока покупателей в кассовом узле универсама, рассчитанных для трех систем: с потерями, с ожиданием и смешанного типа.

Расчеты параметров процесса обслуживания покупателей в кассовом узле проведены для коммерческого предприятия торговой площадью S=650на основе следующих данных.

Целевая функция может быть записана в общем виде связи (критерия) выручки от реализации от характеристик СМО:


B=f max,


где - кассовый узел состоит из =7 касс обычного типа и =2 экспресс-касс,

всего n=9;

- интенсивность обслуживания покупателей в зоне обычных касс – 0,823 чел./мин;

- интенсивность нагрузки кассовых аппаратов в зоне обычных касс – 6,65,

- интенсивность обслуживания покупателей в зоне экспресс-касс – 2,18 чел./мин;

- интенсивность входящего потока в зону обычных касс – 5,47 чел./мин

- интенсивность нагрузки кассовых аппаратов в зоне экспресс-касс – 1,63,

- интенсивность входящего потока в зону экспресс-касс – 3,55 чел./мин;

- для модели СМО с ограничением на длину очереди в соответствии с проектируемой зоной кассового узла максимально допустимое число покупателей, стоящих в очереди в одну кассу, принимается равным m=10 покупателей.

Следует заметить, что для получения сравнительно небольших по абсолютной величине значений вероятности потерь заявок и времени ожидания покупателей в кассовом узле необходимо соблюдать следующие условия:

В табл.6.6.3 приведены результаты характеристик качества функционирования СМО в зоне расчетного узла.

Расчеты проведены для наиболее напряженного периода времени рабочего дня с 17 до 21 часа. Именно на этот период, как показали результаты обследований, приходится около 50% однодневного потока покупателей.

Из приведенных данных в табл. 4.3 следует, что если бы для расчета была выбрана:

  1. модель с отказами, то 22,6% потока покупателей, обслуживаемых обычными кассами, и соответственно 33,6% потока покупателей, обслуживаемых экспресс-кассами, должны были бы уйти без покупок;

  2. модель с ожиданием, то потерь заявок в расчетном узле не должно бы быть;


Табл. 4.3 Характеристики системы массового обслуживания покупателей в зоне расчетного узла

Тип кассы Количество касс в узле Тип СМО Характеристики СМО



Среднее число занятых касс,

среднее время ожидания обслуживания,

Вероятность потери заявок,

Обычные кассы 7

с отказами

с ожиданием

с ограничением

на длину

очереди

5,15

6,65


6,7

0

3


2,66

0,226

0


0,0012

Экспресс-кассы 2

с отказами

с ожиданием

с ограничением

на длину

очереди

1,08

1,17


1,6

0

0,91


0,84

0,336

0


0,018


  1. модель с ограничением на длину очереди, то только 0,12% потока покупателей, обслуживаемых обычными кассами, и 1,8% потока покупателей, обслуживаемых экспресс-кассами, покинут торговый зал без покупок. Следовательно, модель с ограничением на длину очереди позволяет более точно и реально описать процесс обслуживания покупателей в зоне кассового узла.

Интерес представляет сравнительный расчет мощности кассового узла как с учетом экспресс-касс, так и без них. В табл. 4.4 приведены характеристики системы обслуживания кассового узла трех типоразмеров универсамов, рассчитанные по моделям для СМО с ограничением на длину очереди на наиболее напряженный период рабочего дня с 17 до 21 часа.

Анализ данных этой таблицы показывает, что не учет фактора «Структура потока покупателей по типу кассового обслуживания» на стадии технологического проектирования может привести к увеличению зоны расчетного узла на 22-33%, а отсюда соответственно и к уменьшению установочных и выставочных площадей торгово-технологического оборудования и товарной массы, размещаемой в торговом зале.

Проблема определения мощности кассового узла представляет собой цепочку взаимосвязанных характеристик. Так, увеличение его мощности сокращает время покупателей на ожидание обслуживания, уменьшает вероятность потери требований и, следовательно, потери товарооборота. Наряду с этим необходимо соответственно уменьшить зону самообслуживания, фронт торгово-технологического оборудования, товарную массу в торговом зале. В то же время увеличивается затраты на заработную плату контролеров-кассиров и оборудование дополнительных рабочих мест. Поэтому


Табл. 4.4

№ п/п Характеристики СМО Единица измерения Обозначение Показатели, рассчитанные по типам универсамов торговой площади, кв. м




Без экспресс-касс С учетом экспресс-касс




650 1000 2000 650 1000 2000







Обычные кассы Экспресс-кассы Обычные кассы экспресс-кассы Обычные кассы экспресс-кассы
1 Количество покупателей чел. k 2310 3340 6680 1460 850 2040 1300 4080 2600
2 Интенсивность входящего потока

чел./

мин

λ

9,64 13,9 27,9 6,08 3,55 8,55 5,41 17,1 10,8
3 Интенсивность обслуживания чел./мин

μ

0,823 0,823 0,823 0,823 2,18 0,823 2,18 0,823 2,18
4 Интенсивность нагрузки -

ρ

11,7 16,95 33,8 6,65 1,63 10,35 2,48 20,7 4,95
5 Количество кассовых аппаратов шт. n 12 17 34 7 2 11 3 21 5
6 Общее количество касс расчетного узла шт. ∑n 12 17 34 9 14 26

необходимо проводить оптимизационные расчеты. Рассмотрим характеристики системы обслуживания в кассовом узле универсама торговой площади 650м, рассчитанные по моделям СМО с ограниченной длиной очереди для различных мощностей его кассового узла в табл. 4.5.

На основе анализа данных табл. 4.5 можно сделать вывод, что по мере увеличения количества касс время ожидания покупателей в очереди растет, а затем после определенного момента резко падает. Характер изменения графика времени ожидания покупателей понятен, если параллельно рассматривать изменение вероятности потери требования Вполне очевидно, что когда мощность кассового узла чрезмерно мала, то более 85% покупателей будут уходить необслуженными, а оставшаяся часть покупателей будет обслужена за очень короткое время. Чем больше мощность кассового узла, тем вероятность потери требований будет дожидаться своего обслуживания, а значит, и время их ожидания в очереди соответственно будет расти. После того как ожидания и вероятность потерь будут резко уменьшаться.

Для универсама торговой площадью 650 этот предел для зоны обычных касс лежит между 6 и 7 кассовыми аппаратами. При 7 кассовых аппаратах соответственно среднее время ожидания – 2,66 мин, а вероятность потери заявок очень мала – 0,1%. Таким образом, которая позволит получить минимальные совокупные затраты на массовое обслуживание покупателей.

В связи с этим следующим этапом решения поставленной задачи является оптимизация мощности кассового узла на базе применения моделей СМО разных типов с учетом совокупных затрат и перечисленных выше факторов.

Табл. 4.5.

Тип кассового обслуживания Количество кассовых аппаратов в узле n, шт. Характеристики системы обслуживания Средняя выручка за 1 ч. руб. Средняя потеря выручки за 1 ч. руб Число покупателей в зоне расчетного узла

Площадь зоны расчетного узла, Sy, м

Удель ный вес площади зоны узла 650/ Sy


Среднее время ожидания, Т,мин

Вероятность потери заявок




Зоны Обычных касс

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1,79

3,58

5,33

7,08

8,58

9,29

2,66

0,48

0,16

0,06

0,85

0,7

0,55

0,4

0,25

0,1

0,001

0

0

0

205

415

623

831

1039

1371,1

1384,8

1385

1385

1385

1180

970

760

554

346

13,9

0,13

0

0

0

90

360

800

1420

2150

2880

890

267

53,5

20

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150

0,023

0,046

0,069

0,1

0,12

0,14

0,17

0,19

0,21

0,23

Зоны экспресс-касс

1

2

3

2,38

0,84

0,1

0,39

0,002

0

117

188

192

75

3,8

0

260

179

21,3

15

30

45

0,02

0,05

0,07


Заключение


На основе анализа данных табл. 4.5 можно сделать вывод, что по мере увеличения количество касс время ожидания покупателей в очереди растет. А затем после определенного момента резко падает. Характер изменения графика времени ожидания покупателей понятен, если параллельно рассматривать изменение вероятности потери требований Вполне очевидно, что когда мощность кассового узла чрезмерно мала, то более 85% покупателей будут уходить необслуженными, а оставшаяся часть покупателей будет обслужена за очень короткое время. Чем больше мощность кассового узла. Тем вероятность потери требований будет уменьшаться и соответственно тем большее число покупателей будет дожидаться своего обслуживания, а значит, и время их ожидания в очереди соответственно будет расти. После того как расчетный узел превысит оптимальный мощность, время ожидания и вероятность потерь будут резко уменьшаться.

Для универсама торговой площадью 650 кв. метров этот предел для зоны обычных касс лежит между 6-8 кассовыми аппаратами. При 7 кассовых аппаратах соответственно среднее время ожидания- 2,66 мин , а вероятность потери заявок очень мало - 0,1 % . Таким образом, задача состоит в выборе такой мощности кассового узла, которая позволит получит минимальные совокупные затраты на массовое обслуживание покупателей.

В связи с этим следующим этапом решения поставленной задачи является оптимизация мощности кассового узла на базе применения моделей СМО разных типов с учетом совокупных затрат и перечисленных выше факторов.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: