Разработка производственных и управленческих решений
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. А.Н. Туполева
ФИЛИАЛ «ВОСТОК»
Расчетно-графическая работа
по дисциплине
«Разработка производственных и управленческих решений»
Вариант 17
Выполнил: ст. гр. 21404
Овчинникова О.В.
Проверил: Гашева М.В.
Чистополь 2009
Решение задачи симплексным методом
Симплекс метод- это метод упорядочивания перебора опорных планов, упорядочивание в данном случае обеспечение последовательным перебором опорных планов с монотонным изменением значения целевой функции в сторону возрастания(убывания).
Исходные данные:
Предприятие
занимается
производством
2 видов продукции
1 и 2, для их производства
требуется 3
вида сырья. На
изготовление
единицы изделия
1 требуется
сырья каждого
вида
кг,
а для изделия
2-
кг.
Стоимость
единицы изделия
1 -
,
а для 2-
т.р.
Необходимо
составить такой
план производства
изделий, при
котором прибыль
от производства
и реализации
данной продукции
будет максимальной.
На предприятии
имеется сырья
в количестве
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 606 | 802 | 840 | 9 | 15 | 15 | 27 | 15 | 3 | 5 | 6 |
Решение:
Составим
экономико-математическую
модель задачи.
Для этого обозначим
-
количество
изделий А.
-
количество
изделий В. Эта
задача является
задачей оптимального
использования
сырья, поэтому
система организации
имеет вид:
+
≤606
9+27≤606
15+15≤802 (1)
15+3≤840
Где справа стоит количество каждого вида сырья, которые не может быть превышено в процессе производства изделий.
≥0,
≥0
(2)
Целевая функция представляет собой общую стоимость произведенной продукции.
С=5
+6х2
=> макс. (3)
Для решения задач симплекс методом приводят ее к каноническому виду, введя дополнительные балансовые переменные х3,х4,х5, которые означают остатки сырья соответственно 1,2, 3 типов, при этом неравенство преобразуется в уравнение, т.е. левая часть сбалансирована с правой.
9+27+
х3 ≤606
15+15+
х4 ≤802 (4)
15+3+х5
≤840
х3, х4, х5- остатки 1,2,3 вида сырья.
х1,х2,х3,х4,х5 ≥ 0 (5)
С=5+6х2
+0х3+0х4+0х5
=> макс. (6)
Систему (4) можно записать в другом виде:
р1х1+р2х2+р3х3+р4х4+р5х5=р0
р1
р2
р3
р4
р5
р0
Здесь векторы р3р4р5 имеют предпочтительный вид, т.е являются единичными в одном из компонентов и нулевыми во всех остальных компонентах. Р0- называется столбцом свободных членов системы ограничений, для решения системы (4)-(6) симплекс методом необходимо иметь опорный план, т.е. допускаются решения системы (4), для этого надо разделить на 2 группы- базисные и свободные. Сначала выбираем базисные, в качестве их выбирают векторы, имеющие предпочтительный вид, т.е в данном случае р3р4р5.им соответствуют базисные переменные х3, х4, х5системы (4). Остальные переменные х1,х2- будут свободными, при получении базисного решения все свободные переменные =0. Подставив в (4) х1=х2=0, получаем остальные компоненты опорного плана х3=606, х4=802,х5=840. В векторном виде этот опорный план выглядит так: х0=(0,0,606,802,840). Подставив компоненты х0 в целевую функцию (6) получаем значение целевой функции=0. С (х0)=0.
1 симплексная таблица( опорный план в виде симплекс таблицы)
| Оценка базисных переменных | Базисные переменные | Свободные члены | 5 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| С | Х | Р0 | Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 |
| 0 | Х3 | 606 | 9 | 27 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | Х4 | 802 | 15 | 15 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | Х5 | 840 | 15 | 3 | 0 | 0 | 1 |
| С | 0 | -5 | -6 | 0 | 0 | 0 | |
Переход к новому опорному плану, выбор разрешающего столбца:
СК=мин{Сj(cj|<0)}=мин {-5; -6 }=-6=С2=К=2
Выбор разрешающей строки:
bl/ alk=min {bi/ai2(ai2>0)} min{606/27;802/15;840/3}={22;53;280} =22=b1/a12=l=1
Генеральный элемент: alk=а12=27
Переход к новой симплексной таблице:
B1= b1/ а12=606/27=22
c=C-ckbс=c-c2b1=0-(-6)*22=132
alj=alj/alk
9/27=1/3
27/27=1
=1/27
=0/27=0
0/27=0
-5-(-6)*1/3=-3
-6-(-6)*1=0
0-(-6)*1/27=2/9
0-(-6)*0=0
0-(-6)*0=0
=802-15*22=472
=840-3*22=774
15-15*1/3=10
15-15*1=0
0-0*1/27=0
1-1*0=1
0-0*0=0
15-15*1/3=10
3-3*1=0
0-0*1/27=0
0-0*0=0
1-1*0=1
Вторая симплексная таблица
| Оценка базисных переменных | Базисные переменные | Свободные члены | 5 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| С | Х | Р0 | Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 |
| 6 | Х2 | 22 | 1/3 | 1 | 1/27 | 0 | 0 |
| 0 | Х4 | 472 | 10 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | Х5 | 774 | 10 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| С | 132 | -3 | 0 | -2/9 | 0 | 0 | |
Переход к новому опорному плану, выбор разрешающего столбца:
СК=мин{Сj(cj|<0)}=мин {-3; 0}=--3=С1=К=1
Выбор разрешающей строки:
bl/ alk=min {bi/ai1(ai1>0)}min{22/1/3;472/10;774/10}={66;47;77}=47=b2/a21=l=2
Генеральный элемент: alk=а21=10
Переход к новой симплексной таблице:
B2= b1/ а21=472/10=47
c=C-ckbс=c-c2b1=0-(-3)*47=148
alj=alj/alk
10/10=1
0/10=0
=0/10=0
=1/10
0/10=0
-3-(-3)*1=0
0-(-3)*0=0
2/9-(-3)*0=2/9
0-(-3)*1/10=0+3/10=3/10
0-(-3)*0=0
=6
=774-10*47=304
1/3-1/3=0
1-1*0=1
1/27-1/27*0=1/27
0-0*1/10=0
0-0*0=0
10-10*1=0
0-0*0=0
0-0*0=0
0-0*1/10=0
1-1*0=1
Третья симплексная таблица
| Оценка базисных переменных | Базисные переменные | Свободные члены | 5 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| С | Х | Р0 | Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 |
| 6 | Х2 | 6 | 0 | 1 | 1/27 | 0 | 0 |
| 5 | Х1 | 47 | 1 | 0 | 0 | 1/10 | 0 |
| 0 | Х5 | 304 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| С | 148 | 0 | 0 | 2/9 | 3/10 | 0 | |
Проверка опорного плана на оптимальность:
СК=min{Сj(cj|<0)}=min (0;0;2/9;3/10;0)=0
Полученный план оптимален.
В векторном виде опорный план выглядит:
=(47;6;0;0;304)
С()=148
Экономическая интерпретация задачи:
Объём производства будет оптимальным при достижении максимальной прибыли-148 д.ед., и при объёме производства товара-6 шт. и 47 шт.