Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Математические модели в менеджменте и маркетинге

Математические модели в менеджменте и маркетинге

КОНСПЕКТ

по дисциплине «Математические модели в менеджменте и маркетинге»

1. МЕТОДЫ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ


В реальных системах управления задачу оптимизации приходится решать с учетом нескольких критериев эффективности одновременно. В общем случае задача многокритериальной (векторной) оптимизации ставится следующим образом.

Имеется множество X различных (альтернативных) вариантов решения задачи управления. Вариант решения - это конкретное значение вектора параметров управления, то есть конкретный вариант плана производства, или вариант загрузки оборудования, или вариант стратегии управления и т.п.

Каждый вариант решения х ? Х оценивается вектором критериев


Математические модели в менеджменте и маркетинге


Очевидно вариант Х° является строго оптимальным, если


Математические модели в менеджменте и маркетинге


где yiext - минимальное или максимальное значение критерия yi , в зависимости от требований оптимизации.

Однако в реальных системах существование строго оптимального решения У° маловероятно, а часто и невозможно из-за противоречивости взаимосвязанных критериев. Например, при росте объемов производства растет и расход ресурсов, хотя объем надо максимизировать, а ресурсы минимизировать.

Практический интерес представляет поиск существующих вариантов, близких к оптимальному. Такими вариантами являются так называемые Парето-оптимальные варианты, составляющие множество PМX •

Вариант x*О Р если значение частного критерия yi(x*) для любого i, можно улучшить лишь за счет ухудшения других частных критериев. Другими словами, вариант X оптимален по Парето, если не найдется ни одного другого варианта X'?Х , такого, для которого


Математические модели в менеджменте и маркетинге


причем хотя бы для одного i выполняется


Математические модели в менеджменте и маркетинге


Здесь и далее предполагается, что все частные критерии надо минимизировать.

Для поиска Х О Р используется два подхода:

векторный критерий У преобразует (сворачивают) в обобщенный скалярный критерий Yc а затем применяют известные однокритериальные методы оптимизации (линейное, нелинейное, стохастическое программирование и т.п.) ;

применяют специальные методы многокритериальной оптимизации непосредственно по векторному критерию У..

Рассмотрим некоторые способы свертки. Наиболее простой способ - взвешенное линейное суммирование частных критериев .


Математические модели в менеджменте и маркетинге

где a- коэффициент важности (вес) частного критерия Yi. . Для определения значений коэффициентов применяют экспертные методы. Использовать линейную свертку суммированием нельзя, если существует нелинейная зависимость частных критериев между собой.

Если один из частных критериев намного важнее остальных, для которых известны их предельно допустимые значения b i , то оптимизация производится по наиболее важному (главному) критерию Ус=Yi а для остальных критериев устанавливаются ограничения:


Математические модели в менеджменте и маркетинге


Если удалось упорядочить все частные критерии по важности, но не удалось определить их вес a и предельные значения b, то можно попытаться использовать метод последовательных уступок. В этом методе на первом шаге производится поиск X1* , оптимального по самому важному критерию y1 . Остальные критерии при этом игнорируются. На 2-ом шаге выполняется поиск Х*2 , оптимального по критерию y2 а на ухудшение критерия y1 накладывается ограничение


Математические модели в менеджменте и маркетинге


где D1 Математические модели в менеджменте и маркетинге- уступка, характеризующая допустимое отклонение y1 от его минимального значения, найденного на 1-ом шаге.

Для простоты предполагается, что все критерии надо минимизировать.

На t, -ом шаге отыскивается Xt* , для которого


Математические модели в менеджменте и маркетинге


Наконец, на n. -ом шаге отыскивается X*=Xn, для которого


Математические модели в менеджменте и маркетинге

Еще один способ свертки - выбор в качестве обобщенного скалярного критерия эвклидова расстояния анализируемого варианта X до строго оптимального (идеального) варианта Х°. Сам вариант X0 может не существовать , но так как измерение расстояния выполняется в критериальном пространстве, то должны быть известны экстремальные значения этих критериев.

Свертка в этом случае имеет вид


Математические модели в менеджменте и маркетинге


Замечание I. Для оптимизации по У с, (взвешенное суммирование, эвклидово расстояние ) или для пошаговой оптимизации по частным критериям (методы главного критерия и последователь ных уступок) необходимо вычислять значения частных критериев

В сущности необходимо решать задачи прогноза и оптимизации по каждому yi и по yc для чего используются известные модели и методы оптимизации.

Замечание 2. При оптимизации по yc необходимо, чтобы критерии yi были нормализованы, то есть принимали значение в фиксированном интервале, например [0, l] и были безразмерны. Если известны верхняя yв и нижняя yн границы изменения критерия yi , то нормализованное значение yi определяется как


Математические модели в менеджменте и маркетинге


Пример, Имеется два проекта программного обеспечения автоматизированной подсистемы оперативного управления прокатным производством. Каждый вариант характеризуется следующим набором частных критериев:

y1 - затраты на разработку, руб. ;

y2 - срок разработки, год ;

y3 - время решения задач на ЭВМ, ч;

y4 - необходимое количество разработчиков, чел.;

y5 - количество высвобождаемых штатных сотрудников после внедрения системы, чел.

Определить лучший проект программного обеспечения, используя для получения обобщенного критерия оптимальности метод Эвклидовой метрики.


Исходные данные для расчета приведены в таблице.Номер варианта и характеристики частных критериев


Частные критерии



y1


y2


y3


y4


y5


Вариант I 25000 3 2,5 10 I
Вариант 2 30000 2 2,2 12 2

Вариант заказчика (идеальней yiext)


20000


3


2


10


2


Относительный коэффициент значимости частных критериев ( ai ) 0,4 0,3 0,1 0,1 0,1

Минимально допустимое значение частного критерия (yiH)


20000 2 2 10 1

Максимально допустимое значение частного критерия (yB)


30000 3 2,5 15 3

Решение задачи. Порядок решения задачи следующий:

!• Определение нормализованных значений частных критериев по формуле ,


Математические модели в менеджменте и маркетинге


2. Вычисление обобщенного критерия эффективности по формуле


Математические модели в менеджменте и маркетинге

2. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ


Возникновение теории управления запасами можно связать с работами Ф. Эджуорта и Ф. Харриса, появившимися в конце XIX — начале XX в., в которых исследовалась простая оптимизационная модель определения экономичного размера партии поставки для складской системы с постоянным равномерным расходом и периодическим поступлением хранимого продукта.

Запасами называется любой ресурс на складе, который используется для удовлетворения будущих нужд. Примерами запасов могут служить полуфабрикаты, готовые изделия, материалы, различные товары, а также такие специфические товары, как денежная наличность, находящаяся в хранилище. Большинство организаций имеют примерно один тип системы планирования и контроля запасов. В банке используются методы контроля за количеством наличности, в больнице применяются методы контроля поставки различных медицинских препаратов.

Существуют причины, побуждающие организации создавать запасы:

1) дискретность поставок при непрерывном потреблении;

2) упущенная прибыль;

3) случайные колебания;

а) в спросе за период между поставками,

б) в объеме поставок,

в) в длительности интервала между поставками;

4) предполагаемые изменения конъюнктуры:

а) сезонность спроса,

б) сезонность производства,

в) ожидаемое повышение цен.

Имеются также причины, побуждающие предприятия стремиться к минимизации запасов на складах:

1) плата за физическое хранение запаса,

2) потери в количестве запаса,

3) моральный износ продукта.

Существует проблема классификации имеющихся в наличии запасов. Для решения этой задачи используется методика административного наблюдения. Цель ее заключается в определении той части запасов предприятия, которая требует наибольшего внимания со стороны отдела снабжения. Для этого каждый компонент запасов рассматривается по двум параметрам: а) его доля в общем количестве запасов предприятия; б) его доля в общей стоимости запасов предприятия.

Методика 20/80. В соответствии с этой методикой компоненты запаса, составляющие 20% его общего количества и 80% его общей стоимости, должны отслеживаться отделом снабжения более внимательно.

Методика АВС. В рамках этой методики запасы, имеющиеся в распоряжении предприятия, разделяются на три группы: группу А (10% общего количества запасов и 65% его стоимости); группу В (25% общего количества запасов и 25% его стоимости); группу С (65% общего количества запасов и около 10% его стоимости).

Необходимо отметить, что классификация запасов может быть основана не только на показателях доли в общей стоимости и в общем количестве. Ряд их видов может быть причислен к более высокому классу на основании таких характеристик, как проблемы с поставкой, проблемы качества и т.д. Преимущества методики деления видов запасов на классы заключаются в возможности выбора порядка контроля и управления для каждого из них. Если в ходе классификации мы основывались на методе АВС анализа, имеет смысл обратить внимание на следующие моменты политики управления запасами.

1. Виды запасов класса А требуют более внимательного и частого проведения инвентаризации состояния запасов, правильность учета запасов этой группы должна подтверждаться чаще.

2. Планирование и прогнозирование, касающиеся запасов класса А, должны характеризоваться большей степенью точности, нежели относящиеся к запасам групп В и С.

3. Для категории А нужно стараться создать страховой запас, чтобы избежать больших расходов, связанных с отсутствием запасов этой группы.

4. Методы и приемы управления запасами, рассматривающиеся далее, должны прежде всего применяться к запасам групп А и В. Что касается запасов группы С, обычно момент возобновления заказа по ним определяют исходя из конкретных условий, а не на основе количественного метода, чтобы свести к минимуму расходы на их контроль.

Рассмотрим определяющие понятия теории управления запасами.

Издержки выполнения заказа (издержки заказа) — накладные расходы, связанные с реализацией заказа. В промышленности такими издержками являются затраты на подготовительно-заготовочные операции.

Издержки хранения — расходы, связанные с физическим содержанием товаров на складе, плюс возможные проценты на капитал, вложенный в запасы. Обычно они выражаются или в абсолютных единицах, или в процентах от закупочной цены и связываются с определенным промежутком времени.

Упущенная прибыль — издержки, связанные с неудовлетворенным спросом, возникающим в результате отсутствия продукта на складе.

Совокупные издержки за период представляют собой сумму издержек заказа, издержек хранения и упущенного дохода. Иногда к ним прибавляются издержки на покупку товаров.

Срок выполнения заказа — срок между заказом и его выполнением. Точка восстановления — уровень запаса, при котором делается новый заказ.

1. Краткая характеристика моделей управления запасами

1.1. Модель оптимального размера заказа.

Предпосылки: 1) темп спроса на товар известен и постоянен;

2) получение заказа мгновенно;

3) отсутствуют количественные скидки при закупке больших партий товара;

4) единственные меняющиеся параметры — издержки заказа и хранения;

5) исключается дефицит в случае своевременного заказа.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами и их количество за период.

1.2. Модель оптимального размера заказа в предположении, что получение заказа не мгновенно. Следовательно, нужно найти объем запасов, при котором необходимо делать новый заказ.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения, время выполнения заказа.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса.

1.3. Модель оптимального размера заказа в предположении, что допускается дефицит продукта и связанная с ним упущенная прибыль. Необходимо найти точку восстановления.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения, упущенная прибыль.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса.

1.4. Модель с учетом производства (в сочетании с условиями 1.1—1.3). Необходимо рассматривать уровень ежедневного производства и уровень ежедневного спроса.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, хранения и упущенная прибыль, темп производства.

Результат: оптимальный уровень запасов (точка восстановления запаса).

1.5. Модель с количественными скидками. Появляется возможность количественных скидок в зависимости от размера заказа. Рассматривается зависимость издержек хранения от цены товара. Оптимальный уровень заказа определяется исходя из условия минимизации общих издержек для каждого вида скидок.

2. Модели типа 1.1—1.5 с вероятностным распределением спроса и времени выполнения заказа

Вместо предпосылки о постоянстве и детерминированности спроса на товар используется более реалистичный подход о предполагаемой известности распределения темпа спроса и времени выполнения заказа.

Рассмотрим подробнее модели с фиксированным размером заказа. Модели с вероятностным распределением спроса и времени выполнения заказа рассмотрены в следующем разделе, где они решаются на основе имитационного подхода.

Модель 1.1 наиболее экономичного размера заказа. Заказ, пополняющий запасы, поступает как одна партия. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью пока не достигает нуля. В этой точке поступает заказ, размер которого равен Q, и уровень запасов восстанавливается до максимального значения. При этом оптимальным решением задачи будет тот размер заказа, при котором минимизируются общие издержки за период (рис. 11.1).

Пусть Q — размер заказа; Т — протяженность периода планирования; D — величина спроса за период планирования; d — величина спроса в единицу времени; К — издержки заказа; Н — удельные издержки хранения за период; h — удельные издержки хранения в единицу времени.

Тогда:

(D/Q)K — совокупные издержки заказа;

Модель 1.3 оптимального размера заказа в предположении, что допускается дефицит продукта и связанная с ним упущенная прибыль (рис. 11.3).

Пусть р — упущенная прибыль в единицу времени, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта;

Р — упущенная прибыль за период, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта. Тогда:


Q* =( 2dK/h)l/2 х ((Р+hVp)1/2=

=( 2DK/H)1/2 х ((Р+Н)/P)1/2 — оптимальный размер заказа;

S* =( 2dK/h)1/2 x (p/(h+p))1/2 =

=(2DK/H)1/2 х (Р/(H+Р))1/2 — максимальный размер запаса;

R = Q*— S* — максимальный дефицит.


Модель 1.4 производства и распределения. В предыдущей модели мы допускали, что пополнение запаса происходит единовременно. Но в некоторых случаях, особенно в промышленном производстве, для комплектования партии товаров требуется значительное время и производство товаров для пополнения запасов происходит одновременно с удовлетворением спроса. Такой случай показан на рис. 11.4.

Спрос и производство являются частью цикла восстановления запасов. Пусть u — уровень производства в единицу времени, К — фиксированные издержки производства.

Тогда:

совокупные издержки хранения = (средний уровень запасов) х Н = Q/2[l-d/u] Н;

средний уровень запасов = (максимальный уровень запасов)/2;

максимальный уровень запасов = u t — d t = Q(l—d/u);

время выполнения заказа t = Q/u; издержки заказа == (D/Q) К;

оптимальный размер заказа Q* =(2dK/h [(l-(d/u)])1/2 = (2DK/H [(l-(d/u)])1/2;

максимальный уровень запасов S* = Q*((l—(d/u))).

Модель 1.5 с количественными скидками. Для увеличения объема продаж компании часто предлагают количественные скидки своим покупателям. Количественная скидка — сокращенная цена на товар в случае покупки большого количества этого товара. Типичные примеры количественных скидок приведены в табл. 11.1.

Пусть I — доля издержек хранения в цене продукта с. Тогда h = (Ixc) и Q* =( 2dK/(Ixc))l/2 — оптимальный размер заказа.

Пример 2. Рассмотрим пример, объясняющий принцип принятия решения в условиях скидки. Магазин "Медвежонок" продает игрушечные гоночные машинки. Эта фирма имеет таблицу скидок на машинки в случае покупок их в определенном количестве (табл. 11.1). Издержки заказа составляют 49 тыс .р. Годовой спрос на машинки равен 5000. Годовые издержки хранения в отношении к цене составляют 20%, или 0,2. Необходимо найти размер заказа, минимизирующий общие издержки.

Решение.

Рассчитаем оптимальный размер заказа для каждого вида скидок, т.е. Ql*, Q2* и Q3*, и получим Q1* = 700; Q2* = 714; Q3* = 718.

Так как Ql* — величина между 0 и 999, то ее можно оставить прежней. Q2* меньше количества, необходимого для получения скидки, следовательно, его значение необходимо принять равным 1000 единиц. Аналогично Q3* берем равным 2000 единиц. Получим Ql* = 700; Q2* = 1000; Q3* = 2000.

Далее необходимо рассчитать общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затем выбрать наименьшее значение.

Рассмотрим следующую таблицу.

Выберем тот размер заказа, который минимизирует общие годовые, издержки. Из таблицы видно, что заказ в размере 1000 игрушечных гоночных машинок будет минимизировать совокупные издержки.

3. ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ


Имитация — это попытка дублировать особенности, внешний вид и характеристики реальной системы. Идея имитации состоит в:

1) математическом описании реальной ситуации,

2) изучении ее свойств и особенностей,

3)формировании выводов и принятии решений, связанных с воздействием на эту ситуацию и основанных на результатах имитации. Причем реальная система не подвергается воздействиям до тех пор, пока преимущества или недостатки тех или иных управленческих решений не будут оценены с помощью модели этой системы.

Метод Монте-Карло. Имитация с помощью метода Монте-Карло состоит из пяти простых этапов:

1. Установление распределения вероятностей для существенных переменных.

2. Построение интегрального распределения вероятности для всех переменных.

3. Установление интервала случайных чисел для каждой переменной.

4. Генерация случайных чисел.

5. Имитация путем многих попыток.

Проимитируем спрос на автомашины в салоне ЛОГОВАЗ в течение 10 последовательных дней. Для этого из таблицы случайных чисел мы выбираем значения, начиная из верхнего левого угла и двигаясь вниз в первом столбце.

39 — спрос за 10 дней. 39/10 = 3,9 — средний ежедневный спрос.

Пример 2. Груженые баржи, отправляемые вниз по Волге из индустриальных центров, достигают Астрахани. Число барж, ежедневно входящих в док, колеблется от 0 до 5. Вероятность прихода 0,1,...,5 барж показана в таблице. В этой же таблице указаны интегральные вероятности и соответствующие интервалы случайных чисел для каждого возможного значения.

Аналогичная информация дана о числе разгружаемых барж.

Имитация очереди на разгрузку барж в порту Астрахани представлена в следующей таблице.


4. ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ


Магазин электрооборудования Проводкова продает электрические дрели. В течение 300 дней Проводкой регистрировал дневной спрос на дрели. Распределение вероятностей величины спроса показано в таблице. Интегральные вероятности величин спроса показаны в четвертом столбце табл. В пятом столбце определены интервалы случайных чисел для определения возможных значений спроса.

Когда Проводков делает заказ, чтобы возобновить свои запасы электрических дрелей, его выполнение происходит с лагом в 1, 2 или 3 дня. Это означает, что время восстановления запаса подчиняется вероятностному распределению. В табл. показаны данные, позволяющие определить вероятности сроков выполнения заказов и интервалы случайных чисел на основе информации о 50 заказах.

Первая стратегия резервирования, которую хочет имитировать Проводков, — делать заказ в объеме 10 дрелей при запасе на складе 5 штук.

Реализуется четырехшаговый процесс имитации.

1. Каждый имитируемый день начинается с проверки, поступил ли сделанный заказ. Если заказ выполнен, то текущий запас увеличивается на величину заказа (в данном случае — на 10 единиц).

2. Путем выбора случайного числа генерируется дневной спрос для соответствующего распределения вероятностей.

3. Рассчитывается итоговый запас, равный исходному запасу за вычетом величины спроса. Если запас недостаточен для удовлетворения дневного спроса, спрос удовлетворяется, насколько это возможно. Фиксируется число нереализованных продаж.

4. Определяется, снизился ли запас до точки восстановления (в примере — 5 единиц). Если да, причем не ожидается поступления заказа, сделанного ранее, то делается заказ.

Первый эксперимент Проводкова. Объем заказа — 10 штук, точка восстановления запаса — 5 штук.


среднее число упущенных продаж = 2 упущенные продажи / 10 дней =0,2 шт./день.


Второй эксперимент Проводкова. Проводков оценил, что каждый заказ на дрели обходится ему в 10 000 р., хранение каждой дрели — в 5000 в день, одна упущенная продажа — в 80 000 р. Этой информации достаточно, чтобы оценить средние ежедневные затраты для этой стратегии управления запасами. Определим три составляющие затрат:


ежедневные затраты на заказы = (затраты на один заказ) х (среднее число заказов в день) = 10000 х 0,3 = 3000;

ежедневные затраты на хранение = (затраты на хранение одной единицы в течение дня) х (средняя величина конечного запаса) = 5000 х 4,1 = 20500;

ежедневные упущенные возможности = (прибыль от упущенной продажи) х (среднее число упущенных продаж в день) = 80000 х 0,2 = 16000,

общие ежедневные затраты = затраты на заказы + затраты на хранение + упущенные продажи = 39500.


5. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ


1. Основные понятия

Производственная функция - это функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции


Математические модели в менеджменте и маркетинге


Точное толкование понятий затрачиваемого (или используемого) ресурса и выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых (с помощью ПФ) задач (аналитических, плановых, прогнозных), наличия исходных данных.

На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Годовые затраты труда могут быть измерены в человеко-часах (объем человеко-часов - натуральный показатель) или в рублях выплаченной заработной платы (ее величина - стоимостный показатель); выпуск продукции может быть представлен в штуках или в других натуральных единицах (тоннах, метрах и т.п.) или в виде своей стоимости.

На макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях и представляют собой стоимостные (ценностные) агрегаты, т.е. суммарные величины произведений объемов затрачиваемых (или используемых) ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

Производственная функция нескольких переменных - это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных л равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:


Математические модели в менеджменте и маркетинге


При построении ПФ для региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y (будем обозначать объем выпуска, или дохода, на макроуровне большой буквой) чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х1 (=К) - объем используемого в течение года основного капитала), живой труд (х2 (=L) - количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом строят двухфакторную f(х1, х2), или Y=f{K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. В качестве третьего фактора иногда вводят объемы используемых природных ресурсов. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

ПФ у =f(х1, х2) называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, т.е. могут иметь представление в виде временных рядов.

Пример . Для моделирования отдельного региона или страны в целом (т.е. для решения задач на макроэкономическом, а также и на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида у = a0x1a1x2a2, где а0, а1, а2 - параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто а1 + а2 = 1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г. ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. ПФКД принадлежит к классу так называемых мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД х1 = K равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов - в отечественной терминологии), x2=L - затратам живого труда, тогда ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе:


Математические модели в менеджменте и маркетинге


Пример . Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид: у= а0 + а1х1 + a2x2. (двухфакторная) и у= а0 + а1х1 + a2x2+ …+anxn (многофакторная). ЛПФ принадлежит к классу так называемых аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипликативной ПФ

Выполняя обратный переход, из аддитивной ПФ получим мультипликативную ПФ.

Если а1 + а2 = 1, то ее можно записать в несколько другой форме:


Математические модели в менеджменте и маркетинге

Математические модели в менеджменте и маркетинге


называются соответственно производителностью труда и капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получим


Математические модели в менеджменте и маркетинге


т.е. из двухфакторной ПФКД получим формально однофакторную ПФКД. В связи с тем, что 0 < a1< 1, из последней формулы следует, что производительность труда растет медленнее его капиталовооруженности. Однако этот вывод справедлив для случая статической ПФКД в рамках существующих технологии и ресурсов.

Отметим здесь, что дробь Y / K — называется производительностью капитала или капиталоотдачей, обратные дроби K / Y и L / Y называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска.

ПФ называется динамической, если:

1) время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемой продукции;

2) параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.

Отметим, что если параметры ПФ оценивались по данным врменных рядов (объемов ресурсов и выпуска) продолжительностью T0 лет (т.е. базовый промежуток для оценки параметров имеет продолжительность T0 лет), то экстраполяционные расчеты по такой ПФ

следует проводить не более чем на T0 / 3 лет вперед (т.е. промежуток экстраполяции должен иметь продолжительность не более чем T0/3 лет).

При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя НТП еpt, где параметр (число) p(p>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:


Математические модели в менеджменте и маркетинге


Эта ПФ - простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть не материализованный в одном из факторов, технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу: Y(t) = f(A(t)-L(t), K(t)) или Y(t) = f(A(t) K(t), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

Пример ..

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: