Экономико-математические методы
Задача 1
В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.
Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X1 и мощности двигателя X2 из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.
Таблица 1
| Номер автомобиля i | Цена (тыс.у.е.) yi | Возраст (лет) xi1 | Мощность двигателя (л.с.) xi2 |
| 1 | 6,8 | 6,0 | 93 |
| 2 | 7,2 | 4,0 | 67 |
| 3 | 4,3 | 6,0 | 57 |
| 4 | 10,0 | 4,0 | 106 |
| 5 | 9,7 | 5,0 | 108 |
| 6 | 12,4 | 4,0 | 136 |
| 7 | 12,9 | 4,0 | 143 |
| 8 | 6,6 | 7,0 | 127 |
| 9 | 11,2 | 3,0 | 93 |
| 10 | 11,2 | 4,0 | 111 |
| 11 | 8,3 | 6,0 | 124 |
| 12 | 5,6 | 6,0 | 81 |
| 13 | 5,6 | 6,0 | 71 |
| 14 | 6,4 | 6,0 | 88 |
| 15 | 5,3 | 7,0 | 112 |
| 16 | 4,0 | 7,0 | 88 |
2. Множественная зависимость
С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9.
Методом наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели
.
Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9.
Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.
3. Экономическая интерпретация
На основе полученных статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.
Расчетная таблица:
| № | y | X1 | x2 | x12 | x22 | y*x1 | y*x2 | y2 | x1x2 |
| 1 | 6,8 | 6 | 93 | 36 | 8649 | 40,8 | 632,4 | 46,2 | 558 |
| 2 | 7,2 | 4 | 67 | 16 | 4489 | 28,8 | 482,4 | 51,8 | 268 |
| 3 | 4,3 | 6 | 57 | 36 | 3249 | 25,8 | 245,1 | 18,5 | 342 |
| 4 | 10,0 | 4 | 106 | 16 | 11236 | 40,0 | 1060,0 | 100,0 | 424 |
| 5 | 9,7 | 5 | 108 | 25 | 11664 | 48,5 | 1047,6 | 94,1 | 540 |
| 6 | 12,4 | 4 | 136 | 16 | 18496 | 49,6 | 1686,4 | 153,8 | 544 |
| 7 | 12,9 | 4 | 143 | 16 | 20449 | 51,6 | 1844,7 | 166,4 | 572 |
| 8 | 6,6 | 7 | 127 | 49 | 16129 | 46,2 | 838,2 | 43,6 | 889 |
| 9 | 11,2 | 3 | 93 | 9 | 8649 | 33,6 | 1041,6 | 125,4 | 279 |
| 10 | 11,2 | 4 | 111 | 16 | 12321 | 44,8 | 1243,2 | 125,4 | 444 |
| 11 | 8,3 | 6 | 124 | 36 | 15376 | 49,8 | 1029,2 | 68,9 | 744 |
| 12 | 5,6 | 6 | 81 | 36 | 6561 | 33,6 | 453,6 | 31,4 | 486 |
| 13 | 5,6 | 6 | 71 | 36 | 5041 | 33,6 | 397,6 | 31,4 | 426 |
| 14 | 6,4 | 6 | 88 | 36 | 7744 | 38,4 | 563,2 | 41,0 | 528 |
| 15 | 5,3 | 7 | 112 | 49 | 12544 | 37,1 | 593,6 | 28,1 | 784 |
| 16 | 4,0 | 7 | 88 | 49 | 7744 | 28,0 | 352,0 | 16,0 | 616 |
| Сумма | 127,5 | 85 | 1605 | 477 | 170341 | 630,2 | 13510,8 | 1141,9 | 8444 |
Коэффициенты парной корреляции:
=
= -0,833
=
=
0,665
Проверка значимости:
(по
таблице).
= 5,63 > 1,761
= 3,33 > 1,761
Коэффициенты корреляции существенно отличаются от 0.
Найдем матрицы:
=
=
Найдем
матрицу
,
обратную к
матрице
.
Определитель
|XTX| = 16 * 477 * 170341 + 85 * 8444 * 1605 + 1605 * 85 * 8444 – 1605 * 477 * 1605 – 85 * 85 * 170341 – 16 * 8444 * 8444 = 3692086
Алгебраические дополнения:
D11
= (–1)1 + 1
= 477 * 170341 – 84442 = 9951521 и т.д.
Матрица алгебраических дополнений
=
Присоединенная матрица
(XTX)*
= DT =
= D
(матрица D симметрична).
(XTX)–1
= (XTX)* / |XTX| =
=
Вектор оценок коэффициентов модели:
A
= (XTX)-1
(XTY)
=
=
Y = 10,455 – 1,650x1 + 0,063x2
Расчетная таблица:
| № | y | x1 | x2 |
|
y
-
|
(y
-
|
y
-
|
(y
-
|
| 1 | 6,8 | 6,0 | 93,0 | 6,38 | 0,42 | 0,179 | -1,2 | 1,4 |
| 2 | 7,2 | 4,0 | 67,0 | 8,05 | -0,85 | 0,721 | -0,8 | 0,6 |
| 3 | 4,3 | 6,0 | 57,0 | 4,12 | 0,18 | 0,031 | -3,7 | 13,5 |
| 4 | 10,0 | 4,0 | 106,0 | 10,49 | -0,49 | 0,241 | 2,0 | 4,1 |
| 5 | 9,7 | 5,0 | 108,0 | 8,97 | 0,73 | 0,539 | 1,7 | 3,0 |
| 6 | 12,4 | 4,0 | 136,0 | 12,37 | 0,03 | 0,001 | 4,4 | 19,6 |
| 7 | 12,9 | 4,0 | 143,0 | 12,81 | 0,09 | 0,009 | 4,9 | 24,3 |
| 8 | 6,6 | 7,0 | 127,0 | 6,86 | -0,26 | 0,065 | -1,4 | 1,9 |
| 9 | 11,2 | 3,0 | 93,0 | 11,33 | -0,13 | 0,016 | 3,2 | 10,4 |
| 10 | 11,2 | 4,0 | 111,0 | 10,80 | 0,40 | 0,157 | 3,2 | 10,4 |
| 11 | 8,3 | 6,0 | 124,0 | 8,32 | -0,02 | 0,000 | 0,3 | 0,1 |
| 12 | 5,6 | 6,0 | 81,0 | 5,63 | -0,03 | 0,001 | -2,4 | 5,6 |
| 13 | 5,6 | 6,0 | 71,0 | 5,00 | 0,60 | 0,361 | -2,4 | 5,6 |
| 14 | 6,4 | 6,0 | 88,0 | 6,06 | 0,34 | 0,113 | -1,6 | 2,5 |
| 15 | 5,3 | 7,0 | 112,0 | 5,92 | -0,62 | 0,379 | -2,7 | 7,1 |
| 16 | 4,0 | 7,0 | 88,0 | 4,41 | -0,41 | 0,171 | -4,0 | 15,8 |
| Сумма | 127,5 | 2,985 | 125,9 |
Остаточная дисперсия
S2
= ∑ (yi
-
i)2
/ (n – m – 1) = 2,985 / (16 – 2 – 1) = 0,230
Ковариационная матрица:
S2
(XTX)-1
= 0,230 *
=
Стандартные ошибки коэффициентов равны квадратным корням из диагональных элементов ковариационной матрицы:
S0
=
= 0,787
S1
=
= 0,096
S2
=
= 0,005
Проверим значимость параметров регрессии.
Табличное значение
t1 – α/2, n – 3 = 1,77
t0 = |a0| / S0 = 10,455 / 0,787 = 13,3 > 1,77
t1 = |a1| / S1 = 1,650 / 0,096 = 17,1 > 1,77
t2 = |a2| / S2 = 0,063 / 0,005 = 12,4 > 1,77
Все параметры значимы.
Коэффициент детерминации
= 1 – 2,985 /
125,9 = 0,976
Табличное значение критерия Фишера
Fт = 3,8
Расчетное значение
Fф
=
=
= 267,7 > 3,8
Уравнение значимо.
Точечный прогноз:
(xp)
= 10,455 – 1,650 * 3 + 0,063 * 165 = 15,83 тыс.
у.е.
Интервальный прогноз
Квантиль распределения Стьюдента (по таблице)
=
t0,975; 13
= 2,16
где
S =
=
= 0,479
xp
(XTX)-1(xp)T
=
=
= 0,633
= 0,479 *
= 0,381
В,Н
= 15,83 ± 2,16 * 0,381 = 15,83 ± 0,68
Н
= 15,15
В
= 16,51
3. Экономическая интерпретация. Между возрастом автомобиля и его ценой существует тесная отрицательная связь (коэффициент корреляции –0,833): при увеличении возраста на 1 год (при фиксированной мощности двигателя) цена падает в среднем на 1,650 тыс. усл. ед.
Между мощностью двигателя и ценой автомобиля существует менее тесная положительная связь (коэффициент корреляции 0,665): при увеличении мощности на 1 л.с. (при фиксированном возрасте автомобиля) цена увеличивается в среднем на 0,063 тыс. усл. ед.
С вероятностью 0,95 можно утверждать, что цена автомобиля при возрасте 3 года и мощности двигателя 165 л.с. будет находиться в пределах от 15,15 до 16,51 тыс. усл. ед.
Задача 3
1. Для регрессионной модели
и
с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости 0,05.
2. Для регрессионной модели
проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:
а) парный коэффициент корреляции;
б) критерий «хи-квадрат» χ2 на уровне значимости 0,05.
Расчетная таблица:
| № | et | et-1 | et - et-1 | (et - et-1)2 | (et)2 |
| 2 | -0,85 | 0,42 | -1,27 | 1,62 | 0,72 |
| 3 | 0,18 | -0,85 | 1,03 | 1,05 | 0,03 |
| 4 | -0,49 | 0,18 | -0,67 | 0,45 | 0,24 |
| 5 | 0,73 | -0,49 | 1,22 | 1,50 | 0,54 |
| 6 | 0,03 | 0,73 | -0,70 | 0,49 | 0,00 |
| 7 | 0,09 | 0,03 | 0,06 | 0,00 | 0,01 |
| 8 | -0,26 | 0,09 | -0,35 | 0,12 | 0,07 |
| 9 | -0,13 | -0,26 | 0,13 | 0,02 | 0,02 |
| 10 | 0,40 | -0,13 | 0,52 | 0,27 | 0,16 |
| 11 | -0,02 | 0,40 | -0,41 | 0,17 | 0,00 |
| 12 | -0,03 | -0,02 | -0,01 | 0,00 | 0,00 |
| 13 | 0,60 | -0,03 | 0,63 | 0,39 | 0,36 |
| 14 | 0,34 | 0,60 | -0,26 | 0,07 | 0,11 |
| 15 | -0,62 | 0,34 | -0,95 | 0,91 | 0,38 |
| 16 | -0,41 | -0,62 | 0,20 | 0,04 | 0,17 |
| Сумма | 7,11 | 2,81 |
Статистика Дарбина-Уотсона
=
7,11 / 2,81 = 2,53
Табличные значения при n = 16, m = 2
dl = 0,98; du = 1,54
Так как 4 – du < d < 4 – dl, вопрос о наличии автокорреляции остается открытым (область неопределенности критерия).
Найдем коэффициент парной корреляции между объясняющими переменными.
r12
=
= -0,169
Проверим значимость коэффициента корреляции.
=
= 0,643 < 1,761
Коэффициент незначим, т.е. мультиколлинеарность не имеет места.
Определитель матрицы коэффициентов парной корреляции:
Det
(r)
=
= 1 – 0,1692
= 0,971
Табличное значение статистики для df = 1 и α = 0,05 равно
χ21;0,05 = 3,84.
Фактическое значение статистики
=
- (16 – 1 – (2 * 2 + 5) / 6) ln
0,971 = 0,39 < 3,84
Мультиколлинеарность не имеет места, т.е. линейной зависимости между объясняющими переменными (возрастом автомобиля и мощностью двигателя) не существует. Это свидетельствует о надежности оценок параметров модели.
16