Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна

Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна

1 Загальна задача керованості


Розглянемо керований об'єкт, що описується системою рівнянь


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна,(1)


де Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна – вектор фазового стану об'єкта; Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна – вектор керування.

Припустимо, задані початкова й кінцева множини Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна та Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна. Задача керованості полягає у встановленні наступного факту: чи існує на деякому відрізку часу Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна хоча б одне таке припустиме керування Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, що відповідний йому розв’язок Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна рівняння (1) задовольняє граничним умовам


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна.(2)


Визначення. Об'єкт є керованим на відрізку часу Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна із множини Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна на множину Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, якщо існує хоча б одне припустиме керування Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна таке, що відповідний йому розв’язок Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна задовольняє граничним умовам (2), тобто здійснює перехід з початкової множини Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна на кінцеву множину Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна на відрізку часу Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна.

Якщо питання про існування оптимального керування вирішено, далі необхідно його знайти (для цього використовуються необхідні умови оптимальності), а потім вибирати оптимальне керування на множині всіх керувань, що задовольняють цим необхідним умовам. Необхідні умови оптимальності, які дозволяють виділити із множини припустимих процесів деяку підмножину процесів, підозрілих на оптимальність, дає принцип максимуму Понтрягіна.


2 Властивості оптимальних керувань


Розглянемо керовану систему із законом (1) за заданих крайових умов


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна,(3)


у якій фазовий вектор Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна набуває будь-яких значень із простору Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, тобто фазові обмеження відсутні. Вважатимемо також, що на вектор керування Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна накладаються обмеження:


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна,(4)


де Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна – вектор-функція, неперервна по всіх змінних і неперервно-диференційована по змінних Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна;

Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна – лінійний простір кусково-неперервних на Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна функцій.

Необхідно знайти таке припустиме керування Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, що переводить систему з фазового стану Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна у фазовий стан Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, причому відповідний припустимий процес Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна надає мінімального значення функціоналу


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна,(5)


де функція Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна неперервна за сукупністю усіх змінних і неперервно-диференційована по змінних Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна.

Вважатимемо, що час керування Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна – довільний, тобто кожному припустимому процесу, на якому система переходить зі стану Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна у стан Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, відповідають свої моменти часу Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна й Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна.

Мають місце наступні властивості оптимальних керувань і траєкторій задачі (1), (3)–(5).

1. Властивості керувань не змінюються при зміщенні уздовж осі Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна. Отже, якщо керування Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, переводить систему зі стану Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна у стан Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, а цільовий функціонал на відповідному припустимому процесі приймає значення Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, то для кожного Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна керування Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна також переводить систему зі стану Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна в стан Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна і цільовий функціонал при цьому набуває значення Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна (рис. 1).


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна

Рисунок 1


Позначимо Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, …, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна – скінченний набір точок фазового простору, для яких існує набір таких керувань Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, …, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, що керування Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна переводить систему зі стану Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна у стан Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна і при цьому цільовий функціонал дорівнює Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна (рис. 2).


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна

Рисунок 2


Тоді існує кусково-неперервне керування Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, яке переводить систему зі стану Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна у стан Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна і значення цільового функціоналу при цьому дорівнює


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна.


Зауважимо, що подібна операція неможлива в класі неперервних керувань, тому що в точках стику Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна побудоване узагальнене керування може мати точки розриву першого роду.

3. Якщо функція Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна – оптимальне керування, то фрагмент цієї функції на будь-якому інтервалі Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, також є оптимальним керуванням.

4. Припустимо, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна – оптимальна траєкторія, що відповідає керуванню Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна. Розглянемо довільний відрізок Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, і позначимо Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна. За таких умов інтеграл Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна на керуванні Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна набуває найменшого значення серед всіх припустимих керувань Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, що переводять систему зі стану Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна в стан Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна.


3 Принцип максимуму Понтрягіна


Розглянемо задачу оптимального керування (1), (3)–(5):


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна,


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна,


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна,


де Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна – функції, неперервні за сукупністю всіх змінних і неперервно-диференційовані по змінних Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна.

Перейдемо до Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна-вимірного простору, елементами якого є вектори


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна,


де Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна – фазовий вектор задачі, а Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна – деяка функція, що задовольняє співвідношенню


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна.(6)


З останньої формули випливає, що функція Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна є розв’язком рівняння


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна.

Приєднавши останнє рівняння до системи (1), дістанемо нову систему


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна,(7)


де Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна;


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна.


Підкреслимо, що праві частини рівнянь системи (7) не залежать від Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна. З формули (6) випливає, що


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна.


Таким чином, початкову задачу зведено до задачі вибору припустимого керування Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, яке здійснює перехід точки Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна в Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна-вимірному просторі зі стану Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна у найближчу точку Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна на прямій, що паралельна осі Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, і проходить через точку Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна (рис. 3). Пошук оптимального керування тепер полягає в мінімізації величини Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна. Дійсно,


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна.


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна

Рисунок 3


Складемо допоміжну систему


Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна,(8)


відносно невідомих функцій Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна. Ця система називається спряженою системою до системи (7), а змінні Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна – спряженими змінними.

Якщо Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна – припустимий процес, то відповідна цьому процесу система (8) є лінійною однорідною системою диференціальних рівнянь із відомими кусково-неперервними коефіцієнтами. Відомо, що за будь-яких початкових умов ця система має єдиний розв’язок.

Оскільки Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, не залежать від Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна, то


Необхідні умови оптимальності.
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: