Обработка статистической информации при определении показателей надежности

определяем значение коэффициента Стьюдента для α = 0,95 и N = 30. Для заданных условий = 2,04. Тогда, по формулам 1.27, 1.28, 1.30 и 1.31 определим:

мм;

мм;

мм;

мм;

Расчет доверительных границ рассеивания при использовании закона распределения Вейбулла ведется от нуля, т.к. кривая распределения в этом случае асимметрична.

Рассеивание одиночных значений показателя надежности определяется по формулам:

, (1.36)

(1.37)

где tн – нижняя доверительная граница;

tв – верхняя доверительная граница;

– нормированная квантиль закона распределения Вейбулла, определяется по таблице из литературных источников для известных значений "в" и ;

а – параметр распределения Вейбулла.

Для определения границ рассеивания среднего значения используются формулы:

, (1.38)

, (1.39)

где – нижняя доверительная граница;

– верхняя доверительная граница;

r1; r3 – коэффициенты Вейбулла, определяются по таблице из литературы;

в – параметр распределения Вейбулла.

При доверительной вероятности α=0,95; =6,49 мм; tсм=5,92 мм; в=2,5; а=0,63 мм доверительные границы рассеивания одиночного и среднего значения определенные по формулам 1.21…1.24 будут равны:

Относительная ошибка рассеивания (переноса) опытных значений показателя надежности на генеральную совокупность:

(1.40)

1.9 Определение минимального числа объектов наблюдения при оценке показателей надежности

Точность определения показателей надежности зависит при прочих равных условиях от объема информации, т.е. от числа испытуемых объектов. Как известно, с увеличением количества испытуемых объектов N доверительные границы сближаются, а абсолютная ошибка уменьшается.

Прежде чем приступить к испытанию, нужно определить количество испытуемых изделий. Для этого задаются определенной доверительной вероятностью α и возможной относительной ошибкой εα.

В условиях производства при испытании на надежность в большинстве случаев задаются доверительной вероятностью α=0,80…0,95 и величиной относительной ошибки εα=10…20%. Количество объектов испытания определяется в соответствии с принятым законом распределения.

При использовании закона нормального распределения, если обе части уравнения 1.34 разделить на среднее значение показателя надежности , получим:

или .

Окончательно получим:

. (1.41)

Для определения объема испытаний N необходимо задаться величиной допустимой относительной ошибкой и для известной величины коэффициента вариации V определить значение с использование формулы 1.41, затем по таблице определить искомый объем информации N при заданной доверительной вероятности α.

В нашем случае относительная ошибка ≤20% (0,20), доверительная вероятность α.=0,95, коэффициент вариации V=0,42. Подставляя данные в формулу 1.41 получим

.

По таблице для α.=0,95 N=20.

При использовании закона распределения Вейбулла пользуются уравнением:

, (1.42)

где в – параметр распределения Вейбулла.

По значению q, при известной доверительной вероятности по таблице определяется количество испытуемых объектов.

Для V = 0,42; в=2,5 получим

По таблицам для α=0,95 находим N=17.

2 Методы обработки усеченной информации

Проводить ресурсные испытания тракторов и автомобилей, обладающих достаточно высокой долговечностью, до получения показателей долговечности у всех объектов практически невозможно. Это требует очень длительного времени их испытаний. Поэтому, при сборе информации по показателям долговечности таких машин, испытания ведут до определенной наработки «Т». При этом длительность испытаний выбирается таким образом, чтобы получить показатели надежности не менее чем у 50% изделий.

Полученная при таких испытаниях информация называется усеченной.

В случае усеченной информации получить характеристики распределения ( и σ) изложенным выше методом невозможно. Эту задачу можно решить графическим методом обработки статистической информации с помощью вероятностной бумаги.

2.1 Вероятностная бумага закона нормального распределения

Порядок пользования вероятностной бумагой закона нормального распределения следующий:

1. На листе бумаги наносят прямоугольные оси координат.

2. На график наносят 6…7 опытных точек, равномерно расположенных в сводной таблице исходной информации (вариационном ряду). При этом координаты точек определяют по уравнениям:

, (2.1)

где МХ – масштаб по оси Х;

ti – значение показателя надежности i–й точки.

, (2.2)

где МУ – масштаб по оси "у" (принимается = 50 мм/ед.квантили);

НК – нормированная квантиль нормального закона распределения определяется по таблице для накопленной опытной вероятности рассматриваемой точки информации ;

«+» - если «-» - если

Накопленная опытная вероятность рассматриваемой точки информации определяется по формуле:

, (2.3)

где – порядковый номер i–ой точки вариационного ряда

статистической информации;

N – объем информации.

3. Нанести опытные точки на график и через них провести прямую линию таким образом, чтобы точки были максимально приближены к этой прямой

4. Определяем и σ. Для этого через координату "у" = 116,5 мм, что соответствует , провести прямую, параллельную оси "х" до пересечения с графиком. Абсцисс точки графика, соответствующая , равна . Для определения σ через координату "у" = 66,6 мм, что соответствует , провести прямую, параллельную оси "х", до пересечения с графиком. Разность абсцисс точек соответствующих и равна среднеквадратическому отклонению случайной величины в соответствующем масштабе.

нашем случае для обработки возьмем точки 2, 4, 7, 9, 11, 13.

Примем МХ = 3 мм/ед.лог., тогда:

мм;

мм;

;

.

мм;

мм.

Результаты расчетов представлены в таблице 2.1

Таблица 2.1 Результаты расчетов для построения вероятностной бумаги ЗНР

Порядковый номер,	Значение показателя надежности, ti , мм	Х мм		Уi мм
2	6,09	18,27	1,126	60,2
4	6,22	18,66	0,675	82,75
7	6,28	18,84	0,151	88,35
9	6,36	19,08	0,151	124,05
11	6,41	19,23	0,468	13939
13	6,46	19,38	0,878	160,4

Вероятностная бумага ЗНР представлена на рисунке 2.1, из графика получим

,

2.2 Вероятностная бумага закона распределения Вейбулла

Порядок расчета по вероятностной бумаге следующий:

1. Из сводной таблицы взять 6…7 равномерно расположенных точек.

2. Определить координаты опытных точек по уравнениям:

, мм (2.4)

где Mx – масштаб по оси x, принимается .

(2.5)

где My – масштаб п оси y, принимается My=50.

– накопленная опытная вероятность для рассматриваемой точки

.

3. Нанести опытные точки на график и провести через них прямую линию.

4. Из точки, соответствующей =0,63 (у = 100,3 мм), провести горизонтальную прямую до пересечения с графиком и определить отрезок и по величине отрезка определить параметр "а" по формуле:

(2.6)

5. Продолжить график до пересечения с осью абсцисс и найти отрезок "Б". По отрезку определяем параметр "в".

. (2.7)

6. По величине параметра "в" из таблицы определяем коэффициенты Кв и Св.

7. Определяем и σ по формулам:

, (2.8)

(2.9)

Для обработки возьмем точки 2; 4; 7; 9; 11; 13.

Смещение начала рассеивания показателя надежности определяется по формуле 1.10.

мм.

При определении абсцисс опытных точек за единицу измерения показателя надежности принимают такое значение, при котором разность равнялось бы примерно от 1 до 20. В нашем случае наиболее удобно за единицу измерения показателя надежности принять 0,1 мм, тогда:

мм;

мм и т.д.

;

.

мм;

мм.

Результаты представлены в таблице 2.2

Таблица 2.2 Результаты расчетов для построения вероятностной бумаги ЗРВ

Порядковый номер	Значение показателя надежности ti , мм	Х мм		Уi мм
2	6,09	28	0,064	41,4
4	6,22	50	0,13	57,6
7	6,28	58	0,226	70,8
9	6,36	66	0,290	77,1
11	6,41	70	0,355	82,5
13	6,46	75	0,420	87,2

Вероятностная бумага ЗРВ представлена на рисунке 2.2, из графика получили отрезок мм, отрезок Б= 77 мм. Тогда:

Так как за единицу измерения показателя надежности при определения абсцисс опытных точек принято 0,1 мм, то а = 0,758 мм.

.

Из таблицы по найденному значению параметра "в" определяем коэффициенты Вейбулла: Кв=0,887; Св=0,394.

.

Согласованность выбранного теоретического закона при использовании для определения и σ вероятностных бумаг можно определить по расположению точек. Если точки располагаются близко от прямой, выбранный закон согласуется с опытным распределением. Если точки значительно отклоняются от прямой, теоретический закон не подходит.

Литература

1 Баранов Н.Ф., Шерстобитов В.Д. Методические указания по обработке статистической информации при определении показателей надежности машин. – Киров: ВГСХА, 2006. – 60с.