Некоторые задачи оптимизации в экономике

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Некоторые задачи оптимизации в экономике

Выполнила:

студентка V курса математического факультета

Голомидова Ирина Витальевна

Научный руководитель:

Ст. преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

С. А. Фалелеева.

Рецензент:

кандидат педагогических наук, ст. преподаватель кафедры математического анализа и МПМ  

Л.В. Караулова.

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г.     Зав. кафедрой                           М.В. Крутихина

«___»___________2005 г.     Декан факультета                     В.И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение................................................................................................... 3

1. Математические модели в экономике................................................. 4

2. Некоторые понятия функций нескольких переменных...................... 6

3. Задача математического программирования

1)    Общая постановка задачи.............................................................. 8

2)    Задача линейного программирования и способы её решения..... 9

3)    Двойственная задача.................................................................... 19

4)    Задача нелинейного программирования..................................... 26

5)    Задача на условный экстремум.................................................... 31

4. Задача потребительского выбора.

1)    Функция полезности. Бюджетное ограничение. Формулировка задачи потребительского выбора.......................................................................... 34

2)    Решение задачи потребительского выбора и его свойства......... 36

3)    Общая модель потребительского выбора................................... 39

4)    Модель Стоуна ............................................................................ 40

Заключение............................................................................................. 42

Библиографический список................................................................... 43

Введение

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Математика стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчёта, но также методом точного исследования и средством предельно чёткой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными характеристиками, а поэтому вобрала в себя большое число математических методов.

Актуальность данной темы состоит в том, что в современной экономике используются оптимизационные методы, которые составляют основу математического программирования, теории игр, сетевого планирования, теории массового обслуживания и других прикладных наук.

Изучение экономических приложений математических дисциплин, составляющих основу актуальной экономической математики, позволяет приобрести некоторые навыки решения экономических задач и расширить  знания в этой области.

Целью данной работы является изучение некоторых оптимизационных методов, применяемых при решении экономической задач.

При написании дипломной работы были поставлены следующие задачи:

·        Рассмотрение некоторых экономических задач и составление математических моделей.

·        Изучение некоторых математических методов, применяемых для решения оптимизационных задач в экономике.

·        Практическое решение задач.

1. Математические модели в экономике

Современная экономическая теория включает как естественный, необходимый элемент математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи. Во-вторых, из чётко сформулированных исходных данных и соотношений можно сделать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценить форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям. В-четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать её понятия.

Математические модели использовались с иллюстративными исследованиями ещё Ф. Кене (1758г., «Экономическая таблица»), А. Смитом (Классическая макроэкономическая модель), Д. Риккардо (Модель международной торговли). В XIX веке большой вклад в моделирование рыночной экономики внесли математики Л. Вальрас, О. Курно,  В. Парето и другие. В XX веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской  премии по экономике (Р. Солоу, В. Леонтьев, Л. Канторович и другие). Развитие макроэкономики, микроэкономики, прикладных дисциплин связано со все более высоким уровнем их  формализации. Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики. В России в начале XX века большой вклад в математическое моделирование экономики внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий. В 1960-е – 80-е годы экономико-математическое направление было связано, в основном, с попытками формально описать «систему оптимального функционирования социалистической экономики» (Н.П. Федоренко, С.С. Шаталин). Строились многоуровневые системы моделей народно – хозяйственного планирования, оптимизационные модели областей и предприятий.

Математическая модель экономического объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Иными словами, модель – это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Предполагается, что изучение модели дает новые решения в той или иной ситуации.

Можно выделить 3 этапа проведения математического моделирования в экономике:

1.     ставятся цели и задачи исследования, проводится качественное описание объекта в виде экономической модели.

2.     формируется математическая модель изучаемого объекта, осуществляется выбор методов исследования. Далее исследуется модель с помощью этих методов.

3.     осуществляется обработка и анализ полученных результатов.

Математические модели, используемые в экономике, можно подразделить на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария: модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические.

Мы будем рассматривать некоторые оптимизационные модели. К оптимизационным моделям относят следующие: модель линейного программирования, нелинейного, динамического, сетевые модели. Будем рассматривать модели линейного и нелинейного программирования.

2. Некоторые понятия функций нескольких переменных

Многим экономическим явлениям присуща многофакторная зависимость, поэтому при изучении процессов в экономике вводят функции нескольких переменных.

Переменная y называется функцией нескольких переменных x₁,x₂,…,x_n,  если существует отображение f: Rⁿ→R. Множество всех точек М, участвующих в этом отображении, называется областью определения функции, где М(x₁,x₂,…,x_n).

Наиболее часто встречается функция двух переменных. В экономике для её изучения широко применяются линии уровня.

Линиями уровня функции двух переменных y=f(x₁,x₂) называется проекция пересечения графика функции y=f(x₁,x₂) с горизонтальной плоскостью на плоскость Ох₁х₂, причём линия пересечения находится от плоскости Ох₁х₂ на высоте С. Уравнение линии уровня имеет вид f(x₁,x₂)=С. Число С в этом случае называется уровнем.

Как и в случае одной переменной, функция y=f(x₁,x₂) имеет узловые, определяющие структуру графика, точки. В первую очередь это точки экстремума. Точки экстремума функции двух переменных определяются аналогично точкам экстремума функции одной переменной

Сформулируем необходимое условие экстремума – многомерный аналог теоремы Ферма: Пусть точка () - есть точка экстремума дифференцируемой функции y=f(x₁,x₂). Тогда частные производные (), () в этой точке равны нулю.

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума функции y=f(x₁,x₂), т. е частные производные  равны нулю, называются стационарными.

Равенство  нулю частных производных выражает лишь необходимое условие, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

у

 На рисунке изображена седловая точка М(). Частные производные  (),() равны нулю, но экстремума в точке М() нет. Такие седловые точки являются двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной. Нужно отделить их от точек экстремума. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Пусть функция y=f(x₁,x₂):

a)     определена в некоторой окрестности стационарной точки (), в которой ()=0 и ()=0;

b)    имеет в этой точке непрерывные частные производные второго поряка()=А,()=()=В,()=С.

Тогда, если =АС-В² >0, то в точке () функция имеет экстремум, причём, если А>0 минимум, А<0 – максимум. В случае =АС-В² <0, функция y=f(x₁,x₂) экстремума не имеет. Если =АС-В² =0, то вопрос о наличии экстремума остаётся открытым. Требуются другие методы определения экстремума.                                                                                                                 [11]

В экономических задачах чаще встречаются задачи на условный экстремум. Перейдем к рассмотрению таких задач.

3. Задача математического программирования (ЗМП).

1)    Общая постановка задачи

В теории экстремума на независимые переменные x₁,x_2, …,х_n  не накладываются никакие дополнительные условия, т.е. не требуется, чтобы переменные удовлетворяли некоторым дополнительным ограничениям.

Рассмотрим другую задачу. Найти максимум (минимум) функции y=f(x₁,x_2, …,х_n), при условии, что независимые переменные x₁,x_2, …,х_n удовлетворяют системе ограничений:

g₁(x₁,x_2, …,х_n) ≤b₁,

…………………………

g_m(x₁,x_2, …,х_n) ≤b_m,

g_m+1(x₁,x_2, …,х_n) ≥b_m+1,

…………………………                                             

g_k(x₁,x_2, …,х_n) ≥b_k,                                                                                                                                          (3.1)

g_k+1(x₁,x_2, …,х_n) =b_k+1,

…………………………

       g_p(x₁,x_2, …,х_n) =b_p,

x₁,x_2,…,х_n ≥0.

Функцию y=f(x₁,x_2, …,х_n) принято называть целевой, т.к. её максимизация (минимизация) часто есть выражение какой-то цели, систему ограничений (3.1) – специальными ограничениями ЗМП, неравенства x₁≥0 ,x≥0_2, …, х_n≥0 – общими ограничениями ЗМП. Множество всех допустимых решений ЗМП (х_j≥0, j=) называется допустимым множеством этой задачи.

Точка () называется оптимальным решением для функции двух переменных, если, во-первых, она есть допустимое решение этой ЗМП, а во-вторых, на этой точке целевая функция достигает максимума (минимума) среди всех точек, удовлетворяющих ограничениям (3.1), причём

f ()≥ f(x₁,x₂)(в случае решения задачи на отыскание максимума),

f () ≤ f(x₁,x₂) (в случае решения задачи на отыскание минимума).

Если в ЗМП все функции f(x₁,x_2, …,х_n), g_i(x₁,x_2, …,х_n) линейны, то имеем задачу линейного программирования (ЗЛП), если хотя бы одна из функций нелинейная, имеем задачу нелинейного программирования (ЗЛП). Рассмотрим ЗЛП.

2) ЗЛП и способы её решения.

ЗЛП имеет вид F=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n+c₀→min(max). При этом переменные должны удовлетворять ограничениям:

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+…+а_1nх_n≤b₁

…………………………

а_m1х₁+ а_m2х₂+…+a_mnx_n≤b_m

а_m+11х₁+ а_m+12х₂+…+а_m+1nх_n≥b_m+1

…………………………                                             

а_k1х₁+ а_k2х₂+…+а_knх_n≥b_k                                                                                                                        (3.2)

а_k1+1х₁+ а_k+12х₂+…+а_k+1nх_n=b_k+1

………………………….

а_p1х₁+а_p2х₂+…+а_pnх_n=b_p

x₁,x_2,…,х_n ≥0.

ЗЛП может быть записана в различных формах:

Общий вид: найти минимум (максимум) целевой функции F при ограничениях (3.2) и условии неотрицательности переменных.

Стандартный вид: найти минимум (максимум) целевой функции F и ограничениях, заданных в виде неравенств и добавлены условия о неотрицательности переменных.

Канонический вид: вид, в котором нужно найти минимум (максимум) целевой функции F, где все ограничения заданы в виде равенств и есть условие неотрицательности переменных.

Стандартную задачу можно привести к каноническому виду, путём введения дополнительных неотрицательных переменных. Т.е. свести к системе m линейных уравнений с n переменными.

Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m<n) называются основными (или базисными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные m-n переменных называются неосновными или (свободными).

Базисным решением системы m линейных уравнений с n переменными называют решение, в котором все m-n неосновных переменных равны нулю.

Для обоснования свойств ЗЛП и методов её решения, рассмотрим 2 вида записи канонической задачи.

1 вид – матричная форма записи: С=(c₁,c₂…c_n,c₀).

Х=   А=  В=                                                              (3.3)

F=CX→ min (max)

AX=B, X≥0

2 вид – векторная форма записи:

F=CX→ min (max)

р₁x₁+р₂x₂+…+р_nx_n=р. Х≥0.

р₁= р₂= … р _n=.

Для того чтобы рассмотреть теоретические основы метода линейного программирования, определим понятие выпуклого множества точек, дав ему определение в аналитической форме:

Множество точек является выпуклым, если оно вместе с любыми своими двумя точками содержит их произвольную линейную комбинацию. Точка Х является выпуклой линейной комбинацией точек Х₁, Х₂, … Х_n, если выполняются условия Х= α₁x₁+α₂x₂+…+α_nx_n, α_j≥0, (j=1,…,n), .

Теорема 1. Выпуклый линейный многогранник является выпуклой линейной комбинацией своих угловых точек. (Примем без доказательства).

Теорема 2. Множество всех допустимых решений системы ограничений ЗЛП является выпуклым.

□ Пусть Х₁=( x,x_, …,х) и Х₂=( x,x_, …,х)- два допустимых решения задачи (3.3), заданной в матричной форме. Тогда АХ₁=В и АХ₂=В. рассмотрим выпуклую линейную комбинацию решений Х₁ и Х₂ , т.е. Х=α₁Х₁+α₂Х₂ при α₁ ≥0, α₂ ≥0 и α₁+α₂=1. Покажем, что она также является допустимым решением системы АХ=В. В самом деле, АХ=А(α₁Х₁+α₂Х₂)=α₁АХ₁+(1-α₁)АХ₂= α₁В+(1-α₁)В=В, т.е. решение удовлетворяет системе ограничений. Но т.к. Х₁≥0, Х₂ ≥0, α₁ ≥0, α₂ ≥0 , то и Х ≥0, т.е. решение Х удовлетворяет условию (3.3). ■

Итак, доказано, что множество всех допустимых решений ЗЛП является выпуклым, которое будем называть многогранником решений.

Ответ на вопрос, в какой точке многогранника решений возможно оптимальное решение ЗЛП, даёт следующая теорема.

 Теорема 3. Если ЗЛП имеет оптимальное решение, то линейная функция F принимает максимальное (минимальное) значение в одной из угловых точек многогранника решений. Если линейная функция принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, то она принимает его в произвольной точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

□ Будем полагать, что многогранник решений является ограниченным. Обозначим его угловые точки через Х₁,Х_2, …,Х_n , а  оптимальное решение через Х^*. Тогда F(Х^*) ≥F(X), для всех точек многогранника решений. Если Х^* угловая, то первая часть теоремы доказана. Предположим, что Х^* не является угловой точкой, тогда Х^*, на основании теоремы 1, можно представить как выпуклую линейную комбинацию угловых точек многогранника решений, т.е. Х^*=α₁x₁+α₂x₂+…+α_рx_р, α_j≥0, (j=1,…,n), . Т.к.

F(Х^*)=F(α₁x₁+α₂x₂+…+α_рx_р)=α₁F(x₁)+α₂F(x₂)+…+α_рF(x_р).            (3.4)

В этом выражении среди значений F(X_j)(j=1,2,…,p) выберем максимальное. Обозначим его через М, т.е. М=max F(X_j). Тогда

α₁F(x₁)+ α₂F(x₂) +…+ α_рF(x_р)≤ α₁М+ α₂М +…+ α_рМ = М(α₁+α₂+…+α_р) =М.

Значит F(Х^*)≤М. Пусть М=F(X_k), т.е. соответствует угловой точке X_k (1≤к≤р).

Тогда F(Х^*) ≤ F(X_k). Но по предположению Х^* - оптимальное решение, поэтому F(Х^*)≥F(X_k)=М, следовательно, F(Х^*)=М=F(X_k), где X_k- угловая точка. Итак, существует угловая точка X_k, в которой линейная функция принимает максимальное значение.

Для доказательства второй части теоремы допустим, что F(Х) принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, например в точках Х₁, Х₂, … Х_q , где 1≤ q ≤ р; тогда F(Х₁)=F(Х₂)=…=F(Х_n)=M.

Пусть Х выпуклая линейная комбинация этих угловых точек, т.е. Х= α₁Х₁+α₂Х₂+ …+α_qХ_q , α_j≥0, (j=1,…,q), . В этом случае, учитывая, что функция F(Х) – линейная, получим F(Х)=F(α₁Х₁+α₂Х₂+…+α_qХ_q)=α₁F(Х₁)+ +α₂F(Х₂)+…+α_qF(Х_q)=α₁M+α₂M+…+α_qM=M=M, т.е. линейная функция