Некоторые задачи оптимизации в экономике

Определим ведущий элемент: min. Далее выполняем действия, следуя алгоритму.

min

Ответ: Чтобы получить оптимальный доход, нужно выпускать 83 ед. изделия В, 14 ед. изделия С, а изделие А не выпускать. Оптимальный доход составит 1330 у.е. По решению задачи видим, что у предприятия остаются свободными 85 кг. второго вида ресурсов, 1 и 3 вид полностью расходуются            [5]

3) Двойственная задача.

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряжённой по отношению к исходной. Теория двойственности полезна для проведения качественных исследований ЗЛП. В главе I пункте 2) рассмотрена задача об использовании ресурсов. Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы y_1,y₂,y₃. Очевидно, что

покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы Z в количествах 180, 210, 236 по ценам соответственно y_1,y₂,y₃ были минимальными, т.е. Z= 180y₁+210y₂+236y₃→min. С другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не мене той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции А расходуется 4кг. ресурса 1, 3кг. ресурса 2, 1кг. ресурса 3 по цене соответственно y_1,y₂,y₃. Поэтому, для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы продукции, должны быть не менее её цены 10у.е., т.е. 4 y₁+3 y₂+ y₃≥10.

Аналогично можно составить ограничения в виде неравенств по каждому виду продукции. Экономико-математическая модель исходной задачи и полученной двойственной задачи приведены в таблице.             

 Обе задачи, представленные в таблице обладают следующими свойствами:

1.     В одной задаче ищут максимум линейной функции,  в другой минимум.

2.       Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.

3.     Каждая из задач задана в стандартной форме, причём в задаче максимизации – все неравенства вида «≤», а в задаче минимизации – все неравенства вида «≥».

4.     Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу.

Для задачи I А=, для задачи II А=

5.     Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.

6.     Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

Две задачи I и II  линейного программирования, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимодвойственными задачами.

Исходя из определения, можно предложить следующий алгоритм составления двойственной задачи.

1.                      Приводят все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задач ищут максимум линейной функции, то все неравенства системы ограничений приводят к виду «≤», а если минимум – к виду «≥».

2.                      Составляют расширенную матрицу системы А₁, в которую включают матрицу коэффициентов при переменных, столбец свободных членов системы ограничений и строку коэффициентов при переменных в линейной функции.

3.                      Находят матрицу А, транспонированную к матрице А₁.

4.                      Формулируют двойственную задачу на основании полученной матрицы Аи условия неотрицательности переменных.

Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливается с помощью теорем двойственности. Вначале рассмотрим вспомогательное утверждение.

Основное неравенство теории двойственности. Пусть имеется пара двойственных задач I и II. Покажем, что для любых допустимых решений Х= (x₁,x_2, …,х_n) и У=(y_1,y₂,…,y_m)исходной и двойственной задачи справедливо неравенство F(X) ≤ Z(Y) или ≤                                                       (3.6)

□ Возьмём неравенства системы ограничений исходной задачи ≤b_i и умножим соответственно на переменные y_1,y₂,…,y_m и, сложив правые и левые части полученных неравенств, имеем

≤.                                  (3.7)

Аналогично умножаем систему ограничений двойственной задачи на переменные x₁,x_2, …,х_n , получим       

≥                                      (3.8)

Т.к. левые части неравенств (3.7) и (3.8) представляют одно и тоже выражение  у_j, то в силу транзитивности неравенств получим доказываемое неравенство (3.6).■

Теперь докажем признак оптимальности решений.

Достаточный признак оптимальности.

Если X^*=(x, x,…, x) и У^*=(у, у,…, у) – допустимые решения взаимно двойственных задач, для которых выполняется равенство

F(X^*) =Z(Y^*)                                                (3.9)

то Х^* оптимальное решение исходной задачи I, а У^* - двойственной задачи II.

□ Пусть Х₁ любое допустимое решение исходной задачи I. Тогда на основании основного неравенства (3.6) получим F(X₁) ≤ Z(Y^*). Однако Х₁ - произвольное решение задачи I. Аналогично доказывается, что решение У^* оптимально для задачи II.■

Всегда ли для каждой пары двойственных задач есть одновременно оптимальные решения; возможны ли ситуации, когда одна из двойственных задач имеет решение, а другая нет?

Ответ на эти вопросы даёт следующая теорема.

Первая (основная) теорема двойственности. Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причём оптимальные значения их линейных функций равны:

F_max=Z_min или F(X^*) =Z(Y^*)                                (3.10)

Если линейная функция одной из задач не ограничена, то система ограничений другой задачи противоречива.

Из первой части утверждения теоремы следует, что равенство (3.9) является не только достаточным, но и необходимым признаком оптимальности взаимно двойственных задач.

□ Докажем утверждение второй части методом от противного. Предположим, что в исходной задаче линейная функция не ограничена, т.е. F_max=∞, а условия двойственной задачи не являются противоречивыми, т.е. существует хотя бы одно допустимое решение У=(y_1,y₂,…,y_m). Тогда в силу основного неравенство теории двойственности (3.6) F(X) ≤ Z(Y), что противоречит условию неограниченности F(X). Следовательно, при F_max=∞ в исходной задаче, допустимых решений в двойственной задаче быть не может. ■

 Экономический смысл первой теоремы двойственности состоит в следующем: план производства X^*=(x, x,…, x) и набор цен ресурсов У^*=(у, у,…, у) оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль от продукции, найденная при ценах с₁, с₂,…, с_n,«внешних» (известных заранее), равна затратам на ресурсы по «внутренним»(определяемым только из решения задачи) ценам y_1,y₂,…,y_m . Для всех же других планов Х и У обеих задач в соответствии с основным неравенством (3.6) теории двойственности прибыль (выручка) от продукции всегда меньше (или равна) затрат на ресурсы.

Экономический смысл первой теоремы двойственности можно интерпретировать и так: предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану X^*=(x, x,…, x) и получать максимальную прибыль F_max либо продавать ресурсы по оптимальным ценам У^*=(у, у