Розв’язування економетричних задач
Лабораторна робота № 1
Тема. Застосування електронних таблиць EXCEL та пакетів прикладних програм для розв’язування економетричних задач
Мета роботи: ознайомитися з порядком застосування електоронних таблиць та пакетів прикладних програм у сатистичних та економетричних розрахунках.
Завдання
Ознайомитися з прийомами використання електронних таблиць EXCEL для економетричних розрахунків.
Ознайомитися з функціональними можливостями професійних пакетів прикладних програм статистичної обробки даних STATGRAFICS, SPSS.
Хід роботи
1) Для ознайомлення з можливостями застосування електронних таблиць в економетричних розрахунках скласти в оболонці EXCEL розрахункову табл. 1.1. Занести вихідні дані – ряди даних для змінних X, Y. Розрахувати значення граф 4 – 7, а також значення параметрів A, B за формулами:
,
.
Таблиця 1.1
Макет розрахункової таблиці для виконання завдання 1
№ спотереження |
||||||
1 |
||||||
2 |
||||||
… |
||||||
n |
||||||
Сума |
||||||
Середнє значення |
Для розрахунків використати функції СУММ, СРЗНАЧ, СТЕПЕНЬ, КОРЕНЬ, СУММПРОИЗВ, ЧСТРОК.
2) Ознайомитися з можливостями EXCEL при виконанні операцій з матрицями. Використовуючи функції ТРАНСП, МУМНОЖ, МОБОР, виконати дії з матрицями (завдання 1.2).
Вихідні дані для розрахунків:
матриця D = (12 х 4)
y – вектор розмірністю (12 х 1)
Для виконання завдання необхідно згадати елементи матричного обчислювання.
Елементи лінійної алгебри
1. Матриці
При розв’язуванні економічних задач використовуються таблиці значень, системи регресій, які зручно записувати з використанням матричних позначень.
Основні визначення
Матриці – це прямокутні таблиці елементів, розташованих по рядках та стовпцях:
.
Матриця називається прямокутною матрицею порядку m на n або (m x n) (m – число рядків, n – число стовпців).
Елемент, який знаходиться в i-му рядку та в j-му стовпці, позначається через (перший індекс – номер рядка, другий – стовпця).
Матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною. Порядок квадратної матриці визначається одним числом – кількістю рядків (стовпців).
Матриця, яка складається з одного рядка елементів, називається вектором-рядком.
Матриця, яка складається з одного стовпця елементів, називається вектором-стовпцем.
Квадратна матриця називається діагональною, якщо елементи, які не належать головній діагоналі, дорівнюють нулю.
Діагональна матриця, в якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою .
Одинична матриця має вигляд:
.
Матриця, в якої всі елементи дорівнюють нулю, називається нульовою.
Квадратна матриця порядку n називається симетричною, якщо виконується умова для всіх елементів цієї матриці.
Рівність двох матриць. Матриця дорівнює матриці , якщо вони однакових розмірів, наприклад (m x n), і мають однакові відповідні елементи:
.
Дії над матрицями
Додавання матриць
Додавання матриць вводиться тільки для матриць одного порядку. Сумою двох матриць і порядку (m x n) називається матриця , яка має такий самий порядок (m x n), причому кожен елемент матриці дорівнює сумі відповідних елементів матриць і :
.
Множення числа на матрицю
Добутком числа на матрицю порядку (m x n) називається матриця порядку (m x n), кожний елемент якої дорівнює добутку числа на відповідний елемент матриці :
.
Для додавання і множення матриць на число справедливі такі операції:
а)
- комутативний закон додавання матриць;
б)
- асоціативний закон додавання матриць;
в)
- асоціативний закон множення чисел на матрицю;
г)
- дистрибутивний закон множення числа на суму матриць;
ґ)
- дистрибутивний закон множення суми чисел на матрицю.
Добуток матриць
Добуток двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць. Дві матриці і називаються узгодженими, якщо кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці .
Якщо матриці порядку (m x n) і порядку (n x p) узгоджені, то добутком цих матриць називається матриця порядку (m x p), для якої елемент дорівнює добутку кожного елемента і-го рядка матриці на j-й стовпець матриці .
Взагалі операція множення матриць не комутативна:
.
Квадратну матрицю можна помножити саму на себе, тобто піднести до квадрата.
Для дій над матрицями справедливі такі властивості:
а)
- асоціативний закон множення матриць;
б)
- дистрибутивний закон множення матриці на суму матриць;
в)
- комутативний закон множення квадратної матриці на одиничну матрицю такого ж порядку.
Транспонування матриць
Матриця ’ називається транспонованою відносно матриці , якщо кожен стовпець матриці ’ є відповідним рядком матриці , тобто перший стовпець матриці ’є першим рядком матриці , відповідно другий стовпець матриці ’ є другим рядком матриці і т.д.
Для елементів транспонованих матриць виконується умова
.
Якщо квадратна матриця симетрична, то виконується умова .
Властивості транспонованих матриць:
Інвертування матриць
Розглянемо невироджену матрицю n-го порядку:
.
Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю, тобто , і виродженою, якщо її визначник дорівнює нулю, тобто .
Квадратна матриця називається оберненою до квадратної матриці того ж порядку, якщо їх добуток дорівнює одиничній матриці:
Визначення рангу матриці
Якщо у будь-якій матриці виділити r довільних столбців та r довільних рядків, то з елементів матриці, які містяться на перетині цих рядків і стовпців, можна скласти визначник r-го порядку. Його називають мінором r-го порядку.
Рангом матриці називають число, яке дорівнює найвищому порядку її мінора, відмінного від нуля (rang [A]).
Диференціальне обчислювання в матричній формі
Розглянемо деякі випадкидиференціального обчислювання в матричній формі, які використовуються в економетриці.
1.Похідна від скалярного добутку векторів () по одному з них дорівнює другому:
.
2.Розглянемо добуток , де А – квадратна симетрична матриця порядку n, x – вектор розмірністю n.
або
.
.
Друга частинна похідна по вектору х :
.
Для побудови та аналізу економетричних моделей, а також для прогнозування економічних процесів застосовується ряд професійних пакетів прикладних програм. Такими є пакет STATGRAFICS, SPSS. В рамках лабораторної роботи необхідно поверхньо ознайомитися з призначенням цих пакетів, їх функціональними можливостями та особливостями, а також послідовністю операцій, які виконуються з їх застосуванням.
Завдання для самостійної роботи студентів
Завдання 1.1
Згадати правила виконання операцій з матрицями (додавання, множення, транспонування, інвертування, диференціювання).
Завдання 1.2
Виконати дії над матрицями:
,
,
,
,
(E – одинична матриця).
Вихідні дані для розрахунків:
, abc – три останні цифри шифру студента,
.
Лабораторна робота № 2
Тема. Парна лінійна регресія
Мета роботи: навчитися будувати парну лінійну регресійну модель економічних процесів.
Завдання
1. На основі спостережених даних показника Y і фактора X знайти оцінки:
коефіцієнтів кореляції і детермінації;
параметрів лінії регресії .
2. Побудувати ANOVA-таблицю для парної регресії.
3. Використовуючи критерій Фішера, з надійністю P=0.95 оцінити адекватність прийнятої моделі статистичним даним.
4. Розрахувати інші показники якості моделі.
5. Використовуючи t-статистику, з надійністю Р=0.95 оцінити значущість коефіцієнта кореляції.
6. Використовуючи t-статитстику, з надійністю Р=0.95 оцінити значущість параметрів моделі та визначити інтервали довіри для параметрів.
7. Якщо модель адекватна статистичним даним, то знайти:
з надійністю Р=0.95 надійні зони базисних даних;
точковий прогноз показника;
інтервальні прогнози показника та його математичного сподівання.
8. На основі одержаної економетричної моделі зробити висновки.
Хід роботи
1) Коєфіцієнт кореляції є мірою щільності зв’язку між змінними.
Коєфіцієнт кореляції між двома рядами спостережуваних змінних X та Y розраховується за формулою:
Коефіцієнт детермінації дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції.
Вводиться гіпотеза, що між фактором Х та показником Y існує лінійна стохастична залежність
.
Оцінки параметрів та парної регресіїобчислюються методом 1МНК за формулами:
,
(або
)
,
де n – кількість спостережень.
Для роботи використовується пакет EXCEL. Складається розрахункова таблиця за макетом (табл.2.1) і розраховуються оцінки параметрів:
Таблиця 2.1
Розрахункова таблиця для оцінки параметрів парної лінійної моделі (за формулами (2.1), (2.3))
№ спостереження |
|
Y |
XY |
X2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
||||
2 |
||||
… |
||||
n |
||||
|
x |
х |
||
Середнє значення |
х |
х |
||
Прогнозне значення |
Результат розрахунків – вектор параметрів .
2. Для проведення дисперсійного аналізу складається ANOVA-таблиця (табл. 2.2):
Таблиця 2.2
ANOVA-таблиця
|
Кількість ступенів вільності |
Сума квадратів |
Середні квадрати |
Зумовлене регресією (модель) |
К-1 |
||
Не пояснюване за допомогою регресії (помилка) |
n-K |
||
Загальне |
n-1 |
- |
У разі парної регресії К=2 – кількість оцінюваних параметрів.
Для розрахунку ANOVA-таблиці розрахункова табл. 2.1 додається такими графами :
Продовження табл. 2.1
№ спостереження |
()2 |
()2 |
()2 |
||
1 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
|||||
2 |
|||||
… |
|||||
n |
|||||
|
0 |
||||
Середнє значення |
х |
Х |
0 |
х |
х |
Прогнозне значення |
3. Перевірка моделі на адекватність за допомогою критерія Фішера здійснюється за 6-ти-кроковою схемою.
КРОК 1. Формулюються нульова та альтернативна гіпотези:
- незалежна змінна Х не впливає на значення залежної Y.
- значення Х впливає на значення Y.
КРОК 2. Задається рівень значущості : .
КРОК 3. Обчислюється F-відношення:
.
КРОК 4. Знаходиться критичне значення F-розподілу Фішера при заданому рівні значущості та з (К-1), (n-K) ступенями вільності (функція FРАСПОБР в EXCEL) - .
КРОК 5. Порівнюється розрахункове та критичне значення функції F-розподілу.
КРОК 6. Робиться висновок. Якщо , тоді гіпотеза відхиляється, якщо , то приймається.
4. Розраховуються інші показники адекватності моделі:
Середня помилка прогнозу ME:
;
Дисперсія помилок VAR:
та стандартне відхилення:
;
Середній квадрат помилки MSE (з ANOVA-таблиці):
або сума квадратів помилок SSE:
.
Абсолютна середня процентна помилка MAPE:
()
Якщо MAPE<10% - існує висока точність прогнозу;
10%< MAPE<20% - добра точність;
20%< MAPE<50% - задовільна точність;
MAPE>50% - незадовільна точність.
Середня процентна помилка MPE:
(MPE<|5%|)
Середня абсолютна помилка MAE:
.
5. Оцінка значущості коефіцієнта кореляції здійснюється за допомогою t-теста (6 кроків).
КРОК 1. Формулюються нульова та альтернативна гіпотези:
- в генеральній сукупності немає зв’язку між X та Y
- коефіцієнт кореляції статистично значущий
КРОК 2. Обирається рівень значущості: .
КРОК 3. Знаходиться розрахункове значення t-статистики:
,
де R – вибірковий коефіцієнт кореляції.
КРОК 4. За таблицями t-розподілу Ст’юдента знаходиться критичне значення функції розподілу (функція СТЬЮРАСПОБР в EXCEL).
КРОК 5. Розрахункове значення t-статистики порівнюється з табличним. Знаходиться критична зона (рис. 2.1).
КРОК 6. Якщо розрахункове значення t-статистики потрапляє в критичну зону, то відхиляється, у ішшому випадку -