Финансовая математика

Размещено на /

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ


Контрольная работа

Решение задач по финансовой математике


Архангельск, 2010

Задание 1


Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (табл. 1)


Таблица 1. Исходные данные

t

Y(t)

1 39
2 50
3 59
4 38
5 42
6 54
7 66
8 40
9 45
10 58
11 69
12 42
13 50
14 62
15 74
16 46

ТРЕБУЕТСЯ

Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ;  = 0,6;  = 0,3.

Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

Случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

Независимости уровней ряда остатков по d- критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;

Нормальности распределения остаточной компоненты по R / S критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на один год.

Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.


РЕШЕНИЕ


Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ; 2 = 0,6; 3 = 0,3.

Общий вид модели:


Финансовая математика


Финансовая математика– расчетное значение уровня для момента времени t с периодом упреждения k; Финансовая математика

k – период упреждения;

L – период сезонности;

(t – L) - индекс сезонного коэффициента за аналогичный период прошлого года;

Ft – мультипликативный индекс сезонности;

a0(t); a1(t) – параметры модели;

1. Найдем начальные оценки параметров и индекса сезонности при n = 8.

Финансовая математика - линейная трендовая модель

Параметра а0 и а1 найдем используя МНК и систему нормальных уравнений:


Финансовая математика


Расчет необходимых сумм представлен в таблице 2


Таблица 2. Таблица для расчета параметров модели и расчетных значений

t у(t)

Финансовая математика

t2

Финансовая математика

1 39 39 1 45,333
2 50 100 4 46,238
3 59 177 9 47,143
4 38 152 16 48,048
5 42 210 25 48,952
6 54 324 36 49,857
7 66 462 49 50,762
8 40 320 64 51,667
36 388 1784 204

Финансовая математика Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика


Линейная трендовая модель при n = 8: Финансовая математика

Для нахождения начальных оценок индекса сезонности нужно фактические значения признака разделить на расчетные и полученные значения усреднить по одноименным кварталам.

Расчетные значения признака получаем путем последовательной подстановки значений t в трендовую модель Финансовая математика (последняя графа таблицы 2).


Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математикаФинансовая математика


2. Произведем корректировку параметров

Корректировка параметров осуществляется по формулам:


Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика


Финансовая математика, Финансовая математика, Финансовая математика - параметры адаптации экспоненциального сглаживания.

Рассматриваем I цикл


Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Рассматриваем II цикл

Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Рассматриваем III цикл

Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Рассматриваем VI цикл

Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса:


Финансовая математика

Ft : F(4;1) = 0,876

F(4;2) = 1,083

F(4;3) = 1,273

F(4;4) = 0,774


Таблица 3. Расчетная таблица для оценки качества модели

t y(t)

Финансовая математика

E(t)

Финансовая математика

m E(t)2

Финансовая математика

1 39 38,947 0,053 0,001 - 0,003
2 50 50,066 -0,066 0,001 0 0,004 0,014
3 59 60,154 -1,154 0,020 1 1,333 1,185
4 38 37,327 0,673 0,018 1 0,452 3,338
5 42 42,000 0,000 0,000 1 0,000 0,453
6 54 53,821 0,179 0,003 0 0,032 0,032
7 66 64,192 1,808 0,027 0 3,267 2,653
8 40 41,154 -1,154 0,029 1 1,331 8,770
9 45 45,277 -0,277 0,006 0 0,077 0,769
10 58 57,902 0,098 0,002 1 0,010 0,141
11 69 69,621 -0,621 0,009 0 0,385 0,517
12 42 42,910 -0,910 0,022 1 0,828 0,084
13 50 47,562 2,438 0,049 1 5,946 11,212
14 62 62,133 -0,133 0,002 0 0,018 6,613
15 74 74,331 -0,331 0,004 1 0,110 0,039
16 46 45,677 0,323 0,007 - 0,104 0,428



0,925

0,200

8

13,900

36,248


Оценим точность построенной модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации

Финансовая математика


Расчет Финансовая математика представлен в графе 5 таблицы 3


Финансовая математика

Поскольку S < 7 %, то модель считается точной.

Оценим адекватность построенной модели

1. Исследуем случайность остаточной компоненты

Применяем критерий поворотных точек (критерий пиков). Точка считается поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или меньше). Распределение ряда остатков считается случайным если выполняется неравенство:


Финансовая математика


m – количество поворотных точек.

Квадратные скобки означают, что берется целая часть числа.


Финансовая математика


По графику остатков (рис. 1) видно, что т = 8

8 > 6, следовательно, критерий поворотных точек выполняется и остатки имеют случайный характер распределения.


Финансовая математика

Рис. 1

2. Исследуем независимость ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона


С помощью критерия Дарбина – Уотсона определяют независимость уровней ряда остатков, отсутствие автокорреляции в ряду остатков.

Находим расчетное значение статистики Дарбина-Уотсона dwрасч по формуле:


Финансовая математика


Значение критерия Дарбина-Уотсона распределено в интервале от 0 до 4. Расчетное значение сравнивается с табличными d1 = 1,10, d2 = 1,37.

Суммы для расчета критерия Дарбина – Уотсона приведены в итоговых строках 7 и 8 таблицы 3.


Финансовая математика


2 < dрасч = 2,608 < 4 – находим d’ = 4 – dрасч = 4-2,608 = 1,392

d2 =1,37 < dрасч 1,392 < 2 – свойство независимости выполняется, автокорреляция в ряду остатков отсутствует.

Исследуем нормальность распределения остаточной компоненты по R / S критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

Расчетное значение критерия находится по формуле:


Финансовая математика


Emax и Emin – наибольшее и наименьшее значение остатков.

Финансовая математика

Финансовая математика


Расчетное значение R/S критерия попадает внутрь критических значений (3 < 3,740 < 4,21), следовательно, свойство выполняется, распределение остатков соответствует нормальному закону распределения.


Вывод: Рядом остатков выполняются все свойства, что говорит об ее адекватности. Низкое значение средней относительной ошибки аппроксимации свидетельствует о высокой точности построенной модели. Следовательно, модель является качественной и ее можно использовать для прогнозирования.

Построим точечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на один год

Адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса:


Финансовая математика

Ft : F(4;1) = 0,876

F(4;2) = 1,083

F(4;3) = 1,273

F(4;4) = 0,774

t = 17; k = 1

Финансовая математика

t = 18; k = 2

Финансовая математика

t = 19; k = 3

Финансовая математика

t = 20; k = 4

Финансовая математика


В 1-ый квартал предполагается, что сумма кредитов на жилищное строительство составят 52,788, во 2-й квартал – 66,373, в 3-й квартал – 79,308, в 4-й квартал – 49,013.

На рис. 2 представлены фактические, расчетные и прогнозные значения кредитов от коммерческого банка на жилищное строительство.


Финансовая математика

Рис. 2

Задание 2


Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней (табл. 4). Интервал сглаживания принять равным 5 дням. Рассчитать:

Экспоненциальную скользящую среднюю;

Момент;

Скорость изменения цен;

Индекс относительной силы;

%R, %K, %D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.


Таблица 4. Исходные данные

Дни Цены

Макс. Мин. Закр.
1 595 580 585
2 579 568 570
3 583 571 578
4 587 577 585
5 586 578 582
6 594 585 587
7 585 563 565
8 579 541 579
9 599 565 599
10 625 591 618

РЕШЕНИЕ


Определим экспоненциальную скользящую среднюю

При расчете EMA учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания. Однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. ЕМА рассчитывается по формуле:

Финансовая математика,


где Pt – цена закрытия дня t; k – параметр сглаживания;


Финансовая математика,


где n – порядок скользящей средней


Финансовая математика


При определении EMAt-1 берется простая скользящая средняя из порядка скользящей средней.


Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика


Графическое изображение фактических цен и экспоненциальной скользящей средней представлено на рис. 3.

Финансовая математика

Рис. 3


До 6 дня линия скользящей средней ЕМА находилась ниже ценового графика, т.е. ценовой тренд был восходящим. На 7-й день линия EMA пересекла график цен, линия ЕМА находилась выше графика цен, т.е. тренд изменил свое направление, стал нисходящим и поступил сигнал к покупке финансового актива. На 8-й день линия EMA опять пересекла график цен, тренд изменил свое направление, стал восходящим и поступил сигнал к продаже финансового актива.

2. Определим момент Mt

Момент рассчитывается по формуле:


Мt = Pt – Pn ,


где Pt – цена закрытия текущего дня; Pn – цена закрытия n дней назад, включая текущий


Критическим уровнем для Мt является 0. Если Мt > 0, то это свидетельствуют об относительном росте цен, если Мt < 0 – о снижении. Движение графика момента вверх из зоны отрицательных в зону положительных значений в точке пересечения нулевой линии дает сигнал к покупке (в случае нисходящего тренда ситуация развивается в обратном направлении).

n = 5


М5 = Р5 - Р1 = 582 -585 = -3
М6 = Р6 - Р2 = 587 -570 = 17
М7 = Р7 - Р3 = 565 -578 = -13
М8 = Р8 - Р4 = 579 -585 = -6
М9 = Р9 - Р5 = 599 -582 = 17
М10 = Р10 - Р6 = 618 -587 = 31

Графически момент представлен на рисунке 4.


Финансовая математика

Рис. 4


На 6 день линия момента пересекла критический нулевой уровень, значения момента положительные, ценовой тренд стал восходящим, наблюдается относительное повышение цен, поступил сигнал к покупке финансового инструмента. На 7 день линия момента пересекла критический нулевой уровень, значения момента стали отрицательные, ценовой тренд поменял свое направление и стал нисходящим, наблюдается относительное снижение цен, поступил сигнал к продаже финансового актива. На 9 день линия момента опять пересекла критический уровень, тренд стал восходящим.

3. Рассчитаем скорость изменения цен ROCt

Скорость изменения цен ROCt рассчитывается по формуле:


Финансовая математика,


где Pt – цена закрытия текущего дня; Pn – цена закрытия n дней назад, включая текущий


Критическим уровнем для ROCt является 100%. Если ROC > 100%, то это свидетельствует об относительном росте цен, ROC < 100% – о снижении. При пересечении критической линии происходит разворот тренда.

n = 5


ROC1 = Р5 - Р1 = 582 / 585 * 100% = 99,49%
ROC2 = Р6 - Р2 = 587 / 570 * 100% = 102,98%
ROC3 = Р7 - Р3 = 565 / 578 * 100% = 97,75%
ROC4 = Р8 - Р4 = 579 / 585 * 100% = 98,97%
ROC5 = Р9 - Р5 = 599 / 582 * 100% = 102,92%
ROC6 = Р10 - Р6 = 618 / 587 * 100% = 105,28%

Графически график Мt и ROCt изменения цен одинаков. График ROCt представлен на рисунке 5.

Финансовая математика

Рис. 5


На 6 день линия ROC пересекла критический уровень 100%, ценовой тренд восходящий, наблюдается относительное повышение цен, поступил сигнал к покупке финансового инструмента. На 7 день линия ROC пересекла критический уровень, значения ROC стали менее 100%, ценовой тренд поменял свое направление и стал нисходящим, наблюдается относительное снижение цен, поступил сигнал к продаже финансового актива. На 9 день линия ROC опять пересекла критический уровень, тренд стал восходящим.

4. Рассчитаем индекс относительной силы

Индекс относительной силы RSI считается наиболее значимым осциллятором. Расчет его предусмотрен во всех компьютерных программах технического анализа. Для расчета используют формулу:


Финансовая математика Финансовая математика,


где AU – сумма приростов конечных цен за n дней; АD - сумма убылей конечных цен за n дней.

Расчет приростов и убылей представлен в таблице 5.


Таблица 5. Таблица для расчета приростов и убылей

t Pt повышение цен понижение цен




1 585 - -
2 570
15
3 578 8
4 585 7
5 582
3
6 587 5
7 565
22
8 579 14
9 599 20
10 618 19

n = 5

Финансовая математика Финансовая математика

Финансовая математика Финансовая математика

Финансовая математика Финансовая математика


Критические линии возьмем равные 20 и 80%.

За все время значение RSI не выходит за пределы критических значений (20 и 80%), то есть рынок относительно спокоен, нет больших скачков, нет риска. Если значение станет ниже 20%, то это означает что цены на рынке попали в зону перепроданности. Рынок считается перепроданным тогда, когда цена находится около нижней своей границы, их дальнейшее понижение практически невозможно. Если значение станет выше 80%, то это означает что цены на рынке попали в зону перекупленности. Рынок считается перекупленным тогда, когда цена находится около верхней своей границы, их дальнейшее повышение практически невозможно. Момент выхода цены из зоны перекупленности служит сигналом к продаже по самым высоким ценам.

5. Рассчитаем % R, % K, % D

% R, % K, % D – стохастические линии

В отличии от M, ROC и RSI стохастические линии строятся с использованием более полной информации при их расчете используют минимальные и максимальные цены.


Финансовая математика,


где Рt – цена закрытия текущего дня t; Ln – минимальная цена за n дней, включая текущий; Hn - максимальная цена за n дней, включая текущий


n = 5

Финансовая математика

Финансовая математикаФинансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математикаФинансовая математика


%R рассчитывается по похожей формуле:

Финансовая математика

Финансовая математика Финансовая математика

Финансовая математика Финансовая математика

Финансовая математика Финансовая математика


Смысл индексов % K и % R состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной цене, а при падении ближе к минимальной. Они показывают, куда больше тяготеет цена закрытия. При расчете %К разность между ценой закрытия текущего дня Pt и минимальной ценой за 5 дней сравнивают с размахом цен за эти же 5 дней. В случае расчета %R с размахом сравнивают разность между максимальной ценой за 5 дней и ценой закрытия.

% D рассчитывается аналогично % К, с той лишь разницей, что при его построении оперируют с трехдневной суммой.


Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Финансовая математика

Задание 3


Задача 3.1


Банк выдал ссуду, размером 4 млн. руб. Дата выдачи ссуды 10 января 2002, возврата 20 марта 2002. День выдачи и день возврата считать за один день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 45% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

Дано: Р = 4000000 руб.; i = 0,45; tн – 10.01.02.; tк – 20.03.02.

Найти: I - ?

Решение:

Формула процентов за весь срок ссуды имеет вид:


Финансовая математика,


где Р – первоначальная сумма долга;

t – срок ссуды в днях;

K – временная база (число дней в году);

i – ставка простых процентов 3.1.1)

Точные проценты с точным числом дней ссуды. Продолжительность года K (временная база) равна 365 (366) дням. Точное число дней ссуды t определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения.

10.01.02. – 20.03.02.

10.01. – 31.01. 22 дня

1.02. – 28.02. 28дней

1.03. – 20.03. 20 дней

ВСЕГО 22 + 28 + 20 = 70 дня

Поскольку дата выдачи ссуды и дата погашения считается за 1 день, то t = 69 дней. К = 365 дней (2002 год – не високосный)


Финансовая математика


Ответ: точные проценты с точным числом дней ссуды составили 340273,97 руб.

3.1.2.) Обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды; величина t рассчитывается как в предыдущем случае, а временная база принимается равной K=360 дням.


Финансовая математика


Ответ: обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды составили 345 тыс. руб.

3.1.3.) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. В этом случае год делится на 12 месяцев, по 30 дней в каждом и временная база K = 360 дням.

10.01.02. – 20.03.02.

10.01. – 30.01. 21день

1.02. – 30.02. 30дней

1.03. – 20.03. 20дней

ВСЕГО: 21 + 30 + 20 = 71 день

Поскольку дата выдачи ссуды и дата погашения считается за 1 день, то t = 70 дней.

Финансовая математика


Ответ: обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды составили 350 тыс. руб.


Задача 3.2


Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 4 млн. рублей. Кредит выдан под 45% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Дано: S = 4 млн. руб.; i = 0,45; К = 360 дней; t = 90 дней

Найти: Р - ? D - ?

Решение:

Процесс расчета первоначальной суммы долга, когда известна наращенная сумма долга называется дисконтированием.

Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи обратной наращению

Формула математического дисконтирования:


Финансовая математика,


где Р – первоначальная сумма долга;

S – наращенная сумма долга;

t – срок ссуды в днях;

К – временная база;

i

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: