Уравнения линейной регрессии

Размещено на /

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Туле


Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»


Тула - 2010 г.

Содержание


Задача 1

Задача 2 (а, б)

Задача 2 в


Задача 1


По предприятиям легкой промышленности получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) табл. 1.


Табл. 1.1.

Х 33 17 23 17 36 25 39 20 13 12
Y 43 27 32 29 45 35 47 32 22 24

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков Уравнения линейной регрессии; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической;

степенной;

показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.


Решение

1. Линейная модель имеет вид:


Уравнения линейной регрессии


Параметры уравнения линейной регрессии найдем по формулам


Уравнения линейной регрессии


Расчет значения параметров представлен в табл. 2.


Табл. 1.2.

t y x yx

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

1 43 33 1419 1089 42,236 0,764 0,584 90,25 88,36 0,018
2 27 17 459 289 27,692 -0,692 0,479 42,25 43,56 0,026
3 32 23 736 529 33,146 -1,146 1,313 0,25 2,56 0,036
4 29 17 493 289 27,692 1,308 1,711 42,25 21,16 0,045
5 45 36 1620 1296 44,963 0,037 0,001 156,25 129,96 0,001
6 35 25 875 625 34,964 0,036 0,001 2,25 1,96 0,001
7 47 39 1833 1521 47,69 -0,69 0,476 240,25 179,56 0,015
8 32 20 640 400 30,419 1,581 2,500 12,25 2,56 0,049
9 22 13 286 169 24,056 -2,056 4,227 110,25 134,56 0,093
10 24 12 288 144 23,147 0,853 0,728 132,25 92,16 0,036
336 235 8649 6351

12,020 828,5 696,4 0,32
Средн. 33,6 23,5 864,9 635,1





Определим параметры линейной модели Уравнения линейной регрессии


Уравнения линейной регрессии


Линейная модель имеет вид


Уравнения линейной регрессии


Коэффициент регрессии Уравнения линейной регрессиипоказывает, что выпуск продукции Y возрастает в среднем на 0,909 млн. руб. при увеличении объема капиталовложений Х на 1 млн. руб.

2. Вычислим остатки Уравнения линейной регрессии, остаточную сумму квадратов Уравнения линейной регрессии, найдем остаточную дисперсию Уравнения линейной регрессиипо формуле:


Уравнения линейной регрессии


Расчеты представлены в табл. 2.


Уравнения линейной регрессии


Уравнения линейной регрессии

Рис. 1. График остатков ε.


3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе критерия Дарбина-Уотсона.


Табл. 1.3.

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии


0,584
2,120 0,479
0,206 1,313
6,022 1,711
1,615 0,001
0,000 0,001
0,527 0,476
5,157 2,500
13,228 4,227
2,462 0,728
31,337 12,020

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

d1=0,88; d2=1,32 для α=0,05, n=10, k=1.

Уравнения линейной регрессии,


значит, ряд остатков не коррелирован.

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения на основе t-критерия Стьюдента. (α=0,05).


Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии для ν=8; α=0,05.


Расчет значения Уравнения линейной регрессиипроизведен в табл. 2. Получим:


Уравнения линейной регрессии


Так как Уравнения линейной регрессии, то можно сделать вывод, что коэффициенты регрессии a и b с вероятностью 0,95 значимы.

5. Найдем коэффициент корреляции по формуле


Уравнения линейной регрессии


Расчеты произведем в табл. 2.


Уравнения линейной регрессии


Значит,Уравнения линейной регрессии. Т.о. связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к. Уравнения линейной регрессии.

Коэффициент детерминации найдем по формуле Уравнения линейной регрессии. Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,4% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера


Уравнения линейной регрессии

Fтаб=5,32, т.к. k1=1, k2=8, α=0,05

Уравнения линейной регрессии


т.к. F значительно больше Fтабл, то можно сделать вывод, что уравнение регрессии с вероятностью 95% статистически значимо.

Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.


Уравнения линейной регрессии


Расчеты произведены в табл. 2.


Уравнения линейной регрессии,


значит, линейную модель можно считать точной, т.к. Е<5%/

6. С помощью линейной модели осуществим прогноз Y при α=0,1 и х=0,8хmax


Уравнения линейной регрессии


Определим границы прогноза. t0,1;8=1,86


Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии


Найдем границы интервала: Уравнения линейной регрессии

7. Представим графически фактические и модельные значения Y, точки прогноза.


Уравнения линейной регрессии

Рис. 2. Фактические данные, линейная модель и результаты прогнозирования.


8. а) Составим уравнение гиперболической модели. Гиперболическая модель имеет вид


Уравнения линейной регрессии;


Проведем линеаризацию переменной путем замены Уравнения линейной регрессии.


Уравнения линейной регрессии


Расчеты произведем в табл. 3.


Уравнения линейной регрессии


Модель имеет вид:


Уравнения линейной регрессии


Табл.1.4.

t y x Х уХ

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

1 43 33 0,030 1,290 0,001 36,870 6,130 37,577 0,143
2 27 17 0,059 1,593 0,003 32,135 -5,135 26,368 0,190
3 32 23 0,043 1,376 0,002 34,683 -2,683 7,198 0,084
4 29 17 0,059 1,711 0,003 32,135 -3,135 9,828 0,108
5 45 36 0,028 1,260 0,001 37,289 7,711 59,460 0,171
6 35 25 0,040 1,400 0,002 35,260 -0,260 0,068 0,007
7 47 39 0,026 1,222 0,001 37,644 9,356 87,535 0,199
8 32 20 0,050 1,600 0,003 33,600 -1,600 2,560 0,050
9 22 13 0,077 1,694 0,006 29,131 -7,131 50,851 0,324
10 24 12 0,083 1,992 0,007 28,067 -4,067 16,540 0,169
336 235 0,495 15,138 0,029

297,985 1,445
Средн 33,6 23,5 0,050 1,514 0,003




Найдем индекс корреляции по формуле


Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии,


значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к. Уравнения линейной регрессии.

Индекс детерминации найдем по формуле Уравнения линейной регрессии. Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 57,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.


Уравнения линейной регрессии

F>Fтабл (10,692>5,32),


значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.


Уравнения линейной регрессии,


значит, расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 14,45%.

8. б) Построим степенную модель, которая имеет вид


Уравнения линейной регрессии


Проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.


Уравнения линейной регрессии


Расчет неизвестных параметров произведем в табл. 5.


Табл. 1.5.

t y x Y Х

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

1 43 33 1,633 1,519 2,481 2,307 42,166 0,834 0,696 0,019
2 27 17 1,431 1,23 1,760 1,513 27,930 -0,930 0,865 0,034
3 32 23 1,505 1,362 2,050 1,855 33,697 -1,697 2,880 0,053
4 29 17 1,462 1,23 1,798 1,513 27,930 1,070 1,145 0,037
5 45 36 1,653 1,556 2,572 2,421 44,507 0,493 0,243 0,011
6 35 25 1,544 1,398 2,159 1,954 35,488 -0,488 0,238 0,014
7 47 39 1,672 1,591 2,660 2,531 46,775 0,225 0,051 0,005
8 32 20 1,505 1,301 1,958 1,693 30,896 1,104 1,219 0,035
9 22 13 1,342 1,114 1,495 1,241 23,644 -1,644 2,703 0,075
10 24 12 1,380 1,079 1,489 1,164 22,498 1,502 2,256 0,063
336 235 15,127 13,380 20,422 18,192

12,296 0,346
Cредн 33,6 23,5 1,513 1,338 2,042 1,819




Уравнения линейной регрессии


Получим Уравнения линейной регрессии

Перейдем к исходным переменным путем потенцирования данного уравнения.


Уравнения линейной регрессии


Найдем индекс корреляции.


Уравнения линейной регрессии,


значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т.к. Уравнения линейной регрессии.

Индекс детерминации найдем по формуле Уравнения линейной регрессии. Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.


Уравнения линейной регрессии


F>Fтабл (436,448>5,32), значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.


Уравнения линейной регрессии,


значит, расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 3,46%. Модель точная.

8. в) Составим показательную модель, уравнение которой имеет вид:


Уравнения линейной регрессии


Проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.


Уравнения линейной регрессии


Табл. 1.6.

t y x Y Yx

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

1 43 33 1,633 53,889 1089 42,343 0,657 0,432 0,015
2 27 17 1,431 24,327 289 27,220 -0,220 0,048 0,008
3 32 23 1,505 34,615 529 32,126 -0,126 0,016 0,004
4 29 17 1,462 24,854 289 27,220 1,780 3,168 0,061
5 45 36 1,653 59,508 1296 46,001 -1,001 1,002 0,022
6 35 25 1,544 38,600 625 33,950 1,050 1,102 0,030
7 47 39 1,672 65,208 1521 49,974 -2,974 8,845 0,063
8 32 20 1,505 30,100 400 29,571 2,429 5,900 0,076
9 22 13 1,342 17,446 169 24,374 -2,374 5,636 0,108
10 24 12 1,380 16,560 144 23,710 0,290 0,084 0,012
336 235 15,127 365,107 6351

26,233 0,399
Средн 33,6 23,5 1,513 36,511 635,1




Уравнения линейной регрессии


Перейдем к исходным переменным, выполнив потенцирование уравнения.


Уравнения линейной регрессии


Найдем индекс корреляции.


Уравнения линейной регрессии,


значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т.к. Уравнения линейной регрессии.

Индекс детерминации найдем по формуле Уравнения линейной регрессии. Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 96,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.


Уравнения линейной регрессии

F>Fтабл (202,528>5,32),


значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.


Уравнения линейной регрессии,


значит, расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 3,99%. Модель точная.

9. Сравним полученные модели.


Табл. 1.7.

Модель регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

F-критерий

Уравнения линейной регрессии

Линейная 0,992 0,984 492 3,2
Гиперболическая 0,756 0,572 10,692 14,45
Степенная 0,991 0,982 436,448 3,46
Показательная 0,981 0,962 202,528 3,99

Наилучшей моделью является линейная модель Уравнения линейной регрессии (по максимуму критерия корреляции, детерминации, F-критерия и минимальной средней ошибке аппроксимации).


Уравнения линейной регрессии

Рис. 3. Построенные уравнения регрессии.


Задача 2 (а, б)


Для каждого варианта даны по две СФМ, которые записаны в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.


Табл. 2.1.

Номер варианта Номер уравнения Задача 2а Задача 2б


переменные переменные


y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4
6 1 -1 b12 b13 a11 a12 0 0 -1 0 b13 a11 a12 0 a14

2 b21 -1 b23 a21 0 0 a24 b21 -1 0 a21 0 a23 a24

3 0 b32 -1 a31 a32 a33 0 b31 0 -1 a31 a32 0 a34

Решение

a) CФМ имеет вид:


Уравнения линейной регрессии


Проверим систему на идентифицируемость. Для этого проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В 1-м уравнении 3 эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х3, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации


Уравнения линейной регрессии


Для проверки на достаточное условие идентификации составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.


уравнение Отсутствующие переменные

х3 х4
2 0 а24
3 а33 0

Составим матрицу из коэффициентов


Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии


Определитель матрицы не равен 0, ранг равен 2. достаточное условие идентификации выполняется и 1-е уравнение точно идентифицируемо.

2) Во 2-м уравнении 3 эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3); отсутствуют экзогенные х2, х3 (D=2).

2+1=3 — необходимое условие идентификации выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.


уравнение Отсутствующие переменные

х2 х3
1 а12 0
3 а32 а33

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии


Определитель не равен 0, ранг матрицы равен 2, достаточное условие идентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.

3) В 3-м уравнении 2 эндогенные переменные y2, y3 (Н=2); отсутствует 1 экзогенная х4 (D=1).

1+1=2 — необходимое условие идентификации выполняется.

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.


уравнение Отсутствующие переменные

у1 х4
1 -1 0
3 b21 а24

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии


Определитель не равен 0, ранг матрицы равен 2-м, достаточное условие идентификации выполняется. 3-е уравнение точно идентифицируемо.

Т.о, если все 3 уравнения идентифицируемы, то и СФМ идентифицируема.

б) СФМ имеет вид:


Уравнения линейной регрессии


Проверим систему на идентифицируемость, для этого проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В 1-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3 (D=1).


Уравнения линейной регрессии


Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.


уравнение Отсутствующие переменные

у2 х3
2 -1 а23
3 0 0

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии


Достаточное условие не выполнено, уравнение не идентифицируемо.

2) Во 2-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y2 (Н=2). Отсутствующая экзогенная переменная х2 (D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется.

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.


уравнение Отсутствующие переменные

у3 х2
1 b13 а12
3 -1 a32

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии


Необходимое условие идентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.

3) В 3-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3 (D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется. Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.


уравнение Отсутствующие переменные

у2 х3
1 0 0
2 -1 a23

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии


Достаточное условие не выполняется. 3-е уравнение не идентифицируемо.

Т.к. 1-е и 3-е уравнения не идентифицируемы, то и вся СФМ не является идентифицируемой.

Ответ: а) СФМ идентифицируема; б) СФМ не является идентифицируемой.


Задача 2 в


По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:


Уравнения линейной регрессии

Табл. 2.2.

Вариант n y1 y2 x1 x2
6 1 77,5 70,7 1 12

2 100,6 94,9 2 16

3 143,5 151,8 7 20

4 97,1 120,9 8 10

5 63,6 83,4 6 5

6 75,3 84,5 4 9

Решение

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.


Уравнения линейной регрессии


Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения используем систему нормальных уравнений.


Уравнения линейной регрессии


Расчеты произведем в табл. 2.3.


Табл. 2.3.

n y1 y2 x1 x2

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

Уравнения линейной регрессии

1 77,5 70,7 1 12 77,5 1 12 930 144 70,7 848,4
2 100,6 94,9 2 16 201,2 4 32 1609,6 256 189,8 1518,4
3 143,5 151,8 7 20 1004,5 49 140 2870 400 1062,6 3036
4 97,1 120,9 8 10 776,8 64 80 971 100 967,2 1209
5 63,6 83,4 6 5 381,6 36 30 318 25 500,4 417
6 75,3 84,5 4 9 301,2 16 36 677,7 81 338 760,5
557,6 606,2 28 72 2742,8 170 330 7376,3 1006 3128,7 7789,3
средн. 92,933 101,033 4,667 12






Подставив полученные значения в систему нормальных уравнений.


Уравнения линейной регрессии


Решение этих уравнений дает значения d11=5,233; d12=5,616.

1-e уравнение ПФМ имеет вид:


Уравнения линейной регрессии


Для нахождения коэффициентов d2k второго приведенного уравнения используем следующую систему нормальных уравнений


Уравнения линейной регрессии


Расчеты произведем в табл. 2.3.

Подставив полученные значения в систему нормальных уравнений, получим


Уравнения линейной регрессии


Решение этой системы дает значения d21=9,288; d22=4,696.

2-е уравнение ПФМ имеет вид


Уравнения линейной регрессии


Для

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: