Лінійна модель виробництва
1. Лінійні моделі виробництва та лінійне програмування
Будь-яке національне господарство розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозв'язків, які зрозуміти шляхом простого математичного апарату неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але непрямо і на металургію – виробника базової сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, пов'язані з виробництвом шин, і інших комплектуючих частин, а також на галузі, які виготовляють радіоелектронне устаткування та ін. Прості розрахунки показують, що «лобовий» підхід та арифметика не допоможуть при спробі кількісного аналізу прямого й непрямого ефекту поширення таких впливів.
Метод міжгалузевого аналізу, розроблений американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим, дозволяє дати послідовні та чисельно впевнені відповіді на запитання, пов'язані з міжгалузевими взаємодіями й їх впливами на основні макроекономічні показники.
Розглянемо діяльність найнижчої ланки макроекономіки (виробничої одиниці – заводу, цеху). Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимальний ступень виконання завдання. Щодо даної виробничої одиниці відомі її технічні можливості, а також кількість сировинних ресурсів, які можна використати.
Нехай кількість
всіх видів
ресурсів
позначимо їх
.
Це можуть бути
метал, електроенергія,
різні види
поставок з
інших підприємств.
Припустимо,
що на виробництві
можуть випускатися
типів товарів
.
Технологією
виробництва
товарів
назвемо набір
чисел
,
що показують,
яка кількість
ресурсів
необхідні для
випуску однієї
одиниці товару
.
Так виробництво
товарів
можна подати
як конвеєр,
протягом якого
подаються
ресурси в кількості
а
в кінці конвеєра
виходить готова
одиниця продукту
.
Отже, можна
скласти технологічну
матрицю, яка
повністю описує
технологічні
можливості
виробництва.
Позначаємо
її через
.
Нехай задані
кількості
ресурсів
,
,
які можуть бути
використані
у виробництві,
тоді
–
вектор ресурсів.
Назвемо планом
виробництва
вектор
,
що показує, яка
кількість
товарів
буде вироблена.
Вважатимемо
технологію
виробництва
лінійною, тобто
припустимо,
що всі витрати
ресурсів зростають
прямо пропорційно
обсягу випуску.
Припустимо,
що витрати під
час випуску
одиниць продукту
описуються
вектором
,
причому одночасне
функціонування
декількох
технологічних
процесів приводить
до сумарних
витрат.
Отже, витрати
ресурсів, необхідні
для виконання
плану виробництва
,
описуються
вектором, координати
якого мають
такий вигляд:
або в матричній
формі вектором
.
Умова обмеженості
ресурсів записується
у вигляді
.
Отже, при заданому
векторі ресурсів
розглянутою
виробничою
одиницею може
бути будь-який
випущений набір
товарів
,
який задовольняє
обмеженням
,
.
Як правило,
такий вектор
не єдиний. У
зв'язку з цим
з'являється
можливість
вибору найкращого
в деякому розумінні
плану.
Розглянемо
можливі постановки
оптимізаційної
задачі. Нехай
задані ціни
на продукти
виробництва
.
Потрібно визначити
план виробництва,
що максимізує
вартість продукції.
Формальний
запис цієї
задачі такий:
,
,
.(1)
Така постановка
задачі відповідає
принципу планування
за валом. Випадок,
коли планування
випуску проводиться
за номенклатурою
товарів, можна
змоделювати
інакше. Нехай
заданий вектор
,
що визначає
один комплект
випуску. Потрібно
випустити як
можна більше
таких комплектів.
Нехай
означає кількість
комплектів,
що випускають.
Розглянемо
задачу
,
,
,
.(2)
Тут нерівність
означає, що
вектор
містить не
менше
повних комплектів
продукції, що
випускається.
Моделі
(1), (2), хоча й відбивають
певні риси
реального
виробництва,
є, значно ідеалізованими.
Так, відсутнє
таке важливе
для виробництва
поняття, як
час. Вважається,
що всі необхідні
ресурси
,
доступні. Отже,
такі моделі
абстраговані
від динаміки
виробництва
й не враховують
цілий ряд інших
показників,
які є неодмінним
атрибутом
реального
виробництва.
Незважаючи на розходження змістовних результатів ілюстративні лінійні моделі (1), (2) мають багато спільного, а саме є стандартними задачами лінійного програмування. Основними обчислювальними схемами розв’язування задач лінійного програмування є симплекс-метод і його модифікації.
2. Статична схема міжгалузевого балансу. Модель Леонтьєва
Основою
багатьох лінійних
методів виробництва
є схема міжгалузевого
балансу. Нехай
весь виробничий
сектор народного
господарства
розбитий на
чистих галузей,
тобто продукція
кожної з цих
галузей передбачається
однорідною.
Кожна галузь
випускає продукт
тільки одного
типу, і різні
галузі випускають
різні продукти.
В процесі виробництва
свого виду
продукту кожна
галузь потребує
продукцію інших
галузей. Чиста
галузь є економічною
абстракцією
, що не обов'язково
існує реально.
Подібна ідеалізація
виправдана
тим, що вона
дозволяє провести
аналіз технологічної
структури
виробництва
та розподілу.
Припустимо
тепер, що в деякий
момент часу,
наприклад, у
році
,
за підсумковими
даними складений
балансовий
звіт по народному
господарству
за фіксований
період часу
за формою, наведеною
в табл. 1.
Таблиця 1
Галузі
|
1 | 2 | … |
|
|
Продукти
|
|||||
1 |
|
|
… |
|
|
2 |
|
|
… |
|
|
… | … | … | … | … | … |
|
|
|
… |
|
|
Валовий випуск |
|
|
… |
|
|
Кінцеве споживання |
|
|
… |
|
Величини
вказують обсяг
продукту з
номером
,
витрачений
галуззю
в процесі виробництва
за звітний
період. Числа
,
дорівнюють
обсягу продукції
(валовому випуску)
-ї
галузі за той
самий період,
а значення
– обсягу продукції
-ї
галузі, що був
спожитий у
невиробничій
сфері. Числа
,
показують
розподіл
-го
продукту на
виробничі
потреби всіх
інших галузей.
Балансовий
характер табл.
1 виражається
в тому, що мають
виконуватися
співвідношення
,
.(3)
Отже, валова продукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.
Одиниці виміру всіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно від чого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.
Якщо всі
елементи
-го
стовпця таблиці
1 розділити на
,
то число
розумітимемо
як обсяг продукції
-ї
галузі, необхідний
для виробництва
однієї одиниці
продукту
-ї
галузі. Числа
,
характеризують
технологію
-ї
галузі у звітний
період і звуться
коефіцієнтами
прямих витрат
-ї
галузі. Під
розумітимемо
частку продукції
-ї
галузі, витрачену
на невиробниче
споживання.
Основним елементом
схеми міжгалузевого
балансу є квадратна
матриця
,
яку називають
матрицею коефіцієнтів
прямих витрат.
Першим допущенням
даної схеми
є те, що сформована
технологія
виробництва
є незмінною
протягом деякого
проміжку часу.
Друге допущення
полягає в тому,
що для виробництва
одиниць продукції
галузі
необхідно
затратити
одиниць галузі
,
тобто передбачається,
що витрати
прямо пропорційні
випуску (є лінійно
однорідною
функцією випуску).
Під час виробництва
набору продукції
витрати продукції
-ї
галузі складуть
у цьому випадку
величину
.(4)
Переходячи
до матричних
позначень,
стверджуємо,
що вектор виробничих
витрат дорівнює
.
Якщо
–
вектор кінцевих
споживань, тоді
валова продукція
-ї
галузі дорівнює
,
(5)
або в матричній формі
.
(6)
Систему
рівнянь (6) називають
моделлю міжгалузевого
балансу або
моделлю Леонтьєва.
Дана модель
пов'язує обсяги
валових випусків
з обсягами
кінцевої продукції
й може бути
використана
для розрахунку
цих величин.
Наприклад, якщо
відомий набір
можливих при
даних ресурсах
випусків
,
то система (6)
дозволить
розрахувати
набір відповідних
значень
.
Якщо спочатку
відомий бажаний
набір кінцевої
продукції, то
за допомогою
моделі (6) можна
визначити
необхідні для
його забезпечення
обсяги валового
випуску по
галузі, тобто
(7)
при заданій
матриці
.
3. Розв’язок моделі Леонтьєва
За економічними
міркуваннями
всі коефіцієнти
матриці
невід’ємні:
,
.
У цьому випадку
говорять, що
матриця
невід’ємна
й записують
.
Невід’ємні
компоненти
заданого вектора
або
.
Розв’язок,
який має бути
знайдений, за
змістом також
повинний мати
тільки невід’ємні
компоненти,
тобто потрібне
виконання
нерівностей
або
.
Можливість
одержання
невід’ємного
розв’язку
визначається
властивостями
матриці
.
Матриця
називається
продуктивною,
якщо існують
два вектори
і
,
такі, що
.
Продуктивність
матриці
означає, що
виробнича
система здатна
забезпечити
деякий позитивний
кінцевий випуск
за всіма продуктами.
Розглянемо
умови продуктивності
матриці
:
1) послідовні
головні мінори
матриці
позитивні,
тобто для кожного
виконана нерівність
;
2) матриця
невід’ємно
зворотна, це
означає , що
існує зворотна
матриця
й всі її елементи
невід’ємні:
3) матричний
ряд
збігається,
причому
.
4) максимальне
власне число
.
Повернемося
до системи
рівнянь (7). За
заданим вектором
потрібно знайти
вектор
,
для якого
.
Перепишемо
систему (7) у вигляді
,
де
– одинична
матриця. Якщо
матриця
продуктивна,
то відповідно
до умови 2) матриця
існує й невід’ємна.
Тому розв’язок
системи рівнянь
(7)