Лінійна модель виробництва

1. Лінійні моделі виробництва та лінійне програмування

Будь-яке національне господарство розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозв'язків, які зрозуміти шляхом простого математичного апарату неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але непрямо і на металургію – виробника базової сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, пов'язані з виробництвом шин, і інших комплектуючих частин, а також на галузі, які виготовляють радіоелектронне устаткування та ін. Прості розрахунки показують, що «лобовий» підхід та арифметика не допоможуть при спробі кількісного аналізу прямого й непрямого ефекту поширення таких впливів.

Метод міжгалузевого аналізу, розроблений американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим, дозволяє дати послідовні та чисельно впевнені відповіді на запитання, пов'язані з міжгалузевими взаємодіями й їх впливами на основні макроекономічні показники.

Розглянемо діяльність найнижчої ланки макроекономіки (виробничої одиниці – заводу, цеху). Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимальний ступень виконання завдання. Щодо даної виробничої одиниці відомі її технічні можливості, а також кількість сировинних ресурсів, які можна використати.

Нехай кількість всіх видів ресурсів позначимо їх . Це можуть бути метал, електроенергія, різні види поставок з інших підприємств. Припустимо, що на виробництві можуть випускатися типів товарів .

Технологією виробництва товарів назвемо набір чисел , що показують, яка кількість ресурсів необхідні для випуску однієї одиниці товару . Так виробництво товарів можна подати як конвеєр, протягом якого подаються ресурси в кількості а в кінці конвеєра виходить готова одиниця продукту .

Отже, можна скласти технологічну матрицю, яка повністю описує технологічні можливості виробництва. Позначаємо її через

.

Нехай задані кількості ресурсів ,, які можуть бути використані у виробництві, тоді – вектор ресурсів. Назвемо планом виробництва вектор , що показує, яка кількість товарів буде вироблена.

Вважатимемо технологію виробництва лінійною, тобто припустимо, що всі витрати ресурсів зростають прямо пропорційно обсягу випуску. Припустимо, що витрати під час випуску одиниць продукту описуються вектором , причому одночасне функціонування декількох технологічних процесів приводить до сумарних витрат.

Отже, витрати ресурсів, необхідні для виконання плану виробництва , описуються вектором, координати якого мають такий вигляд:

або в матричній формі вектором . Умова обмеженості ресурсів записується у вигляді . Отже, при заданому векторі ресурсів розглянутою виробничою одиницею може бути будь-який випущений набір товарів , який задовольняє обмеженням , . Як правило, такий вектор не єдиний. У зв'язку з цим з'являється можливість вибору найкращого в деякому розумінні плану.

Розглянемо можливі постановки оптимізаційної задачі. Нехай задані ціни на продукти виробництва . Потрібно визначити план виробництва, що максимізує вартість продукції. Формальний запис цієї задачі такий:

, , .(1)

Така постановка задачі відповідає принципу планування за валом. Випадок, коли планування випуску проводиться за номенклатурою товарів, можна змоделювати інакше. Нехай заданий вектор , що визначає один комплект випуску. Потрібно випустити як можна більше таких комплектів. Нехай означає кількість комплектів, що випускають. Розглянемо задачу

, , , .(2)

Тут нерівність означає, що вектор містить не менше повних комплектів продукції, що випускається.

Моделі (1), (2), хоча й відбивають певні риси реального виробництва, є, значно ідеалізованими. Так, відсутнє таке важливе для виробництва поняття, як час. Вважається, що всі необхідні ресурси , доступні. Отже, такі моделі абстраговані від динаміки виробництва й не враховують цілий ряд інших показників, які є неодмінним атрибутом реального виробництва.

Незважаючи на розходження змістовних результатів ілюстративні лінійні моделі (1), (2) мають багато спільного, а саме є стандартними задачами лінійного програмування. Основними обчислювальними схемами розв’язування задач лінійного програмування є симплекс-метод і його модифікації.

2. Статична схема міжгалузевого балансу. Модель Леонтьєва

Основою багатьох лінійних методів виробництва є схема міжгалузевого балансу. Нехай весь виробничий сектор народного господарства розбитий на чистих галузей, тобто продукція кожної з цих галузей передбачається однорідною. Кожна галузь випускає продукт тільки одного типу, і різні галузі випускають різні продукти. В процесі виробництва свого виду продукту кожна галузь потребує продукцію інших галузей. Чиста галузь є економічною абстракцією , що не обов'язково існує реально. Подібна ідеалізація виправдана тим, що вона дозволяє провести аналіз технологічної структури виробництва та розподілу.

Припустимо тепер, що в деякий момент часу, наприклад, у році , за підсумковими даними складений балансовий звіт по народному господарству за фіксований період часу за формою, наведеною в табл. 1.

Таблиця 1

Величини вказують обсяг продукту з номером , витрачений галуззю в процесі виробництва за звітний період. Числа , дорівнюють обсягу продукції (валовому випуску) -ї галузі за той самий період, а значення – обсягу продукції -ї галузі, що був спожитий у невиробничій сфері. Числа , показують розподіл -го продукту на виробничі потреби всіх інших галузей. Балансовий характер табл. 1 виражається в тому, що мають виконуватися співвідношення

, .(3)

Отже, валова продукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.

Одиниці виміру всіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно від чого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.

Якщо всі елементи -го стовпця таблиці 1 розділити на , то число розумітимемо як обсяг продукції -ї галузі, необхідний для виробництва однієї одиниці продукту -ї галузі. Числа , характеризують технологію -ї галузі у звітний період і звуться коефіцієнтами прямих витрат -ї галузі. Під розумітимемо частку продукції -ї галузі, витрачену на невиробниче споживання. Основним елементом схеми міжгалузевого балансу є квадратна матриця , яку називають матрицею коефіцієнтів прямих витрат.

Першим допущенням даної схеми є те, що сформована технологія виробництва є незмінною протягом деякого проміжку часу. Друге допущення полягає в тому, що для виробництва одиниць продукції галузі необхідно затратити одиниць галузі , тобто передбачається, що витрати прямо пропорційні випуску (є лінійно однорідною функцією випуску).

Під час виробництва набору продукції витрати продукції -ї галузі складуть у цьому випадку величину

.(4)

Переходячи до матричних позначень, стверджуємо, що вектор виробничих витрат дорівнює . Якщо – вектор кінцевих споживань, тоді валова продукція -ї галузі дорівнює

, (5)

або в матричній формі

. (6)

Систему рівнянь (6) називають моделлю міжгалузевого балансу або моделлю Леонтьєва. Дана модель пов'язує обсяги валових випусків з обсягами кінцевої продукції й може бути використана для розрахунку цих величин. Наприклад, якщо відомий набір можливих при даних ресурсах випусків , то система (6) дозволить розрахувати набір відповідних значень . Якщо спочатку відомий бажаний набір кінцевої продукції, то за допомогою моделі (6) можна визначити необхідні для його забезпечення обсяги валового випуску по галузі, тобто

(7)

при заданій матриці .

3. Розв’язок моделі Леонтьєва

За економічними міркуваннями всі коефіцієнти матриці невід’ємні: , . У цьому випадку говорять, що матриця невід’ємна й записують . Невід’ємні компоненти заданого вектора або .

Розв’язок, який має бути знайдений, за змістом також повинний мати тільки невід’ємні компоненти, тобто потрібне виконання нерівностей або . Можливість одержання невід’ємного розв’язку визначається властивостями матриці .

Матриця називається продуктивною, якщо існують два вектори і , такі, що .

Продуктивність матриці означає, що виробнича система здатна забезпечити деякий позитивний кінцевий випуск за всіма продуктами.

Розглянемо умови продуктивності матриці :

1) послідовні головні мінори матриці позитивні, тобто для кожного виконана нерівність

;

2) матриця невід’ємно зворотна, це означає , що існує зворотна матриця й всі її елементи невід’ємні:

3) матричний ряд збігається, причому

.

4) максимальне власне число .

Повернемося до системи рівнянь (7). За заданим вектором потрібно знайти вектор , для якого . Перепишемо систему (7) у вигляді , де – одинична матриця. Якщо матриця продуктивна, то відповідно до умови 2) матриця існує й невід’ємна. Тому розв’язок системи рівнянь (7)