Лінійна модель виробництва

1. Лінійні моделі виробництва та лінійне програмування


Будь-яке національне господарство розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозв'язків, які зрозуміти шляхом простого математичного апарату неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але непрямо і на металургію – виробника базової сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, пов'язані з виробництвом шин, і інших комплектуючих частин, а також на галузі, які виготовляють радіоелектронне устаткування та ін. Прості розрахунки показують, що «лобовий» підхід та арифметика не допоможуть при спробі кількісного аналізу прямого й непрямого ефекту поширення таких впливів.

Метод міжгалузевого аналізу, розроблений американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим, дозволяє дати послідовні та чисельно впевнені відповіді на запитання, пов'язані з міжгалузевими взаємодіями й їх впливами на основні макроекономічні показники.

Розглянемо діяльність найнижчої ланки макроекономіки (виробничої одиниці – заводу, цеху). Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимальний ступень виконання завдання. Щодо даної виробничої одиниці відомі її технічні можливості, а також кількість сировинних ресурсів, які можна використати.

Нехай кількість всіх видів ресурсів Лінійна модель виробництва позначимо їх Лінійна модель виробництва. Це можуть бути метал, електроенергія, різні види поставок з інших підприємств. Припустимо, що на виробництві можуть випускатися Лінійна модель виробництва типів товарів Лінійна модель виробництва.

Технологією виробництва товарів Лінійна модель виробництва назвемо набір чисел Лінійна модель виробництва Лінійна модель виробництва, що показують, яка кількість ресурсів Лінійна модель виробництва необхідні для випуску однієї одиниці товару Лінійна модель виробництва. Так виробництво товарів Лінійна модель виробництва можна подати як конвеєр, протягом якого подаються ресурси в кількості Лінійна модель виробництваа в кінці конвеєра виходить готова одиниця продукту Лінійна модель виробництва.

Отже, можна скласти технологічну матрицю, яка повністю описує технологічні можливості виробництва. Позначаємо її через Лінійна модель виробництва


Лінійна модель виробництва.


Нехай задані кількості Лінійна модель виробництва ресурсів Лінійна модель виробництва,Лінійна модель виробництва, які можуть бути використані у виробництві, тоді Лінійна модель виробництва– вектор ресурсів. Назвемо планом виробництва вектор Лінійна модель виробництва, що показує, яка кількість товарів Лінійна модель виробництва буде вироблена.

Вважатимемо технологію виробництва лінійною, тобто припустимо, що всі витрати ресурсів зростають прямо пропорційно обсягу випуску. Припустимо, що витрати під час випуску Лінійна модель виробництва одиниць продукту Лінійна модель виробництва описуються вектором Лінійна модель виробництва, причому одночасне функціонування декількох технологічних процесів приводить до сумарних витрат.

Отже, витрати ресурсів, необхідні для виконання плану виробництва Лінійна модель виробництва, описуються вектором, координати якого мають такий вигляд:


Лінійна модель виробництва


або в матричній формі вектором Лінійна модель виробництва. Умова обмеженості ресурсів записується у вигляді Лінійна модель виробництва. Отже, при заданому векторі ресурсів розглянутою виробничою одиницею може бути будь-який випущений набір товарів Лінійна модель виробництва, який задовольняє обмеженням Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва. Як правило, такий вектор не єдиний. У зв'язку з цим з'являється можливість вибору найкращого в деякому розумінні плану.

Розглянемо можливі постановки оптимізаційної задачі. Нехай задані ціни Лінійна модель виробництва на продукти виробництва Лінійна модель виробництва. Потрібно визначити план виробництва, що максимізує вартість продукції. Формальний запис цієї задачі такий:


Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва.(1)


Така постановка задачі відповідає принципу планування за валом. Випадок, коли планування випуску проводиться за номенклатурою товарів, можна змоделювати інакше. Нехай заданий вектор Лінійна модель виробництва, що визначає один комплект випуску. Потрібно випустити як можна більше таких комплектів. Нехай Лінійна модель виробництва означає кількість комплектів, що випускають. Розглянемо задачу


Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва.(2)


Тут нерівність Лінійна модель виробництва означає, що вектор Лінійна модель виробництва містить не менше Лінійна модель виробництва повних комплектів Лінійна модель виробництва продукції, що випускається.

Моделі (1), (2), хоча й відбивають певні риси реального виробництва, є, значно ідеалізованими. Так, відсутнє таке важливе для виробництва поняття, як час. Вважається, що всі необхідні ресурси Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва доступні. Отже, такі моделі абстраговані від динаміки виробництва й не враховують цілий ряд інших показників, які є неодмінним атрибутом реального виробництва.

Незважаючи на розходження змістовних результатів ілюстративні лінійні моделі (1), (2) мають багато спільного, а саме є стандартними задачами лінійного програмування. Основними обчислювальними схемами розв’язування задач лінійного програмування є симплекс-метод і його модифікації.


2. Статична схема міжгалузевого балансу. Модель Леонтьєва


Основою багатьох лінійних методів виробництва є схема міжгалузевого балансу. Нехай весь виробничий сектор народного господарства розбитий на Лінійна модель виробництва чистих галузей, тобто продукція кожної з цих галузей передбачається однорідною. Кожна галузь випускає продукт тільки одного типу, і різні галузі випускають різні продукти. В процесі виробництва свого виду продукту кожна галузь потребує продукцію інших галузей. Чиста галузь є економічною абстракцією , що не обов'язково існує реально. Подібна ідеалізація виправдана тим, що вона дозволяє провести аналіз технологічної структури виробництва та розподілу.

Припустимо тепер, що в деякий момент часу, наприклад, у році Лінійна модель виробництва, за підсумковими даними складений балансовий звіт по народному господарству за фіксований період часу за формою, наведеною в табл. 1.

Таблиця 1

Галузі Лінійна модель виробництва

1 2

Лінійна модель виробництва


Продукти Лінійна модель виробництва






1

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

2

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Валовий випуск

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва


Кінцеве споживання

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва



Величини Лінійна модель виробництва вказують обсяг продукту з номером Лінійна модель виробництва, витрачений галуззю Лінійна модель виробництва в процесі виробництва за звітний період. Числа Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва дорівнюють обсягу продукції (валовому випуску) Лінійна модель виробництва-ї галузі за той самий період, а значення Лінійна модель виробництваобсягу продукції Лінійна модель виробництва-ї галузі, що був спожитий у невиробничій сфері. Числа Лінійна модель виробництва,Лінійна модель виробництва показують розподіл Лінійна модель виробництва-го продукту на виробничі потреби всіх інших галузей. Балансовий характер табл. 1 виражається в тому, що мають виконуватися співвідношення


Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва.(3)


Отже, валова продукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.

Одиниці виміру всіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно від чого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.

Якщо всі елементи Лінійна модель виробництва-го стовпця таблиці 1 розділити на Лінійна модель виробництва, то число Лінійна модель виробництва розумітимемо як обсяг продукції Лінійна модель виробництва-ї галузі, необхідний для виробництва однієї одиниці продукту Лінійна модель виробництва-ї галузі. Числа Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва характеризують технологію Лінійна модель виробництва-ї галузі у звітний період і звуться коефіцієнтами прямих витрат Лінійна модель виробництва-ї галузі. Під Лінійна модель виробництва розумітимемо частку продукції Лінійна модель виробництва-ї галузі, витрачену на невиробниче споживання. Основним елементом схеми міжгалузевого балансу є квадратна матриця Лінійна модель виробництва, яку називають матрицею коефіцієнтів прямих витрат.

Першим допущенням даної схеми є те, що сформована технологія виробництва є незмінною протягом деякого проміжку часу. Друге допущення полягає в тому, що для виробництва Лінійна модель виробництва одиниць продукції галузі Лінійна модель виробництва необхідно затратити Лінійна модель виробництва одиниць галузі Лінійна модель виробництва, тобто передбачається, що витрати прямо пропорційні випуску (є лінійно однорідною функцією випуску).

Під час виробництва набору продукції Лінійна модель виробництва витрати продукції Лінійна модель виробництва-ї галузі складуть у цьому випадку величину


Лінійна модель виробництва Лінійна модель виробництва.(4)


Переходячи до матричних позначень, стверджуємо, що вектор виробничих витрат дорівнює Лінійна модель виробництва. Якщо Лінійна модель виробництва– вектор кінцевих споживань, тоді валова продукція Лінійна модель виробництва-ї галузі дорівнює


Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва (5)


або в матричній формі


Лінійна модель виробництва. (6)


Систему рівнянь (6) називають моделлю міжгалузевого балансу або моделлю Леонтьєва. Дана модель пов'язує обсяги валових випусків з обсягами кінцевої продукції й може бути використана для розрахунку цих величин. Наприклад, якщо відомий набір можливих при даних ресурсах випусків Лінійна модель виробництва, то система (6) дозволить розрахувати набір відповідних значень Лінійна модель виробництва. Якщо спочатку відомий бажаний набір кінцевої продукції, то за допомогою моделі (6) можна визначити необхідні для його забезпечення обсяги валового випуску по галузі, тобто


Лінійна модель виробництва (7)


при заданій матриці Лінійна модель виробництва.


3. Розв’язок моделі Леонтьєва


За економічними міркуваннями всі коефіцієнти матриці Лінійна модель виробництва невід’ємні: Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва. У цьому випадку говорять, що матриця Лінійна модель виробництва невід’ємна й записують Лінійна модель виробництва. Невід’ємні компоненти заданого вектора Лінійна модель виробництва або Лінійна модель виробництва.

Розв’язок, який має бути знайдений, за змістом також повинний мати тільки невід’ємні компоненти, тобто потрібне виконання нерівностей Лінійна модель виробництва або Лінійна модель виробництва. Можливість одержання невід’ємного розв’язку визначається властивостями матриці Лінійна модель виробництва.

Матриця Лінійна модель виробництва називається продуктивною, якщо існують два вектори Лінійна модель виробництва і Лінійна модель виробництва, такі, що Лінійна модель виробництва.

Продуктивність матриці Лінійна модель виробництва означає, що виробнича система здатна забезпечити деякий позитивний кінцевий випуск за всіма продуктами.

Розглянемо умови продуктивності матриці Лінійна модель виробництва:

1) послідовні головні мінори матриці Лінійна модель виробництва позитивні, тобто для кожного Лінійна модель виробництва виконана нерівність


Лінійна модель виробництва;


2) матриця Лінійна модель виробництва невід’ємно зворотна, це означає , що існує зворотна матриця Лінійна модель виробництва й всі її елементи невід’ємні: Лінійна модель виробництва

3) матричний ряд Лінійна модель виробництва збігається, причому


Лінійна модель виробництва.


4) максимальне власне число Лінійна модель виробництва.

Повернемося до системи рівнянь (7). За заданим вектором Лінійна модель виробництва потрібно знайти вектор Лінійна модель виробництва, для якого Лінійна модель виробництва. Перепишемо систему (7) у вигляді Лінійна модель виробництва, де Лінійна модель виробництва – одинична матриця. Якщо матриця Лінійна модель виробництва продуктивна, то відповідно до умови 2) матриця Лінійна модель виробництва існує й невід’ємна. Тому розв’язок системи рівнянь (7)

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: