Показатели вариации, выборочное наблюдение
Министерство образования и науки Украины
Севастопольский национальный технический университет
«ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ»
«ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ»
«РЯДЫ ДИНАМИКИ»
Методические указания и задания по дисциплине «Статистика. Часть 1» для студентов экономических специальностей всех форм обучения
Севастополь
2008
УДК 311(075.8)
«Показатели вариации», «Выборочное наблюдение», «Ряды динамики» Методические указания и задания по дисциплине «Статистика. Часть 1» для студентов экономических специальностей всех форм обучения / Сост. Т.Н. Кашо, И.В. Березина. — 1- е изд. —Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2008. — 40c.
Целью методических указаний является оказание помощи студентам в изучении методов статистических расчетов путем обеспечения материалами для закрепления теоретических знаний и получения навыков решения практических заданий. Излагаются основные понятия, формулы, примеры и решения типовых задач, контрольные вопросы и тесты по изучаемым темам и библиографический список. Указания предназначены для студентов экономических специальностей всех форм обучения.
Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры «Учет и аудит» СевНТУ (протокол № 11 от 27 июня 2007 г.).
Допущено учебно-методическим центром СевНТУ в качестве методических указаний.
Рецензенты:
О.В. Луняков, канд. экон. наук, доцент кафедры «Менеджмент организаций» СевНТУ
О.С. Доценко, ст. преп. кафедры «Учет и аудит» СевНТУ
СОДЕРЖАНИЕ
Введение................................................................................................……… 4
1. Показатели вариации...............................................................…........….. 5
1.1. Основные формулы............................................................................. 5
1.2. Решение типовых задач...................................................................... 7
1.3. Контрольные задачи............................................................................ 10
1.4. Контрольные вопросы........................................................................ 12
1.5. Тесты..................................................................................................... 13
2. Выборочное наблюдение.......................................................................... 16
2.1. Основные формулы............................................................................. 16
2.2. Решение типовых задач...................................................................... 18
2.3. Контрольные задачи............................................................................ 20
2.4. Контрольные вопросы........................................................................ 22
2.5. Тесты..................................................................................................... 22
3. Ряды динамики.......................................................................................... 25
3.1. Основные формулы............................................................................. 25
3.2. Решение типовых задач...................................................................... 28
3.3. Контрольные задачи............................................................................ 31
3.4. Контрольные вопросы........................................................................ 34
3.5. Тесты..................................................................................................... 34
Вопросы для подготовки к зачету по дисциплине «Статистика.Часть1» …37
Библиографический список.......................................................................... 38
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее методико-учебное пособие содержит задачи курса «Статистика. Часть 1» с целью сориентировать студентов на подготовку по темам: «Показатели вариации», «Выборочное наблюдение», «Ряды динамики». С этой же целью в конце пособия приведен библиографический список по всему курсу и перечень вопросов к зачету.
Готовясь к практическим занятиям, студент должен прочесть рекомендованную литературу и конспект лекций, самостоятельно проверить, как он усвоил вопросы той темы, по которой будет решать задачи.
Решение задач необходимо сопровождать соответствующими формулами, подробными расчетами, пояснением сущности исследуемых показателей и краткими выводами. При этом особое внимание следует уделять экономическому содержанию показателей.
Расчеты должны быть выполнены с принятой в статистике точностью: индексы рассчитываются с точностью до 0.001, а проценты - до 0.01. При выполнении работ рекомендуется использовать статистические таблицы, которые должны быть построены и оформлены по правилам, изучающимся в теме «Сводка и группировка статистических данных».
В соответствии с учебной программой студентам всех форм обучения необходимо иметь навык в решении определенных задач, согласно требованиям и выполнить по данному разделу домашнюю контрольную работу. По окончании курса предусмотрен зачет.
Данные методические указания значительно упростят процесс изучения материала, т.к. в нем систематизированы темы раздела, основные формулы по темам, которыми необходимо пользоваться. Для повышения эффективности самостоятельной работы приведены подробные выкладки всех расчетных формул с ответами по каждой типовой задаче, а так же представлены примеры решения распространенных задач для самостоятельного решения. В конце каждой темы приведены контрольные вопросы и тесты, ответы на которые обеспечат положительный результат при сдаче зачета.
Перед выполнением контрольной работы или решением задач на практических занятиях требуется внимательное изучение настоящих методических указаний.
1. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Различают вариацию случайную и систематическую. К показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение – являются абсолютным измерением вариации и коэффициент вариации – относительный показатель вариации.
1.1. Основные формулы
Размах вариации
(
):
|
|
(1.1) |
Среднее
линейное отклонение
(
):
а) для несгруппированных данных:
|
|
(1.2) |
б) для сгруппированных данных:
|
|
(1.3) |
Дисперсия (s2):
а) простая дисперсия для несгруппированных данных:
|
|
(1.4) |
б) взвешенная дисперсия для вариационного ряда:
|
|
(1.5) |
Упрощенные методы расчета дисперсии:
1. Метод электронно-вычислительного способа расчета :
|
|
(1.6) |
2. По «способу моментов»:
|
|
(1.7) |
где m2 – момент второго порядка, определяемый по формуле:
|
|
(1.8) |
где m1 – момент первого порядка, определяемый по формуле (4.10).
Дисперсия
альтернативного
признака (
):
|
|
(1.9) |
где p – доля единиц, обладающих альтернативным признаком;
q – доля единиц, не обладающих альтернативным признаком(q = 1 - p).
Среднее квадратическое отклонение (s ):
|
|
(1.10) |
Правило сложения дисперсий:
|
|
(1.11) |
где s2 – общая дисперсия;
-
средняя из
внутригрупповых
дисперсий;
d2 – дисперсия групповых средних (межгрупповая) дисперсия.
Средняя из внутригрупповых дисперсий:
|
|
(1.12) |
где
-
групповые
дисперсии.
Внутригрупповые дисперсии:
|
|
(1.13) |
где
- групповые
средние;
- общая средняя.
Межгрупповая дисперсия:
|
|
(1.14) |
Коэффициент
вариации (
):
|
|
(1.15) |
Коэффициент
детерминации
(
):
|
|
(1.16) |
Эмпирическое
корреляционное
отношение (
):
|
|
(1.17) |
1.2. Решение типовых задач
Задача № 1.1
Имеются данные о сменной выработке рабочих бригады, представленные интервальным рядом распределения (исходные данные в столбцах 1-2):
| Группы рабочих по сменной выработке, шт. |
Число рабочих, чел. (f) |
Расчетные значения | ||||||
|
Середина интервала (X) |
X*f |
|
|
|
|
|
||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 170-190 | 10 | 180 | 1800 | -2 | -20 | 40 | 12960 | 324000 |
| 190-210 | 20 | 200 | 4000 | -1 | -20 | 20 | 5120 | 800000 |
| 210-230 | 50 | 220 | 11000 | 0 | 0 | 0 | 800 | 2420000 |
| 230-250 | 20 | 240 | 4800 | 1 | 20 | 20 | 11520 | 1152000 |
| Итого | 100 | - | 21600 | - | -20 | 80 | 30400 | 4696000 |
Определить:
а) среднесменную выработку рабочих;
б) дисперсию выработки;
в) среднее квадратическое отклонение;
г) коэффициент вариации.
Сделать вывод.
Решение:
а) среднесменная выработка рабочих определяется:
– по формуле средней арифметической взвешенной:
– по «способу моментов»:
где А – середина интервала, обладающего наибольшей частотой: f маx =50, А=220.
б) дисперсия выработки рассчитывается:
– по формуле средневзвешенной дисперсии:
– по упрощенным методам расчета дисперсии:
где
в) среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле:
г) коэффициент вариации определяется по формуле:
Вывод: данная бригада достаточно однородна по выработке и средняя считается надежной и типичной, поскольку вариация признака составляет лишь 8%, т. е. больше 33%.
Задача № 1.2
При изучении влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе были получены данные, представленные в следующей таблице (исходные данные в столбцах 1, 2, 4, 5):
|
Номер расчетных значений |
Рабочие 4-го разряда |
Номер расчетных значений |
Рабочие 5-го разряда | ||
|
Выработка рабочего, шт. |
|
Выработка рабочего, шт. |
|
||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 7 | 9 | 1 | 14 | 1 |
| 3 | 9 | 1 | 3 | 15 | 0 |
| 4 | 10 | 0 | 4 | 17 | 4 |
| 5 | 12 | 4 | |||
| 6 | 13 | 9 | |||
| Итого | 60 | 24 | Итого | 60 | 6 |
Определить:
а) внутригрупповые дисперсии;
б) среднюю из внутригрупповых дисперсий;
в) межгрупповую дисперсию;
г) общую дисперсию;
д) проверить правило сложения дисперсий.
Решение:
В этом примере данные группируются по квалификации рабочих, являющихся факторным признаком. Результативный признак варьирует как под влиянием систематического фактора – квалификации (межгрупповая вариации), так и других неучтенных случайных факторов (внутригрупповая вариация). Задача заключается в измерении этих вариаций с помощью дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповых.
а) средняя выработка по каждой бригаде считается по формулам арифметической простой и взвешенной:
- по первой
группе:
- по второй
группе:
- по двум группам:
Внутригрупповые дисперсии показывают вариацию выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме различий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну квалификацию) и рассчитываются по формуле:
- по первой
группе:
где
- по второй
группе:
где
б) средняя из внутригрупповых дисперсий отражает вариацию выработки, обусловленную всеми факторами, кроме квалификации рабочих, но в среднем по всей совокупности и рассчитывается по формуле:
в) межгрупповая дисперсия характеризует вариацию групповых средних, обусловленную различиями групп рабочих по квалификационному разряду и рассчитывается по формуле:
г) общая дисперсия отражает суммарное влияние всех возможных факторов на общую вариацию средних, обусловленную различиями групп рабочих по квалификационному разряду и рассчитывается по формуле:
д) правило сложения дисперсий:
1.3. Контрольные задачи
Задача № 1.1
Имеются данные о распределении заводов по стоимости готовой продукции в следующей таблице:
| Номер группы |
Группы заводов по стоимости готовой продукции, млн. у.е. |
Число заводов |
| 1 | до 2 | 10 |
| 2 | 2 – 3 | 20 |
| 3 | 3 – 4 | 30 |
| 4 | 4 – 5 | 25 |
| 5 | 5 – 6 | 10 |
| 6 | свыше 6 | 5 |
На основании приведенных данных вычислить:
а) среднюю стоимость продукции на один завод;
б) дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
в) коэффициент вариации и сделать выводы.
Задача № 1.2
В целях изучения норм выработки рабочих на заводе было обследовано 400 рабочих, показавших затраты времени на обработку одной детали. Данные представлены в следующей таблице:
|
Затраты времени на одну деталь, мин. |
Число рабочих, чел. |
| до 14 | 40 |
| 14 – 16 | 100 |
| 16 – 18 | 150 |
| 18 – 20 | 70 |
| свыше 20 | 40 |
| Итого | 400 |
Вычислить:
а) средние затраты времени на обработку одной детали;
б) дисперсию
по формуле
;
в) коэффициент вариации.
Задача № 1.3
В целях изучения возрастной структуры рабочих завода по состоянию на 1 июля было проведено обследование, результаты которого показали распределение рабочих по возрасту, представленное в следующей таблице:
|
Группы рабочих по возрасту, лет |
Число рабочих, чел. |
| до 20 | 5 |
| 20 – 25 | 10 |
| 25 – 30 | 14 |
| 30 – 35 | 20 |
| 35 – 40 | 22 |
| 40 – 45 | 19 |
| свыше 45 | 10 |
| Итого | 100 |
Вычислить:
а) средний возраст рабочего;
б) среднее квадратическое отклонение;
в) Коэффициент вариации.
Задача № 1.4
Имеются данные о распределении изделий А по весу в следующей таблице:
|
Вес изделий, г. |
Число изделий, шт. |
| до 200 | 4 |
| 200 – 205 | 10 |
| 205 – 210 | 60 |
| 210 – 215 | 20 |
| свыше | 6 |
Вычислить:
1. По «способу моментов»:
а) средний вес изделия;
б) дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
2. Коэффициент вариации. Сделать выводы.
Задача № 1.5
Было опрошено студентов о времени, затрачиваемом ими на дорогу в институт. Результаты обследования представлены в следующей таблице:
|
Время, затрачиваемое студентом на дорогу, мин. |
Число студентов, чел. |
| до 15 | 2 |
| 15 – 30 | 18 |
| 30 – 45 | 45 |
| 45 – 60 | 25 |
| свыше 60 | 10 |
| Итого | 100 |
На основании выборочных данных вычислить:
1. По «способу моментов»:
а) среднее время, затрачиваемое на дорогу в институт;
б) среднее квадратическое отклонение.
2. Коэффициент вариации.
Задача № 1.6
Определить групповые дисперсии, среднюю из групповых дисперсий, межгрупповую и общую дисперсии по данным, приведенным в следующей таблице:
| Первая бригада | Вторая бригада | ||
|
Номер рабочих |
Изготовлено деталей за час, шт. |
Номер рабочих |
Изготовлено деталей за час, шт. |
| 1 | 13 | 7 | 18 |
| 2 | 14 | 8 | 19 |
| 3 | 15 | 9 | 22 |
| 4 | 17 | 10 | 20 |
| 5 | 16 | 11 | 24 |
| 6 | 15 | 12 | 23 |
| Итого | 90 | Итого | 126 |
1.4. Контрольные вопросы
1. Необходимость измерения вариации признаков, от чего зависит ее размер.
2. Среднее линейное отклонение, размах вариаций и их недостатки как показателей вариации.
3. Среднее квадратическое отклонение, дисперсия и особенности расчета для несгруппированных и вариационных рядов распределения.
4. Цель расчет коэффициента вариации.
5. Основные свойства дисперсии.
6. Сущность упрощенного расчета дисперсии.
7. Дисперсия альтернативного признака.
8. Группы факторов, вызывающих вариацию признака.
9. Методы расчета общей, групповой и межгрупповой дисперсий. Правило сложения дисперсий, его практическое значение.
10. Смысл расчет эмпирического коэффициента детерминации и корреляционного отношения.
11. Характеристика форм распределения.
1.5. Тесты
1. Вариация – это:
а) качественные изменения признака в пределах однородной совокупности, обусловленные влиянием различных факторов;
б) различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени;
в) изменение («колеблемость») величины либо значения признак при переходе от одной единицы совокупности к другой;
г) все ответы верны.
2. К абсолютным показателям вариации относят:
а) размах вариации;
б) коэффициент вариации;
в) мода;
г) среднее квадратическое отклонение;
д) дисперсия.
3. К относительным показателям вариации относят:
а) коэффициент интенсивности;
б) коэффициент вариации;
в) среднее линейное отклонение;
г) среднее квадратическое отклонение;
д) дисперсия.
4. Размах вариации представляет собой:
а) разность между максимальным и минимальным значениями признака;
б) разность между минимальным и максимальным значениями признака;
в) сумма минимального и максимального значения признака;
г) свой ответ.
5. Формула для расчета простой дисперсии для несгруппированных данных имеет вид ______.
6. Формула для расчета дисперсии для вариационного ряда имеет вид ________.
7. Корень квадратный из дисперсии – это:
а) среднее линейное отклонение;
б) среднее квадратическое отклонение;
в) размах вариации;
г) свой ответ.
8. Чем _______ значения дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность и тем более _____ будет средняя величина.
9. Коэффициент вариации применяют:
а) для сравнения вариаций различных признаков;
б) для характеристики однородности совокупности;
в) для сравнения колеблемости одного и то же признака в нескольких неоднородных совокупностях;
г) все ответы верны.
10. Коэффициент вариации представляет собой:
а) выраженное абсолютным показателем отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической;
б) отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической;
в) выраженное в % отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической;
г) свой ответ.
11. Совокупность считается количественно однородной, а средняя типичной, если коэффициент вариации
а) равен 33%;
б) больше 44%;
в) больше 33%;
г) не превышает 33%.
12. Если все значение признака увеличить или уменьшить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого:
а) увеличится или уменьшиться на величину А;
б) предсказать нельзя;
в) не изменится;
г) нет верного ответа.
13. Распределение рабочих по заработной плате показано в следующей таблице:
|
Группы рабочих по заработной плате, у.е. |
500 – 600 | 600 – 700 | 700 – 800 | 800 – 900 | Итого |
| Число рабочих, чел | 6 | 10 | 8 | 6 | 30 |
Определить дисперсию по «способу моментов»:
а) 10018;
б) 5005;
в) 10491;
г) 2890.
14. Выделяют следующие виды дисперсий:
а) общая;
б) межгрупповая;
в) хронологическая;
г) линейная;
д) внутригрупповая
15. Общая дисперсия измеряет ______________.
16. Отражает случайную вариацию:
а) общая дисперсия;
б) межгрупповая дисперсия;
в) внутригрупповая дисперсия;
г) средняя из внутригрупповых дисперсий.
17. Систематическую вариацию результативного признака характеризует:
а) общая дисперсия;
б) межгрупповая дисперсия;
в) внутригрупповая дисперсия;
г) средняя из внутригрупповых дисперсий.
18. Распределение рабочих по сменной выработке изделия А показано в следующей таблице:
| Группы рабочих по сменной выработке, шт. | до 100 | 100 – 150 | 150 – 200 | 200 – 250 | Итого |
| Число рабочих, чел | 10 | 20 | 50 | 20 | 100 |
Определить дисперсию по формуле для сгруппированных данных:
а) 1900;
б) 1700;
в) 1600;
г) свой ответ.
19. Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна:
а) сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий;
б) сумме внутригрупповых и межгрупповой дисперсий;
в) сумме внутригрупповых дисперсий;
г) свой ответ.
20. Долю вариации результативного признака Y под влиянием факторного признака X показывает:
а) эмпирическое корреляционное отношение;
б) эмпирический коэффициент детерминации;
в) средняя из внутригрупповых дисперсий;
г) коэффициент структуры.
21. Тесноту связи между группировочным и результативным признаками показывает:
а) эмпирическое корреляционное отношение;
б) эмпирический коэффициент детерминации;
в) средняя из внутригрупповых дисперсий;
г) коэффициент структуры;
22. Однородные совокупности характеризуются ___________ распределением:
а) одновершинным;
б) многовершинным;
в) двухвершинным;
г) свой ответ.
23. Для симметричного распределения имеет место следующее соотношение:
а) Х равно Мо равно Ме;
б) Х больше Мо больше Ме;
в) Х меньше Мо меньше Ме;
г) нет верного ответа.
24. Крутость вариационного ряда называют:
а) ассиметрией;
б) симметрией;
в) эксцессом;
г) свой ответ
25. Отрицательный знак показателя ассиметрии свидетельствует о:
а) правосторонней ассиметрии;
б) левосторонней ассиметрии;
в) несущественности показателя ассиметрии;
г) существенности показателя ассиметрии.
26. Особенности кривой нормального распределения:
а) симметрична относительно центра распределения;
б) эксцесс больше 0, ассиметрия больше 0;
в) эксцесс равен 0, ассиметрия равна 0;
г) в промежутке
находится
60% всех значений
признака;
- 70% всех значений
признака;
- 90% всех значений
признака;
д) в промежуткенаходится
68,3% всех значений
признака;
- 95,4% всех значений
признака;
- 99,7% всех значений
признака.
2. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
Выборочное наблюдение – это такое несплошное наблюдение, при котором отбор подлежащих обследованию единиц осуществляется в случайном порядке, отобранная часть изучается, а результаты распространяются на всю исходную совокупность. Наблюдение организуется таким образом, что эта часть отобранных единиц в уменьшенном масштабе репрезентирует (представляет) всю совокупность.
Для характеристики надежности выборочных показателей различают среднюю и предельную ошибки выборки.
2.1. Основные формулы
Средняя ошибка
выборки при
собственно
случайном
методе отбора
(
):
а) повторный отбор: