Постановка и основные свойства транспортной задачи
Метод минимального элемента
Этот метод является вариантом метода северо-западного угла, учитывающим специфику матрицы транспортных затрат С=. В отличие от метода северо-западного угла данный метод позволяет сразу получить достаточно экономичный план, сокращая общее количество итераций по его дальнейшей оптимизации.
Формальное описание алгоритма. Элементы матрицы нумеруют, начиная от минимального в порядке возрастания, а затем в этом же порядке заполняют матрицу Х0.
Пусть элементом с минимальным порядковым номером оказался . Возможные три случая: а) если , то оставшуюся часть -й строки заполняем нулями; б) если , то оставшуюся часть -го столбца заполняем нулями; в) если , то оставшуюся часть -й строки и -го столбца заполняем нулями.
Дале этот процесс повторяют с незаполненной частью матрицы Х1.
Пример 1. Найти начальный базисный план методом минимального элемента для Табл. 3. следующей задачи.
Таблица. 3.
Ai Bj |
1 |
2 |
3 |
4 |
Bj / ai |
1 |
7(10) |
8(11) |
5(7) |
3(5) |
11 |
2 |
2(3) |
4(4) |
5(8) |
9(12) |
11 |
3 |
6(9) |
3(4) |
1(1) |
2(2) |
8 |
Ai / bj |
5 |
9 |
9 |
7 |
bj ai |
Цифры в скобках указывают порядок заполнения элементов в матрице Х0 (табл. 3.4).
Соответствующее значение целевой функции равно
3*8 + 1*5 + 3*7 + 5*2 + 6*4 + 8*1 = 92
Таблица 4
Х0 |
|
|
|
||||||
0 |
3 |
1 |
7 |
11 |
4 |
3 |
0 |
||
5 |
6 |
0 |
0 |
11 |
6 |
0 |
|||
0 |
0 |
8 |
0 |
8 |
0 |
||||
|
5 |
9 |
9 |
7 |
|||||
|
0 |
3 |
1 |
0 |
|||||
|
0 |
0 |
|||||||
Решение транспортной задачи при вырожденном опорном плане
Опорный план называется вырожденным, если число его ненулевых перевозок k меньше ранга матрицы ограничений. В процессе построения начального плана или при его улучшении очередной план может оказаться вырожденным.
Рассмотрим два случая.
1. Вырожденный план является начальным Х0. Тогда выбирают некоторые нулевые элементы матрицы Х0 в качестве базисных так, чтобы при этом не нарушалось условие базисного плана. Число этих элементов равняется . Далее данные элементы заменяют на (где – произвольное, бесконечно малое число) и рассматривают их как обычные базисные элементы плана. Задачу решают как невырожденную, а в последнем оптимальном плане Хk вместо пишут нули.
2. Вырожденный план получается при построении плана Хk+1 на базе Хk, если цепочка в плане Хk содержит не менее двух минимальных нечетных элементов. В таком случае в матрице Хk+1 полагают равным нулю только один из этих элементов, а остальные заменяют на , и далее решают задачу как невырожденную. Если на k-м шаге , то при переходе от Хk к Хk+1 значение целевой функции не изменяется, а в базис вводится элемент , для которого перевозка станет равной .
Пример 2. Решим Т-задачу со следующими условиями (см. Табл.6)
Проверим условие баланса
Предварительный этап. Методом минимального элемента строим начальный базисный план Х0 (Табл. 5)
Таблица 5
C = |
ai bj |
4 |
6 |
8 |
6 |
6 |
2(5) |
2(4) |
3(6) |
4(11) |
|
8 |
6(12) |
4(10) |
3(9) |
1(3) |
|
10 |
1(1) |
2(6) |
2(7) |
1(2) |
Так как m + n – 1 = 6; k = 4, то план х0 – вырожденный; l = m+ n -1 – k = 2.
Два нулевых элемента Х0 делаем базисными так, чтобы не нарушить условие опорности. Выберем в качестве базисных элементов , и положим их равными .
Схема перевозок для плана Х0 показана на рис. 6.
Для вычисления предварительных потенциалов выберем начальный пункт А1 и допустим, что . Потенциалы всех остальных пунктов вычисляем по формулам
,
Для проверки оптимальности плана х0 строим матрицу С1, элементы которой вычисляем по соотношению
Так как в матрице С1 элемент С23 = – 3 < 0, то план Х0 – неоптимальный.
Первая итерация. Второй этап.
* |
6* |
0 |
0 |
|
6 |
0 |
0 |
|||||||
X0 = |
0* |
* |
8 |
0+ |
X1 = |
0 |
0 |
6 |
|
|||||
4 |
0 |
0 |
6* |
1 = |
4 |
0 |
0 |
6 |
||||||
В результате построения Х1 в базис вводим. План Х1 является вырожденным (в цепочке есть два минимальных элемента). Поэтому один из этих элементов, например , в плане Х1 заменяем на .
Вторая итерация. Первый этап
|
0 |
2 |
2 |
0 |
0 |
-1 |
2 |
|||||||
С1 = |
2 |
0 |
|
-3 |
+3 |
С2 = |
5 |
3 |
0 |
0 |
||||
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
|||||||
-3 |
Второй этап.
|
6 |
0 |
0 |
|
6 |
0 |
0 |
|||||||
X1 = |
0 |
0 |
8* |
* |
X2 = |
0 |
0 |
2 |
6 |
|||||
4 |
0 |
0+ |
6* |
3 =min {8, 6}= 6 |
4 |
0 |
6 |
0 |
||||||
Третья итерация. Первый этап.
|
|
-1 |
2 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
3 |
||||||
С2 = |
5 |
3 |
|
|
С2 = |
4 |
2 |
0 |
0 |
|||||
|
1 |
-1 |
0 |
+1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
||||||
-1 |
-1 |
Так как в матрице С3 нет отрицательных элементов, план Х2 – оптимальный.
Венгерский метод для транспортной задачи
Рассмотренная выше задача о назначениях представляет собой частный случай Т-задачи, когда . Поэтому венгерский метод, применимый для решения транспортной задачи специального вида, можно распространить на общий случай Т-задачи.
Пусть требуется решить Т-задачу следующего вида
минимизировать
при условиях
Алгоритм решения Т-задачи, основанный на венгерском методе, состоит из предварительного этапа и конечного числа однотипных итераций.
В результате предварительного этапа вычисляют матрицу , элементы которой удовлетворяют следующим условиям:
, (1.3.1)
. (1.3.2)
Если в условиях (1.3.1), (1.3.2) строгие равенства, то матрица Х0 является решением Т-задачи.
Матрицу, построенную в результате k-й итерации, обозначим . Обозначим также
. (1.3.3)
Величина называется суммарной невязкой для матрицы . Она характеризует близость к искомому плану Т-задачи. Итерации проводятся до тех пор, пока величина не станет равна нулю.
Описание алгоритма Венгерского метода
Предварительный этап. В каждом из столбцов матрицы транспортных издержек отыскивают минимальный элемент, который вычитают из всех элементов этого столбца. Получают матрицу С'. Далее в каждой строке матрицы С' выбирают минимальный элемент и вычитают его из всех элементов рассматриваемой строки. Приходят к матрице С0 (С0 ~ C), все элементы которой неотрицательны, причем в каждой строке и столбце С0 имеем по крайней мере, один нуль. Строят матрицу Х0 так, чтобы ее ненулевые элементы были расположены в позициях нулей матрицы С0.
Пусть - номер строки, в которой расположен k-й нуль j-го столбца матрицы С0. Тогда элементы первого столбца матрицы Х0 определяют по рекуррентной формуле
(3.3.4)
Т.е. все элементы первого столбца , которым соответствуют ненулевые элементы в матрицы С0, заполняют нулями, а остальные элементы этого столбца заполняют по методу северо-западного угла.
Допустим, что столбцы Х0 от первого до (j-1) – го включительно уже заполнены. Тогда элементы j-го столбца определяют в соответствии с формулой
(3.3.5)
Если , то Х0 – оптимальный план Т-задачи. Если , то переходим к первой итерации.
(k+1) – я итерация. Каждая итерация состоит из двух или трех этапов. Итерация начинается первым этапом, а заканчивается вторым. Между первым и вторым этапами в общем случае несколько раз могут быть проведены третий и первый этапы.
Допустим, что уже проведено k итераций, причем . В этом случае необходимо, используя матрицы Сk и Хk, провести следующую (k+1) – ю итерацию. Перед началом итерации выделяют знаком '+' те столбцы матрицы Сk, для которых невязки по столбцам равны
.
Первый этап. Если все ненулевые элементы матрицы Сk окажутся в выделенных столбцах, то переходят к третьему этапу. В противном случае пусть некоторый невыделенный нуль находится в -й строке и в -м столбце. Тогда вычисляют значения невязки -й строки:
.
Возможен один из двух случаев: 1), 2). В первом случае -ю строку Сk отмечают знаком '+' справа от нее, а сам невыделенный нуль отмечают штрихом. Далее просматривают элементы -й строки, которые лежат в выделенных столбцах и ищут среди них существенные нули (напомним, что существенным нулем Сk называется такой элемент , для которого ). Если таким существенным нулем оказался элемент , а сам столбец – выделен, то знак выделения '+' над столбцом уничтожают, а сам этот нуль отмечают звездочкой.
Затем просматривают -й столбец и отыскивают в нем нуль (нули), расположенные в отличных от -й строках. Если такой нуль имеется, то отмечают его штрихом и анализируют невязку его строки.
Далее процесс поиска нулей и выделение их (штрихами или звездочками) продолжается аналогично, и за несколько шагов он заканчивается одним из следующих исходов:
1) найдем очередной невыделенный нуль матрицы Сk, для которого невязкая в строке . Тогда отметив его штрихом, переходим ко второму этапу;
2) все нули матрицы Сk оказались выделенными, причем для каждого из нулей, выделяемых штрихом, невязка . Тогда переходим к третьему этапу.
Во втором случае, отметив этот нуль штрихом, сразу переходим к третьему этапу.
Второй этап. Состоит в построении цепочки из нулей матрицы Сk, отмеченных штрихами и звездочками, и в последующем переходе к новой матрице Хk+1
Пусть для некоторого нуля со штрихом матрицы Сk, расположенного, например, в позиции (), невязка строки . Начиная с этого элемента , строят цепочку из отмеченных нулей матрицы Сk: двигаясь по столбцу , выбирают нуль со звездочкой , далее двигаясь от него по строке , находят нуль со штрихом . Потом движутся от него по столбцу 2 к следующему нулю со звездочкой и т.д. Такой последовательный переход от 0' к 0* по столбцу и от 0* к 0' по строке осуществляют до тех пор, пока это возможно.
Можно доказать, что процесс построения цепочки однозначный и законченный, цепочка не имеет циклов, начинается и заканчивается нулем со штрихом.
После того как цепочка вида
построена, осуществляют переход к матрице от матрицы Хk по формулам
(1.3.7)
где (1.3.8)
Таким образом, -минимальный элемент среди совокупности четных элементов цепочки, невязки строки, где начинается цепочка, и столбца, где она заканчивается.
Вычисляем невязку для
На этом (k+1) – я итерация заканчивается.
Третий этап. Итак, допустим, что все нули выделены. Третий этап заключается в переходе от матрицы Сk к эквивалентной матрице С′k, в которой появляется новый невыделенный нуль (или нули). Пусть , где минимум выбирают из всех невыделенных элементов матрицы Сk. Тогда из всех элементов невыделенных строк матрицы Сk вычитают h, а ко всем элементам выделенных столбцов прибавляют h. В результате получают матрицу С'k(С'k ~ Ck), в которой все существенные нули матрицы Сk остаются нулями, и кроме того, появляются новые невыделенные нули.
Далее переходят к первому этапу, и в зависимости от его результата либо переходят ко второму этапу, либо снова возвращаются к третьему этапу. За конечное число повторов пары этапов третий – первый обязательно перейдем ко второму этапу.
Если после выполнения второго этапа то Хk+1 – оптимальный план. В противном случае переходим к (k+2) итерации.
Отметим некоторые важные особенности венгерского метода.
Поскольку данный метод в отличие от метода потенциалов не использует опорных планов, то явление вырожденности плана для него отсутствует. Это устраняет возможность зацикливания, связанного с вырожденностью планов Т-задачи, которая облегчает программирование метода и его реализацию на ЭВМ.
Метод позволяет на каждой итерации по величине невязки оценить близость Хk к оптимальному плану, а также верхнюю границу необходимого числа оставшихся итераций Nост:
. (1.3.9)
Эта формула справедлива для целочисленных значений всех переменных и .
Список литературы
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа.
2. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Наука, 1976.
3. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. – М: Машиностроение, 1986. – 286 с.
4. Давыдов Э.Т. Исследование операций: Учебное пособие для студентов вузов. – М.: Высшая школа, 1990. – 383 с.
5. Ермолаев Ю.М. Математические методы исследования операций. – К.: Наука, 1979.
6. Кузнецов Ю.Н. Математическое программирование. – М.: Наука, 1976.
7. Минц М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. – М.: Наука, 1990.
8. Таха Х. Введение в исследование операций. – м.: Мир, 1985.
9. Толбатов Ю.А. Эконометрика в Excel. – К.: Четверта хвиля, 1997.