Приклади рішення задач з економетрії

ІНДУВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ

З ДИСЦИПЛІНИ

"Економетрія"

Задача №1

По приведеним даним побудувати і дослідити емпіричну лінійну економетричну модель залежності обсягу виробництва фірми від витрат на заробітну платню персоналу й вартості основних фондів (вихідні данні в умовних одиницях). Виконати наступні завдання.

Скласти матрицю вихідних даних.

Знайти оцінки:

коефіцієнтів моделі;

математичного чекання обсягу виробництва;

залишків моделі;

дисперсії залишків;

коефіцієнта детермінації.

Скласти прогноз середньорічного обсягу виробництва для фірми з витратами на заробітну платню 1,2 ум.од. і основними фондами 15 ум.од.

Обсяг середньорічного виробництва

Заробітна платня та вартість основних фондів

(для усіх варіантів)

РІШЕННЯ

По приведеним даним побудувати і дослідити емпіричну лінійну економетричну модель залежності обсягу виробництва фірми від витрат на заробітну платню персоналу й вартості основних фондів (вихідні данні в умовних одиницях). Виконати наступні завдання.

Скласти матрицю вихідних даних.

Знайти оцінки:

коефіцієнтів моделі;

математичного чекання обсягу виробництва;

залишків моделі;

дисперсії залишків;

коефіцієнта детермінації.

Скласти прогноз середньорічного обсягу виробництва для фірми з витратами на заробітну платню 1,2 ум.од. і основними фондами 15 ум.од.

Обсяг середньорічного виробництва

Заробітна платня та вартість основних фондів

Розв'язання

Усі вихідні данні зводимо в таблицю:

Складемо матрицю вихідних даних:

.

2.Економетричну модель запишемо у вигляді

,

Де y, - відповідно фактичні та розрахункові значення обсягу середньорічного виробництва за моделлю (регресант);

регресори (незалежні змінні):

х1 – допоміжний регресор (приймає одиничні значення);

х2 - витрати на заробітну платню персоналу;

х3 - вартість основних фондів;

u – залишки;

- оцінки параметрів моделі.

Для оцінки коефіцієнтів моделі використовуємо 1МНК.

Оператор оцінювання параметрів моделі за 1МНК має вигляд

де

; ; .

Матриця Х крім двох векторів незалежних змінних містить вектор одиниць. Він дописується в цій матриці ліворуч тоді, коли економетрична модель має вільний член.

Знайдемо транспоновану матрицю до матриці Х:

Знайдемо добуток Одержуємо

Знайдемо зворотну матрицю

Знайдемо вектор

.

Отримаємо шуканий вектор 1МНК-оцінок :

=.

Оцінена за допомогою 1МНК емпірична множинна регресія має вид

Отже, коли за всіх одинакових умов регресор х2 (витрати на заробітну платню персоналу) збільшується на одиницю, то регресант (обсяг середньорічного виробницьтва) також зменшується на 5,76 одиницю. Якщо за інших незмінних умов незалежна змінна х3 (обь'єм основних фондів) збільшується на одиницю, то залежна змінна збільшуеться на 0,42 одиниць.

Знайдемо прогнозні значення (математичне чекання) обсягу виробництва при даних у задачі значеннях зарплатні та вартості основних фондів:

Знайдемо оцінки залишків моделі дисперсії залишків , коефіцієнта детермінації

Складемо розрахункову таблицю.

У таблиці залишки обчислюються згідно з рівністю

,

а середнє значення регресанта підраховується слідуючім чином

.

Незміщена оцінка дісперсії залишків подається так:

3,4815, де n – кiлькiсть спостережень, k –

кiлькiсть незалежних змiнних.

З таблиці маємо дисперсію регресії

.

Обчислимо дисперсію регресанта:

Остаточно, коефіцієнт детермінації має значення

Коефіцієнт детермінаціі R2, близький до одиниці, що свідчить про те, що отримана багатомірна регресійна модель досить близька до даних, отриманим емпіричним шляхом і може бути використана для визначення обсягу середньорічного виробництва фірми по заданим витратам на заробітну платню персоналу й вартості основних фондів. Отриманий висновок підтверджує графік відповідності теоретичних і емпіричних даних.

3. Прогноз середньорічного виробництва для фірми з витратами на заробітну платню 1,2 ум.од. і основними фондами 15 ум.од складає

(ум.од.)

Задача №2

Построить линейную регрессионную модель зависимости расходов на единицу продукции от уровня фондоемкости продукции. Проинтерпретировать найденные параметры модели. Рассчитать остатки економетричной модель. Найти коэффициент эластичности расходов относительно фондоемкости продукции. Рассчитать прогноз расходов на единицу продукции, если фондоемкость равняется 95 усл.ед. Найти , дать экономическую интерпретацию.

Решение

В качестве регрессора Х принимаем фондоемкость продукции, регрессант Y – затраты на ед. продукции. Решим задачу 1МНК.

Эконометрическую модель (простую регрессионную модель) ищем в виде:

Составим расчетную таблицу

Параметры находим по формулам

Эконометрическая модель имеет вид:

.

Воспользуемся альтернативным способом вычисления параметров с помощью отклонений средних арифметических.

Составим расчетную таблицу.

Здесь средние значения переменных определяются из соотношений

Используя формулы, получим

a=54,2-0,5·100,8»3,8.

Окончательно, получим:

.

Количественная оценка параметра а=0,5 показывает, что среднее увеличение затрат при возрастании фондоемкости продукции на 1 усл.ед. составляет 0,5 усл.ед.

При построении эконометрической модели очень важным является вопрос о степени зависимости между регрессором и регрессантом, т.е. о тесноте связи между ними. Простейшим критерием, позволяющим получить количественную оценку влияния объясняющей переменной на объясняемую, является выборочный коэффициент корреляции (или просто коэффициент корреляции). Он рассчитывается по следующей формуле:

или, другая форма представления:

Из выражения видно, что коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит единицу, т.е. -1Ј rxy Ј 1. При этом, чем ближе |rxy| к единице, тем теснее связь. При rxy=± 1 корреляционная связь представляет собой линейную функциональную зависимость, а наблюдаемые значения располагаются на прямой линии. Если rxy=0, то считают, что корреляция отсутствует. Линия регрессии при этом параллельна оси абсцисс.

Принято считать, что связь между переменными высокая, если rxyі0,8, если 0,7Ј rxy <0,8, то связь считают средней, при 0,6Ј rxy<0,7 - связь заметная, а в остальных случаях (rxy<0,6) связь является низкой и следует пересмотреть выбор объясняющей переменной в рассматриваемом эконометрическом исследовании.

Коэффициент корреляции показывает, что связь между переменными в рассматриваемой задаче очень тесная.

3.4. Нелинейные модели

Простая регрессионная модель может быть нелинейна в двух смыслах:

регрессия не является линейной по объясняющей переменной, но линейна по оцениваемым параметрам;

регрессия не является линейной по оцениваемым параметрам.

Нелинейность по переменным всегда можно обойти, используя замену переменных, например,

выражение можно привести к линейному виду, используя подстановку:

Имеем линейное уравнение с тремя переменными :

.

Способ параметризации полученного многофакторного уравнения основывается на 1МНК и будет рассмотрен позднее.

аналогично можно преобразовать квадратичною функцию y=а+bx+cх2. Ее приводим к линейной с помощью замены: z1=x, z2=x2. Получим:

y=a+bz1+cz2. (3.22)

Следует отметить, что найти параметры квадратичной функции y=ах2+bx+c можно и не используя линеаризацию (3.22). Осуществить параметризацию можно с помощью непосредственного применения МНК, при этом получим следующую систему нормальных уравнений (индексы суммирования опущены):

(3.23)

Решить ее можно, например, с помощью метода Крамера (метода определителей).

Пример 3.2. Предполагается, что объем потребления некоторого товара имеет квадратичную зависимость от уровня дохода семьи в месяц (условные данные приведены в таблице). Требуется найти уравнение, выражающее эту зависимость.

Таблица 3.4

Решение.

Обозначим месячный семейный доход через регрессор х (тыс. грн.), а объем потребления товара – регрессант y (кг). Уравнение зависимости будем искать в виде

y=а+bx+cх2

Параметры модели a,b и c будем искать с помощью МНК. Расчеты приведем в таблице (столбцы 1-8):

Таблица 3.5

Данные полученные в таблице подставим в систему (3.23), получим

.

Решая ее методом Крамера, имеем:

Тогда,

Искомая модель имеет вид:

. (3.24)

Подставив последовательно в полученное уравнение (3.24) значения хi, получим теоретические значения (столбец 9). Как видно из таблицы 3.5 теоретические значения регрессанта близки по своему значению к эмпирическим данным yi, этот же факт подтверждают и малые значения остатков (столбец 10). Можно утверждать, что квадратичное уравнение (3.24) хорошо описывает рассматриваемый экономический процесс.

Проблема преобразования нелинейных по параметрам соотношений представляет особый интерес в эконометрических исследованиях. Этот класс нелинейных моделей можно подразделить на два типа1:

нелинейные модели внутренне линейные (те, которые с помощью элементарных преобразований можно свести к линейным);

нелинейные модели внутренне нелинейные (не могут быть сведены к линейным функциям).

К внутренне линейным можно отнести функции:

степенную

показательную

экспоненциальную y=ea+bx.

Перечисленные функции можно свести к линейным логарифмированием обеих частей выражения (обычно логарифмируют по основанию е).

Для степенной функции получим:

(3.25)

Если переопределить , и , то от соотношения (3.24) перейдем к линейному относительно переменных и параметров соотношению

. (3.25')

Таким образом, оценивая регрессию между логарифмом у и t, получаем оценку темпа прироста b.

Логарифмируя показательную функцию также получим линейное уравнение

. (3.26)

Замена: , и , имеем:

(3.27)

Преобразования экспоненциальной зависимости y=ea+bx аналогичны показательным (учитывая, что ):

(3.28)

Линейная модель

(3.29)

получается заменой .

После оценки параметров линейных моделей, полученных после соответствующих преобразований, можно вернуться к исходным моделям, используя обратную замену и последующее потенцирование.

Пример 3.3. Решить задачу 3.2. в предположении, что объем потребления товара и уровень дохода семьи в месяц имеют экспоненциальную зависимость.

Решение.

Уравнение зависимости между регрессором х и регрессантом у будем искать в виде экспоненциального уравнения y=ea+bx. После логарифмирования переходим к уравнению (3.28) , или, используя замену , к уравнению (3.29) .

Параметры линейной модели (3.29) будем искать по 1МНК. Для этого составим расчетную таблицу (столбцы 1-6):

Таблица 3.6

Подставив данные, полученные в первых шести столбцах таблицы в формулы (3.16) и (3.17), получим:

Получим

.

Потенцируя полученное выражение для , получим

или, окончательно,