Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Решения задач линейного программирования геометрическим методом

Решения задач линейного программирования геометрическим методом

5.4pt;">40

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Решение.

Обозначим через х1 количество единиц продукции Р1, а через х2 – количество единиц продукции Р2. Тогда, учитывая количество единиц сырья, расходуемое на изготовление продукции, а так же запасы сырья, получим систему ограничений:

1 + 5х2 ≤ 20

1 + 5х2 ≤ 40

1 + 6х2 ≤ 30

которая показывает, что количество сырья, расходуемое на изготовление продукции, не может превысит имеющихся запасов. Если продукция Р1 не выпускается, то х1=0; в противном случае x1 = 0. То же самое получаем и для продукции Р2. Таким образом, на неизвестные х1 и х2 должно быть наложено ограничение неотрицательности: х1 ≥ 0, х2 ≥ 0.

Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х1 и х2. Реализация х1 единиц продукции Р1 и х2 единиц продукции Р2 дает соответственно 50х1 и 40х2 руб. прибыли, суммарная прибыль Z = 50х1 + 40х2 (руб.)

Условиями не оговорена неделимость единица продукции, поэтому х1 и х2 (план выпуска продукции) могут быть и дробными числами.

Требуется найти такие х1 и х2, при которых функция Z достинает максимум, т.е. найти максимальное значение линейной функции Z = 50х1 + 40х2 при ограничениях

1 + 5х2 ≤ 20

1 + 5х2 ≤ 40

1 + 6х2 ≤ 30

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0.

Изобразим многоугольник решений данной задачи.

В ограничениях задачи поменяем знаки неравенства на знаки равенства.

Построим в программе Excel таблицы нахождения точек пересечения линий с осями координат (Рисунок 1) и график (Рисунок 2).

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Заштрихованная область, изображённая на рисунке, является областью допустимых значений функции Z. Т.к. целевая функция Z стремиться к max, то идя по направлению вектора n, получим точку C с оптимальным решением. Для определения ее координаты возьмем две прямые, на пересечении которых она образуется:

1 + 5х2 ≤ 40                х1 = 3,91,

1 + 6х2 ≤ 30,                х2 = 1,74. , т. е. C(3,91; 1,74)

максимальное значение линейной функции равно :

Zmax = 50*3,91 + 40*1,74 = 265,10.

Итак, Zmax = 265,10 при оптимальном решении х1 = 3,91, х2 = 1,74, т. е. максимальная прибыль в 1232,80 ден. ед. может быть достигнута при производстве 3,91единиц продукции P1 и 1,74 единиц продукции P2.

Ответ: Zmax = 265,10.

 

Задача № 3

Питательные вещества Число единиц питательных веществ в 1 кг корма Необходимый минимум питательных веществ
A B
S1 3 1 8
S2 1 2 9
S3 1 6 12
Минимальная стоимость за 1 кг корма, в руб.. 4 6 ?

Имеется два вида корма. A и B, содержащие вещества(витамины) S1, S2, S3. Содержание числа единиц питательных веществ в одном кг каждого вида корма и необходимый минимум самих питательных веществ даны в таблице:

Решение:

Пусть х1 и х2 – количество кормов вида А и В соответственно. В одном килограмме каждого вида корма содержится (3х1 + х2) единиц питательного вещества S1, (x1 + 2x2) - S2 и (x1 + 6x2) - S3. Так количество питательных веществ не должно быть меньше необходимого минимума, то запишем следующую систему неравенств:

1 + х2 ≥ 8,

x1 + 2x2 ≥ 9,

x1 + 6x2 ≥ 12,

x1, x2 ≥ 0.

Минимальную стоимость витаминов за 1 кг корма, выразим следующей функцией : F = 4x1 + 6x2 => min.

Изобразим многоугольник решений данной задачи.

В ограничениях задачи поменяем знаки неравенства на знаки равенства.

Построим в программе Excel таблицы нахождения точек пересечения линий с осями координат (Рисунок 1) и график (Рисунок 2).

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Выделенная область, изображённая на рисунке, является областью допустимых значений функции F. Точка В - оптимальное решение. Для определения ее координаты возьмем две прямые, на пересечении которых она образуется:

 x1 + 2x2 = 9,              x1 = 7,50,

x1 + 6x2 = 12,             x2 = 0,75.

Минимальное значение линейной функции равно :

Fmin = 4*7.5 + 6*0.75 = 34.50.

Итак, Fmin = 34.50 при оптимальном решении х1 = 7.50, х2 = 0.75.

Ответ: Fmin = 34,50.

 


Задача № 4

Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофточек шерсть, силикон и нитрон, запасы которых составляют 820, 430 и 310 кг. Количество пряжи каждого вида (в кг), необходимой для изготовления одного изделия, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице.

Вид сырья. Нормы расхода пряжи. Запас
Свитера. Кофточки.
Шерсть 0,4 0,2 820
Силон 0,2 0,1 430
Нитрон 0,1 0,1 310
Прибыль 7,8 5,6 ?

Определить план выпуска изделий, максимизирующий прибыль.

Решение.

Пусть х1 и х2 – норма расхода пряжи для свитеров и кофточек соответственно. Количество пряжи каждого вида (в кг), необходимой для изготовления одного изделия запишем в следующую систему неравенств:

0,4х1 + 0,2х2 ≤ 820,

0,2x1 + 0,1x2 ≤ 430,

0,1x1 + 0,1x2 ≤ 310,

x1, x2 ≥ 0.

Максимальная прибыль от реализации свитеров и кофточек выразим следующей функцией : F = 7,8x1 + 5,6x2 => max.

Изобразим многоугольник решений данной задачи.

В ограничениях задачи поменяем знаки неравенства на знаки равенства.

Построим в программе Excel таблицы нахождения точек пересечения линий с осями координат (Рисунок 1) и график (Рисунок 2).

Рисунок 1.


Рисунок 2.

Выделенная область, изображённая на рисунке, является областью допустимых значений функции F. Точка В - оптимальное решение. Для определения ее координаты возьмем две прямые, на пересечении которых она образуется:

0,4x1 + 0,2x2 = 820,           x1 = 1000,

0,1x1 + 0,1x2 = 310,            x2 = 2100.

Максимальное значение линейной функции равно :

Fmax = 7.8*1000 + 5.6*2100 = 19560.

Итак, Fmax = 19560 при оптимальном решении х1 = 1000, х2 = 2100.

Ответ: Fmax = 19560.

 

Задача № 5

На звероферме могут выращиваться чёрно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используются три вида кормов. Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.

Вид корма. Кол-во единиц корма, которое должны получать. Общее кол-во корма
Лисица Песец.
I 2 3 180
II 4 1 240
III 6 7 426
Прибыль 16 12 ?

 

Решение:

Пусть х1 и х2 – количество единиц корма, которые должны получать лисиа и песец, соответственно. Количество единиц каждого вида корма, необходимого для выращивания одного животного запишем в следующую систему неравенств:

1 + 3х2 ≤ 180,

4x1 + 1x2 ≤ 240,

6x1 + 7x2 ≤ 426,

x1, x2 ≥ 0.

Максимальная прибыль от реализации шкурок выразим следующей функцией : F = 16x1 + 12x2 => max.

Изобразим многоугольник решений данной задачи.

В ограничениях задачи поменяем знаки неравенства на знаки равенства.

Построим в программе Excel таблицы нахождения точек пересечения линий с осями координат (Рисунок 1) и график (Рисунок 2).

Рисунок 1.


Рисунок 2.

Выделенная область, изображённая на рисунке, является областью допустимых значений функции F. Точка С - оптимальное решение. Для определения ее координаты возьмем две прямые, на пересечении которых она образуется:

 x2 = 0, x1 = 60,

4x1 + x2 = 240,                  x2 = 0.

Максимальное значение линейной функции равно :

Fmax = 16*60 + 12*0 = 960.

Итак, Fmax = 960 при оптимальном решении х1 = 60, х2 = 0.

Ответ: Fmax = 960.


Заключение

В данной курсовой работе мною были освоены навыки решения задач линейного программирования геометрическим методом. Для этого я изучила теоретические сведения, необходимые для решения задач линейного программирования указанным методом. Я узнала, что данный метод применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно. Также я узнала, как строятся прямые на плоскости, для

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: