Расчет показателей эконометрики

Содержание


Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Список используемой литературы

Приложение


Задача 1


По регионам страны изучается зависимость ВРП на душу населения (y тыс. руб.) от инвестиций в основной капитал (x - тыс. руб.):

№ региона 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x, тыс. руб. 9,4 2,5 3,9 4,3 2,1 6,0 6,3 5,2 6,8 8,2
y, тыс. руб. 35,8 22,5 28,3 26,0 18,4 31,8 30,5 29,5 41,5 41,3

Задание

Постройте поле корреляции, характеризующее зависимость ВРП на душу населения от размера инвестиций в основной капитал.

Определите параметры уравнения парной линейной регрессии. Дайте интерпретацию коэффициента регрессии и знака при свободном члене уравнения.

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и поясните его смысл. Определите коэффициент детерминации и дайте его интерпретацию.

Найдите среднюю ошибку аппроксимации.

Рассчитайте стандартную ошибку регрессии.

С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом, а также его параметров. Сделайте вывод.

С вероятностью 0,95 постройте доверительный интервал ожидаемого значения ВРП на душу населения в предложении, что инвестиции в основной капитал составят 80% от максимального значения. Сделайте вывод.


Решение


Построение поля корреляции производится по исходным данным о парах значений ВРП на душу населения и инвестиций в основной капитал.


Расчет показателей эконометрики


Оценка параметров уравнения парной линейной регрессии производится обычным методом наименьших квадратов (МНК).

Для расчета параметров a и b линейной регрессии y = a + b*x решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:


Расчет показателей эконометрики


По исходным данным (табл. 1.1) рассчитываем Σy, Σx, Σyx, Σx2, Σy2.


Таблица 1.1 Расчетная таблица


y x yx x2 y2

Расчет показателей эконометрики

Расчет показателей эконометрикиРасчет показателей эконометрики

Аi
1 35,8 9,4 336,520 88,360 1281,640 41,559 -5,759 16,087
2 22,5 2,5 56,250 6,250 506,250 22,248 0,252 1,122
3 28,3 3,9 110,370 15,210 800,890 26,166 2,134 7,541
4 26,0 4,3 111,800 18,490 676,000 27,285 -1,285 4,944
5 18,4 2,1 38,640 4,410 338,560 21,128 -2,728 14,827
6 31,8 6,0 190,800 36,000 1011,240 32,043 -0,243 0,765
7 30,5 6,3 192,150 39,690 930,250 32,883 -2,383 7,813
8 29,5 5,2 153,400 27,040 870,250 29,804 -0,304 1,032
9 41,5 6,8 282,200 46,240 1722,250 34,282 7,218 17,392
10 41,3 8,2 338,660 67,240 1705,690 38,201 3,099 7,504
Итого 305,6 54,7 1810,790 348,930 9843,020 305,600 0 79,027
Среднее значение 30,56 5,47 181,079 34,893 984,302 - - -

Расчет показателей эконометрики

7,098 2,23 - - - - - -

Расчет показателей эконометрики

50,381 4,973 - - - - - -

Система нормальных уравнений составит


Расчет показателей эконометрики


Используем следующие формулы для нахождения параметров:


Расчет показателей эконометрики= 2,799

Расчет показателей эконометрики305,6 - 2,799*5,47 = 15,251


Уравнение парной линейной регрессии:


Расчет показателей эконометрики = 15,251 + 2,799* x


Величина коэффициента регрессии b = 2,799 означает, что с ростом инвестиций в основной капитал на 1 тыс. руб. доля ВРП на душу населения растет в среднем на 2,80 %-ных пункта.

Знак при свободном члене уравнения положительный, следовательно связь прямая.

Рассчитаем линейный коэффициент корреляции:


Расчет показателей эконометрики или Расчет показателей эконометрики

где Расчет показателей эконометрики, Расчет показателей эконометрики- средние квадратические отклонения признаков x и y, соответственно


Так как Расчет показателей эконометрики= 2,23, Расчет показателей эконометрики= 7,098, то

Расчет показателей эконометрики= 0,879, что означает тесную прямую связь рассматриваемых признаков


Коэффициент детерминации составит


Расчет показателей эконометрики= 0,773


Вариация результата (y) на 77,3% объясняется вариацией фактора (x). На долю прочих факторов, не учитываемых в регрессии, приходится 22,7%.

Средняя ошибка аппроксимации (Расчет показателей эконометрики) находится как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок


Расчет показателей эконометрики= Расчет показателей эконометрики=7,9%,


(см. последнюю графу расчетной табл. 1.1.).

Ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных (Расчет показателей эконометрики) и фактических (y) данных: среднее отклонение составляет 7,9%.

Стандартная ошибка регрессии рассчитывается по следующей формуле:


Расчет показателей эконометрики,


где m – число параметров при переменных x.

В нашем примере стандартная ошибка регрессии


Расчет показателей эконометрики= 3,782


6. Оценку статистической значимости построенное модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия для парного линейного уравнения регрессии определяется как


F = Расчет показателей эконометрики


где Сфакт = Расчет показателей эконометрики - факторная, или объясненная регрессия, сумма квадратов; Сост = Расчет показателей эконометрики- остаточная сумма квадратов;

Расчет показателей эконометрики- коэффициент детерминации.

В нашем примере F-критерий Фишера будет равен (см. приложение №1):


F = Расчет показателей эконометрики= 27,233


Табличное значение F-критерия при числе степеней свободы 1 и 8 и уровне значимости 0,05 составит: 0,05 F1,8 = 5,32, т. е. фактическое значение F (Fфакт = 27,233) превышает табличное (Fтабл = 5,32), и можно сделать вывод, что уравнение регрессии статистически значимо. Следовательно гипотеза Н0 отклоняется.

Чтобы оценить значимость отдельных параметров уравнения, надо по каждому из параметров определить его стандартные ошибки: mb и ma.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:


mb = Расчет показателей эконометрики=Расчет показателей эконометрики


где S2 – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле:


ma = Расчет показателей эконометрики.


Для нахождения стандартных ошибок строим расчетную таблицу (см. приложение №1).

Для нашего примера величина стандартной ошибки коэффициента регрессии составила:


mb =Расчет показателей эконометрики= 0,536.


Величина стандартной ошибки параметра a составила:

ma = Расчет показателей эконометрики = 3,168


Для оценки существенности коэффициента регрессии и параметра a их величины сравниваются с их стандартными ошибками, т. е. определяются фактические значения t-критерия Стьюдента:


tb =Расчет показателей эконометрики, ta = Расчет показателей эконометрики.


Для нашего примера


tb =Расчет показателей эконометрики = 5,222, ta = Расчет показателей эконометрики = 4,814


Фактические значения t-критерии превосходят табличные значения:


tb =5,222 > tтабл = 2,306; ta = 4,814 > tтабл = 2,306


Поэтому гипотеза Н0 отклоняется, т. е. a и b не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Для расчета точечного прогноза Расчет показателей эконометрики подставим в уравнение регрессии заданное значение факторного признака Расчет показателей эконометрики. Если прогнозное значение инвестиций в основной капитал составит:


Расчет показателей эконометрики = 9,4*0,8 = 7,52 тыс. руб


Тогда прогнозное значение ВРП на душу населения составит:

Расчет показателей эконометрики= 15,251 + 2,799* 7,52 = 36,299 тыс. руб.


Доверительный интервал прогноза определяется с вероятностью (0,95) как


Расчет показателей эконометрикиРасчет показателей эконометрики,


где tтабл – табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости Расчет показателей эконометрики(1-0,95) и числа степеней свободы (n-2) для парной линейной регрессии; Расчет показателей эконометрики - стандартная ошибка точечного прогноза, которая рассчитывается по формуле:


Расчет показателей эконометрики


В нашем примере стандартная ошибка прогноза составила


Расчет показателей эконометрики= 4,116


Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:


Расчет показателей эконометрики=Расчет показателей эконометрики = 2,306 * 4,116 = 9,491.


Доверительный интервал прогноза

γРасчет показателей эконометрики= 36,299 Расчет показателей эконометрики9,491;

γРасчет показателей эконометрикиmin = 36,299 – 9,491 = 26,808 тыс. руб.

γРасчет показателей эконометрикиmаx = 36,299 + 9,491 = 45,79 тыс. руб.


Выполненный прогноз ВРП на душу населения оказался надежным (р = 1 - Расчет показателей эконометрики= 0,95), но не точным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала Dγ составляет 1,708 раза:


Dγ = γРасчет показателей эконометрикиmаx / γРасчет показателей эконометрикиmin = 45,79 / 26,808 = 1,708.


Задача 2


Зависимость валовой продукции сельского хозяйства (y – млн. руб.) от валового производства молока (x1 – тыс. руб.) и мяса (x2 – тыс. руб.) на 100 га сельскохозяйственных угодий по 26 районам области характеризуется следующим образом:


Расчет показателей эконометрики= - 2,229 + 0,039* x1 + 0,303* x2 R2 = 0,956.


Матрица парных коэффициентов корреляции и средние значения:


y x1 x2 Среднее
y 1

25,8
x1 0,717 1
364,9
x2 0,930 0,489 1 45,3

Задание


Оцените значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера с вероятностью 0,95. Сделайте выводы.

Найдите скорректированный коэффициент множественной корреляции.

Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе и сделайте вывод.

Найдите частные средние коэффициенты эластичности и корреляции; сделайте выводы.

Постройте таблицу дисперсионного анализа для оценки целесообразности включения в модель фактора x2 после фактора x1, если известно, что Расчет показателей эконометрики= 1350,5.

Оцените значимость интервала при факторе x2 через t-критерий Стьюдента и дайте интервальную оценку коэффициента регрессии с вероятностью 0,95.

Найдите стандартную ошибку регрессии.


Решение


Оценку значимости уравнения регрессии в целом дает F-критерия Фишера:


Fфакт = Расчет показателей эконометрики


где m- число факторных признаков в уравнении регрессии; R – линейный коэффициент множественной корреляции.

В нашем примере F-критерий Фишера составляет


Fфакт = Расчет показателей эконометрики= 249,864

Fтабл = 3,42; α = 0,05.

Сравнивая Fтабл и Fфакт, приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу Н0, так как Fтабл = 3,42 < Fфакт = 249,864. С вероятностью 0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи R2.

Скорректированный коэффициент множественной корреляции находится как корень из скорректированного коэффициента множественной детерминации (R2 скорр):


R скор = Расчет показателей эконометрики=Расчет показателей эконометрики= Расчет показателей эконометрики= 0,976


Линейное уравнение множественной регрессии y от x1 и x2 имеет вид:


y = a + b1*x1 + b2*x2.


По условию оно нам дано:


Расчет показателей эконометрики= - 2,229 + 0,039* x1 + 0,303* x2


Построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:


ty = β1*tx1 + β2*tx2.


Расчет β-коэффициентов выполним по формулам:


β1 = Расчет показателей эконометрики= Расчет показателей эконометрики= 0,345;

β2 = Расчет показателей эконометрики= Расчет показателей эконометрики= 0,761.


Получим уравнение


ty = 0,345*tx1 + 0,761*tx2.


Для характеристики относительной силы влияния x1 и x2 на y рассчитаем средние коэффициенты эластичности:


Расчет показателей эконометрики;

Расчет показателей эконометрики= 0,552%; Расчет показателей эконометрики= 0,532%.


С увеличением валового производства молока x1 на 1% от его среднего уровня валовая продукция сельского хозяйства y возрастает на 0,55% от своего среднего уровня; при повышении валового производства мяса x2 на 1% валовая продукция сельского хозяйства y возрастает на 0,53% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния валового производства молока x1 на валовую продукцию сельского хозяйства y оказалась большей, чем сила влияния валового производства мяса x2, но правда не намного.

Частные коэффициенты корреляции рассчитываются по формуле:


Расчет показателей эконометрики = Расчет показателей эконометрики= 0,817,


т.е. при закреплении фактора x2 на постоянном уровне корреляция y и x1 оказывается более высокой (0,817 против 0,717);

Расчет показателей эконометрики = Расчет показателей эконометрики= 0,953,


т. е. при закреплении фактора x1 на постоянном уровне влияние фактора x2 на y оказывается более высокой (0,953 против 0,930);


Расчет показателей эконометрики = Расчет показателей эконометрики = - 0,692


Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.1.


Таблица 2.1

Вариация результата, y Число степеней свободы Сумма квадратов отклонений, S Дисперсия на одну степень свободы, s2 Fфакт

Fтабл

α =0,05,

k1 = 2,

k2 = 23

Общая Df = n-1 = 25 35113 - - -

Факторная

- за счет x1

- за счет дополнительного x2

k1 = m = 2

1

1

33568,028

18051,207

15516,821

16784,014

18051,207

15516,821

249,864

268,728

230,999

3,42

4,28

4,28

Остаточная k2 = n-m-1 = 23 1544,972 67,173 - -

Sобщ = Расчет показателей эконометрики= 1350,5 * 26 = 35113;

Sфакт = Расчет показателей эконометрики= 1350,5 * 26 * 0,956 = 33568,028;

Sфакт x1 =Расчет показателей эконометрики= 1350,5 * 26 * 0,7172 = 18051,207;

Sфакт x2 = Sфакт - Sфакт x1 = 33568,028 – 18051,207 = 15516,821;

Sост = Расчет показателей эконометрики= Sобщ - Sфакт = 35113 – 33568,028 = 1544,972;

Fфакт = Расчет показателей эконометрики = Расчет показателей эконометрики= 249,864;

Fфактx1 = Расчет показателей эконометрики= Расчет показателей эконометрики = 268,728;

Fчастнx2 = Расчет показателей эконометрики= Расчет показателей эконометрики = 230,999.

Расчет показателей эконометрики= 16784,014;

Расчет показателей эконометрики= 15516,821;

Расчет показателей эконометрики= 18051,207


Включение в модель фактора x2 после фактора x1 оказалось статистически значимым и оправданным: прирост факторной дисперсии (в расчете на одну степень свободы) оказался существенным, т. е. следствием дополнительного включения в модель систематически действующего фактора x2, так как Fчастнx2 = 230,999 > Fтабл = 4,28.

Оценка с помощью t-критерия Стьюдента значимости коэффициента b2 связана с сопоставлением его значения с величиной его случайной ошибки: mb2.

Расчет значения t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии линейного уравнения находится по следующей формуле:


Расчет показателей эконометрики= 15,199.


При α = 0,05; df = n-m-1 = 26-2-1 = 23; tтабл = 2,07. Сравнивая tтабл и tфакт, приходим к выводу, что так как Расчет показателей эконометрики= 15,199 > 2,07 = tтабл, коэффициент регрессии b2 является статистически значимым, надежным, на него можно опираться в анализе и в прогнозе.

Стандартная ошибка регрессии рассчитывается по следующей формуле:

Расчет показателей эконометрики = Расчет показателей эконометрики = 8,196.


Задача 3


Рассматривается модель вида


Расчет показателей эконометрики


где

Сt – расходы на потребление в текущий период,

Сt-1 – расходы на потребление в предыдущий период,

Rt – доход текущего периода,

Rt-1 – доход предыдущего периода,

Yt – инвестиции текущего периода.

Ей соответствует следующая приведенная форма (построена по районам области)


Расчет показателей эконометрики


Задание


Проведите идентификацию модели.

Укажите способы оценки параметров каждого уравнения структурной модели.

Найдите структурные коэффициенты каждого уравнения, если известны следующие данные:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Yt 4 4 6 10 9 8 7 6 8 12 8 16
Сt 14 13 15 20 20 14 16 12 12 21 12 17
Rt-1 15 14 16 22 26 18 18 15 19 28 18 26
Сt-1 12 11 12 15 17 12 14 10 11 20 12 16


Решение


Модель имеет три эндогенные Н (Сt, Yt, Rt). Причем переменная Rt задана тождеством. Поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых двух уравнений системы, которые необходимо проверить на идентификацию. Модель содержит две предопределенные D (Сt-1, Rt-1) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации.

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

I уравнение.


Н: эндогенных переменных – 2 (Сt, Rt), отсутствующих предопределенных переменных – 1 (Rt-1).

Следовательно, по счетному правилу D + 1 = H (1 + 1 = 2) уравнение идентифицируемо.


II уравнение.


Н: эндогенных переменных – 1 (Yt); переменная Rt в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной Rt-1.

отсутствующих предопределенных переменных – 1 (Сt-1).

Следовательно, по счетному правилу D + 1 > H (1 + 1 > 1) уравнение сверхидентифицировано.


III уравнение.

Третье уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель сверхидентифицируема по счетному правилу.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.


Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:


Сt Yt Rt Rt-1 Сt-1
I уравнение -1 0 b11 0 b12
II уравнение 0 -1 b21 -b21 0
III уравнение 1 1 -1 0 0

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 3-1=2.

I уравнение.


Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:

Уравнение Отсутствующие переменные

Yt Rt-1
Второе -1 -b21
Третье 1 0

Определитель матрицы не равен 0 (Det A = -1*0 – (1*-b21) Расчет показателей эконометрики0), ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации.

II уравнение.


Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:

Уравнение Отсутствующие переменные

Сt Сt-1
Первое -1 b12
Третье 1 0

Определитель матрицы не равен 0 (Det A = -1*0 – (1*b12) Расчет показателей эконометрики0.), ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации.

Первое уравнение идентифицируемое, следовательно, для его решения применяется косвенный метод наименьших квадратов.

Косвенный метод наименьших квадратов (МНК):

Составить приведенную форму модели и определить численные значения параметров каждого уравнения системы обычным МНК.

Путем алгебраических преобразований переходим от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели и получаем численные оценки структурных параметров.

Для решения второго уравнения, а оно у нас сверхидентифицируемое, применяется – двухшаговый метод наименьших квадратов.

Двушшаговый метод:

- Составить приведенную форму модели и определить численные значения параметров каждого уравнения системы обычным МНК.

- Выявляем эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находим расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

- Обычным МНК определяем параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

3. Найдем структурные коэффициенты первого и второго уравнений на основании исходных данных.

Составим расчетную таблицу (Rt = Ct + Yt ; обозначим d Rt = Rt - Rt-1).


Таблица 3.1 Расчетная таблица

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты:

Yt Ct Rt-1 Ct-1 Rt dRt Yt*dRt (dRt)2 (Rt)2 (Ct-1*Rt Ct*Rt (Ct-1)2 Ct*Ct-1
1 4 14 15 12 18 3 12 9 324 216 252 144 168
2 4 13 14 11 17 3 12 9 289 187 221 121 143
3 6 15 16 12 21 5 30 25 441 252 315 144 180
4 10 20 22 15 30 8 80 64 900 450 600 225 300
5 9 20 26 17 29 3 27 9 841 493 580 289 340
6 8 14 18 12 22 4 32 16 484 264 308 144 168
7 7 16 18 14 23 5 35 25 529 322 368 196 224