Корреляционный и регрессионный анализ

Содержание

1. Исходные данные

2. Решение задачи 1

3. Решение задачи 2

Вывод:

Список использованных источников

1. Исходные данные

Задание 1

1. Построить линейное уравнение парной регрессии;

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации;

3. Оценить статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).

Задание 2

1. Построить уравнение парной регрессии в виде нелинейной функции: степенной у = ахb, экспоненты у = аеbх, показательной у = abx, любой на выбор;

2. Для оценки параметров модель линеаризируется путем логарифмирования или потенцирования;

3. Определяется коэффициент эластичности и индекс корреляции;

4. Значимость определяется по критерию Фишера.

Исходные данные для решения задач приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Исходные данные

2. Решение задачи 1

Определим линейное уравнение парной регрессии.

Для этого составим и решим следующую систему уравнений:

;

.

;

.

Решая данную систему уравнений получаем:

а=81,232;

b=0,76.

Итого получаем:

Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 2.

Таблица 2 - Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации

На рисунке 1 представим поле корреляции.

Рисунок 1 - Поле корреляции

Оценим статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).

Определение коэффициента корреляции

Для определения коэффициента корреляции, определим дисперсию:

;

.

Определим коэффициент корреляции:

.

Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи

Определим коэффициент детерминации:

Это значит, что 61% вариации "у" объясняется вариацией фактор "х".

Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Определим F- критерий Фишера:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18 составляет Fтаб = 4,45.

Имеем F> Fтаб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.

Оценка статистической значимости параметров регрессии с помощью t-статистики Стьюдента

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df=n-2=20-2=18 и уровня значимости α=0,05 составит tтабл=1,743.

Определим стандартные ошибки:

;

;

.

Тогда

;

;

.

Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:

, поэтому параметры а, b, и rxy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Получаем доверительные интервалы:

и ;

и .

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=1-α=1-0,05=0,95 параметры а и b, находятся в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

3. Решение задачи 2

В качестве уравнения нелинейной функции примем показательную, т.е.

у = a∙bx.

Определим экспоненциальное уравнение парной регрессии

Для определения параметров а и b прологарифмируем данное уравнение:

ln(у) =ln(а)+ x∙ln(b),

Произведем следующую замену: А= ln(а), B= ln(b).

Составим и решим систему уравнений:

;

.

;

.

Решая данную систему уравнений получаем:

А=4,436 следовательно a=84,452;

B= 0,0067 следовательно b=1,0067.

Итого получаем

.

Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 3.

Таблица 3 - Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации

На рисунке 3 представим поле корреляции.

Рисунок 2 - Поле корреляции

Определяется коэффициент эластичности и индекс корреляции

Определим коэффициент эластичности

,

где

,

следовательно при изменении фактора"х" на 1% от своего среднего значения, "у" изменится на 0,334 % от своей средней величины.

Определение индекс корреляции

.

Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи

Определим индекс детерминации:

Это значит, что 63,5% вариации "у" объясняется вариацией фактор "х".

Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Определим F- критерий Фишера:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18 составляет Fтаб = 4,45.

Имеем F> Fтаб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.

Вывод

В результате проведенного корреляционного анализа исходных данных была выявлена функциональная зависимость между значениями "х" и "у", то есть: . Данная зависимость обладает максимальным значением индекса корреляции и детерминации, а так же F-критерия Фишера.

Список использованных источников

1. Учебно-методическое пособие к изучению курса "Статистика". Н.Н. Щуренко, Г.В. Девликамиова: Уфа, 2004.- 55с.

2. Эконометрика для начинающих. Основные понятия, элементарные методы, границы применимости, интерпретация результатов В.П. Носко: Москва, 2000. - 249с.

3. Эконометрика. И.И. Елисеева: Москва "Финансы и статистика", 2003.- 338с.

4. Общая теория статистики. Н.М. Виноградова, В.Т. Евдокимов, Е.М. Хитарова, Н.И. Яковлева: Москва,1968.- 381с.