Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Экономико–математические методы в управлении

Экономико–математические методы в управлении

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА


кафедра экономики


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА


по дисциплине «Экономико – математические методы в управлении»

вариант №30


КАЛИНИНГРАД

2008

Задание


Задание 1.2.

Смесь можно составить из n продуктов Сj (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij. Цена единицы j-го продукта равна сj. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.


C1

C2

C3

bi

cj

9 6 7

a1j

7 5 8 70

a2j

8 2 3 40

a3j

9 6 7 50

Задание 2.2.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

Экономико–математические методы в управленииmaxZ = 3.6x1 – 0.2x12 + 0.8x2 – 0.2x22

2x1 + x2 ≥ 10

x12 -10x1 + x2 ≤ 75

x2 ≥ 0


Задание 3.1.

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

требуется профилактический ремонт;

требуется замена отдельных деталей и узлов;

требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;

вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;

заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.

Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.



П1

П2

П3

a

13 9 15

b

20 12 11

c

18 10 14

q

0.3 0.45 0.25

λ = 0.7

Задание 1.2.

Смесь можно составить из n продуктов Сj (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij. Цена единицы j-го продукта равна сj. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.


C1 C2 C3 bi
cj 9 6 7
a1j 7 5 8 70
a2j 8 2 3 40
a3j 9 6 7 50

Экономико–математические методы в управленииСмесь, минимальная по стоимости:

7x1 + 5x2 + 8x3 ≥ 70

8x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 40

9x1 + 6x2 + 7x3 ≥ 50

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0

F = 9x1 + 6x2 + 7x3 → min

После транспонирования матрицы элементов aij, cсимметричная двойственная задача будет иметь вид:

S(y1,y2,y3) = 70y1 + 40y2 + 50y3 → max , при ограничениях:

Экономико–математические методы в управлении7y1 + 8y2 + 9y3 ≥ 9

5y1 + 2y2 + 6y3 ≥ 6

8y1 + 3y2 + 7y3 ≥ 7

y1 ≥ 0; y2 ≥ 0; y3 ≥ 0


Для решения двойственной задачи линейного программирования симплекс – методом, приведём систему неравенств к виду системы уравнений:

Экономико–математические методы в управлении7y1 + 8y2 + 9y3 + y4 ≥ 9

5y1 + 2y2 + 6y3 + y5 ≥ 6

8y1 + 3y2 + 7y3 + y6 ≥ 7

y1≥0;y2≥0;y3≥0;y1≥0;y2≥0;y3≥0

S(y1,y2,y3) = 70y1 + 40y2 + 50y3 → max

По правилу соответствия переменных, базисным переменным прямой задачи соответствуют свободные переменные двойственной задачи:

Экономико–математические методы в управленииЭкономико–математические методы в управленииЭкономико–математические методы в управленииЭкономико–математические методы в управленииЭкономико–математические методы в управленииЭкономико–математические методы в управленииx1 x2 x3 x4 x5 x6


y1 y2 y3 y4 y5 y6


Первая симплексная таблица:

Базис Сб А0

y1

70

y2

40

y3

50

y4

0

y5

0

y6

0

y4 0 9 7 8 9 1 0 0
y5 0 6 5 2 6 0 1 0
y6 0 7 8 3 7 0 0 1


0 -70 -40 -50 0 0 0

Вторая симплексная таблица:

Базис Сб А0

y1

70

y2

40

y3

50

y4

0

y5

0

y6

0

y4 0 23/8 0 43/8 23/8 1 0 -7/8
y5 0 13/8 0 1/8 13/8 0 1 -5/8
y1 70 7/8 1 3/8 7/8 0 0 1/8


245/4 0 -55/4 45/4 0 0 35/4

Третья симплексная таблица:

Базис Сб А0

y1

70

y2

40

y3

50

y4

0

y5

0

y6

0

Y2 40 23/43 0 1 23/43 8/43 0 -7/43
y5 0 67/43 0 0 67/43 -1/43 1 -26/43
y1 70 29/43 1 0 29/43 -3/43 0 8/43


2950/43 0 0 800/43 110/43 0 280/43

В последней таблице в строке Δ нет отрицательных элементов. В соответствии с критерием оптимальности точка максимума Smax = 2950/43 достигнута при значениях: y1 = 29/43; y2 = 23/43; y3 = 0.

По теореме двойственности: Fmin = Smax = 2950/43.

На основании правила соответствия между переменными, оптимальное решение прямой задачи:

Экономико–математические методы в управленииЭкономико–математические методы в управленииЭкономико–математические методы в управленииy4 x1 = 110/43 y5 x2 = 0 y6 x3 = 280/43

Ответ: В смесь минимальной стоимости 2950/43 целесообразно включить 110/43 единиц продукта C1, 280/43 единиц продукта C3, а продукт C2 не включать.

Задание 2.2.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

maxZ = 3.6x1 – 0.2x12 + 0.8x2 – 0.2x22

Экономико–математические методы в управлении2x1 + x2 ≥ 10

x12 -10x1 + x2 ≤ 75

x2 ≥ 0


В данной задаче имеется нелинейная целевая функция с нелинейной системой ограничений. Графическая схема позволит определить положение точки оптимума.

Сначала необходимо преобразовать формулу целевой функции так, чтобы получить её графическое отображение. Воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена относительно x1 и x2, разделив левую и правую части формулы на -0.2:

-5Z = x12 -18x1 + x22 – 4x2

Добавим к левой и правой частям уравнения числа, необходимые для выделения полных квадратов двучлена в правой части выражения:

92 и 22 в сумме составляют 85:

85 – 5Z = (x1 – 9)2 + (x2 – 2)2

В результате получилась формула, позволяющая графически изобразить целевую функцию в виде линии уровня на плоскости X1OX2. Данные линии уровня представляют собой окружности с общим центром в точке O (9;2). Данная точка является точкой абсолютного экстремума целевой функции.

Для определения характера экстремума нужно провести анализ целевой функции на выпуклость/вогнутость. Для этого необходимо определить вторые частные производные и составить из них матрицу:

Экономико–математические методы в управленииЭкономико–математические методы в управлении

Z”x1x1 Z”x1x2 = -0.4 0

Z”x2x1 Z”x2x2 0 -0.4


Определим знаки главных миноров данной матрицы.

Главный минор первого порядка -0.4 < 0.

Главный минор второго порядка 0.16 > 0.

Т.к. знаки миноров чередуются, функция Z - строго вогнута. Экстремум вогнутых функций – max, следовательно в точке О у целевой функции находится абсолютный максимум.

Для построения области допустимых значений преобразуем второе неравенство системы ограничений:

x12 – 10x1 + x2 ≤ 75

x12 – 10x1 + 25 + x2 ≤ 100

(x1 – 5)2 + x2 ≤ 100

(x1 – 5)2 ≤ 100 – x2

Уравнение (x1 – 5)2 = 100 – x2 выразим через переменные x1* и x2*:

Экономико–математические методы в управленииx1* = x1 – 5

x2* = 100 – x2

Уравнение примет вид: x1*2 = x2*.

В системе координат X1*O*X2* данное уравнение является каноническим уравнением параболы.


Экономико–математические методы в управлении



На рисунке область допустимых значений – ограниченная часть плоскости ABCD. Из полученного графика видно, что точка абсолютного максимума Z лежит внутри ОДР. Следовательно, целевая функция принимает максимальное значение в этой точке:

max Z = Z(O) = Z(9;2) = 17


Задание 3.1

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

1) требуется профилактический ремонт;

2) требуется замена отдельных деталей и узлов;

3) требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;

вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;

заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.

Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.


П1 П2 П3
a 13 9 15
b 20 12 11
c 18 10 14
q 0.3 0.45 0.25

λ = 0.7

Составим платёжную матрицу, в которой Пj – состояния оборудования, Аi – альтернативы принятия решений:


П1 П2 П3
А1 -13 -9 -15
А2 -20 -12 -11
А3 -18 -10 -14

Для принятия оптимального решения в случае а). воспользуемся критерием Байеса; в случае б). критерием Лапласа; в случае в). критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

а). на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний: q1 = 0.3; q2 = 0.45; q3 = 0.25

Критерий Байеса.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `ai = ∑aijЧqj

`a1 = -11.7 `a2 = -14.15 `a3 = -13.4


П1 П2 П3 `ai
А1 -13 -9 -15 -11.7
А2 -20 -12 -11 -14.15
А3 -18 -10 -14 -13.4
qj 0.3 0.45 0.25

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max ai = `a1 = -11.7 – первая альтернатива оптимальна в случае известных вероятностей наступления событий при выборе решения по критерию Байеса.

б). имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

Критерий Лапласа.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `ai = 1/3∑aij

`a1 = -12.3 `a2 = -14.3 `a3 = -14


П1 П2 П3 `ai
А1 -13 -9 -15 -12.3
А2 -20 -12 -11 -14.3
А3 -18 -10 -14 -14

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max ai = `a1 = -12.3 – первая альтернатива оптимальна в случае равной вероятности наступления событий при выборе решения по критерию Лапласа.

в). о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

Критерий Вальда.

Для каждой альтернативы определим наихудший исход. di – минимальный элемент строки. Из наихудших исходов выбираем наилучший, т.е. максимальный di.



П1 П2 П3 di
А1 -13 -9 -15 -15
А2 -20 -12 -11 -20
А3 -18 -10 -14 -18

max di = d1 = -15 – первая альтернатива оптимальна по критерию Вальда.

Критерий Сэвиджа.

Для каждого столбца находим максимальный элемент βj.


П1

П2

П3

А1

-13 -9 -15

А2

-20 -12 -11

А3

-18 -10 -14
βj -13 -9 -11

Построим матрицу рисков, элементы которой: rij = βj - aij




max ri
0 0 4 4
7 3 0 7
5 1 3 5

В матрице рисков в каждой строке найдём максимальный риск, и из них выберем минимальный: min r = r1 = 4 – первая альтернатива оптимальна по критерию Сэвиджа.

Критерий Гурвица.

Для каждой строки находим минимальный di и максимальный βj.



П1 П2 П3 di βj χi
А1 -13 -9 -15 -15 -9 -13.2
А2 -20 -12 -11 -20 -11 -17.3
А3 -18 -10 -14 -18 -10 -15.6

χi = λ Ч di + (1 – λ) Ч βj λ = 0.7

Максимальный из элементов последнего столбца: max χi = χ1 = -13.2 – первая альтернатива оптимальна по критерию Гурвица.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: