Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Критерии оптимальности в эколого-математических моделях

Критерии оптимальности в эколого-математических моделях

(7)

где - функция Лапласа, .

С помощью этой формулы решается задача определения доверительной вероятности рд по известным данным .

Функция Лапласа  выражает зависимость от . Обратная выражает зависимость  от . При ,  имеем

 (8)

С помощью формулы (8) и обратной функции Лапласа решается задача определения доверительного интервала  по известным рд и  и необходимого числа испытаний по известным рд и .

При решении первой задачи согласно (8) определяется .При решении второй задачи согласно (8) определяется , а затем N.

Для проведения тестирования СП обычно приводят к стандартному виду. Для случая двоичной ноль - единичной последовательности это достигается перекодировкой исходной последовательности в симметричную -1,1- ю последовательность в соответствии с правилом

.

Здесь - элементы стандартной и исходной последовательностей соответственно.


3.2  Определение математического ожидания

Оценка математического ожидания  как экспериментальное (выборочное) значение первого начального момента случайной величины X равна

,

В тоже время оценка среднего всей генеральной совокупности значений случайной величины определяется из выражения 

,  (9)

где - независимые случайные величины с одинаковыми, т.е. с числовыми характеристиками, равными истинным, но неизвестным априори, их значениям.

Математическое ожидание погрешности оценки среднего равно

.  (10)

Дисперсия погрешности оценки среднего равна

. (11)

Среднее квадратическое отклонение оценки математического ожидания

.  (12)

Как видно из (10,11) оценка (9) – несмещенная, состоятельная и эффективная.

Выражения (8-12) могут быть положены в основу определения требуемого размера выборки для обеспечения заданных значений доверительного интервала погрешности и доверительной вероятности. Так, имея требования к величине доверительного интервала  и доверительной вероятности  и принимая гипотезу о гауссовом характере распределения погрешности оценивания , т.е. возможности определения доверительной вероятности в виде , из выражения (8) определяем требуемое значение среднего квадратического отклонения погрешности оценки . Вместе с тем из выражения (12) следует, что среднее квадратическое значение погрешности оценки среднего случайной величины связано со значениями СКО  и объемом выборки N следующей зависимостью:

,

откуда, приравнивая правые части последних равенств, окончательно определяем выражение для расчета требуемого объема выборки

.

Здесь значение СКО случайной величины может задаваться априорно, либо определяться экспериментально по выборке меньшего чем N объема.

Определение оценки дисперсии и ее среднего квадратического отклонения

Оценка дисперсии как экспериментальное значение второго центрального момента случайной величины X может быть вычислена по формуле

.

Так как значение априори неизвестно, то принимают и тогда

.  (13)

Математическое ожидание погрешности оценки равно

,  (14)

 что означает, что оценка (14) является смещенной.

 Смещение пропорционально Dx и обратно пропорционально N. Это означает, что оценка Dx, полученная согласно (14), - состоятельная.

Смещение устраняется с переходом к .

При этом вместо (13) имеем

.  (15)

При больших значениях N результаты расчета по формулам (13) и (15) практически будут одинаковыми.

Выражение для дисперсии оценки (15), равной дисперсии погрешности , при нормальном виде закона распределения X (для худшего случая) можно получить следующее [1-3]:

.  (16)

Зависимость среднего квадратического отклонения от его точного значения определяется выражением

.


3.3Определение корреляционного момента и коэффициента корреляции


Экспериментальное значение корреляционного момента Rxy как оценка смешанного центрального момента m11 системы двух случайных величин равно

Так как значения Мх,  Му неизвестны, то принимают ,  и тогда

ИЛИ

(17)

Погрешность оценки

  (18)

Математическое ожидание погрешности (18)

Это означает, что оценка (17) - смещена и равна

.  (19)

Можно показать, что она является и состоятельной.

Смещение устраняется с переходом от  к .  При

этом вместо (17) имеем

. (20)

Для дисперсии оценки (17), равной дисперсии  погрешности (18), можно получить [1-3]

, (21)

где  - четвертый смешанный центральный момент системы (X Y). При Y = X выражения (20) и (21) превращаются в (15), (16). Если система (X Y) распределена нормально, то  и согласно (21)

Так как значения Rxy, Dx, Dy неизвестны, то практически используется приближение

.  (22)

Среднее квадратическое значение погрешности (18) равно среднему квадратическому отклонению оценки (20):

. (23)

Оценка коэффициента корреляции определяется согласно

. (24)
Если оценки ,  получены в результате одной серии наблюдений, а оценка  – в результате другой, то их погрешности    ,  – независимые случайные величины, являющиеся аргументами линейной функции:

 . (25)

Значение  рассчитывается согласно (15), доверительный интервал  – по формуле (8).


3.4 Определение вероятности события


Экспериментальное значение вероятности Р некоторого события - это частость [1-3]

,  (26)

причем число п появлений события в серии из N испытаний можно рассматривать как сумму N независимых случайных слагаемых:

,  (27)

каждое из которых может принимать только два значения 1 и 0 с вероятностями  P и 1 – P.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Xi:

. (28)

Погрешность оценки (26) равна

.  (29)
Математическое ожидание погрешности и ее дисперсия:

.  (30)

Таким образом, оценка (26) - несмещенная и состоятельная. Среднее квадратическое отклонение оценки (26)

.

На практике принимают

. (31)


3.5 Определение законов распределения случайной величины


Экспериментальное определение законов распределения случайных величин сводится к определению оценок вероятностей, математических ожиданий, дисперсий и средних квадратических отклонений [1-3].

Если  случайная величина X - дискретная,  то определяются ,  и оценки  значений функции вероятности  или оценки  значений функции распределения .

Если случайная величина X - непрерывная, то определяются Мх , Dх и оценки fx(x), Fx(x) плотности вероятности fx(x) и функции распределения Fx(x).

При оценивании законов распределения непрерывной случайной величины процесс обработки экспериментальных данных - реализаций х ,...,xN,, начинается с выбора границ а и b > а интервала, заключающего возможные значения X, и деления этого интервала на k равных элементарных промежутков с = (b - a)/ k.

При расчете с значения а и b следует для удобства округлять,

принимая, например, вместо b = 3,341, а = -2,63 значения 3,4 и -2,7. Во всех случаях округление производится в сторону увеличения разности b- а. Значение k выбирается в пределах от 8 до 20. Удобно принять k= 10.

После этого определяют границы  всех элементарных промежутков и составляют таблицу (табл.1), в которой х'0=а, x'k=b. Значение  - это число реализаций X, оказавшихся в пределах j-ого интерва­ла от , до . Значения и :

 (32)
. (33)

При группировке реализаций X по отдельным интервалам может оказаться что некоторые из них придутся точно на границу двух смежных промежутков. В этих случаях необходимо прибавить к чис­лам и  смежных интервалов по 1/2.

Таблица 1

 …    …     …     …  

По данным таблицы могут быть построены эмпирические гистограмма и график функции распределения.

Затем возникает весьма сложная задача подбора аналитического закона распределения, достаточно хорошо согласующегося с результатами эксперимента.

Основанием для выбора аналитического выражения плотности вероятности fx(x) могут служить соображения о том, чтобы простейшие числовые характеристики теоретической случайной величины были равны экспериментальным значениям этих характеристик. Если, например, теоретический закон определяется двумя параметрами, то их выбирают так, чтобы совпали два момента ().


3.6 Критерий интервальных оценок


Располагая результатами эксперимента согласно (31) рассчитывают средние квадратические отклонения:


.  (34)

Согласно (8) рассчитываются доверительные интервалы

и границы изменения ВВХ

,  (35)

соответствующие доверительной вероятности и .

Располагая  выбранным аналитическим выражением плотности вероятности fx(x), рассчитываются теоретические значения:

 

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: