Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Классический метод наименьших квадратов

Классический метод наименьших квадратов

Размещено на /

Алтайский институт труда и права (филиал)

Академии труда и социальных отношений

Финансово-экономический факультет


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине Эконометрика

на тему

Классический метод наименьших квадратов


Студента 3 курса 681 группы

Бахтеевой Татьяны Михайловны


2010


Метод наименьших квадратов (МНК) – один из наиболее широко используемых методов при решении многих задач восстановления регрессионных зависимостей1. Впервые МНК был использован Лежандром в 1806 г. для решения задач небесной механики на основе экспериментальных данных астрономических наблюдений. В 1809 г. Гаусс изложил статистическую интерпретацию МНК и тем самым дал начало широкого применения статистических методов при решении задач восстановления регрессионных зависимостей. Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости метода наименьших квадратов даны А.А. Марковым и А.Н. Колмогоровым. Ныне способ представляет собой один из важнейших разделов математической статистики и широко используется для статистических выводов в различных областях науки и техники.

Приведу краткое описание данного метода. Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки. Применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений. В настоящее время широко применяется при обработке количественных результатов естественнонаучных опытов, технических данных, астрономических и геодезических наблюдений и измерений.

Можно выделить следующие достоинства метода:

а) расчеты сводятся к механической процедуре нахождения коэффициентов;

б) доступность полученных математических выводов.

Основным недостатком МНК является чувствительность оценок к резким выбросам, которые встречаются в исходных данных.

Рассмотрю применение классического метода наименьших квадратов для нахождения неизвестных параметров уравнения регрессии на примере модели линейной парной регрессии. Пусть подобрана эмпирическая линия, по виду которой можно судить о том, что связь между независимой переменной и зависимой переменной линейна и описывается равенством:


Классический метод наименьших квадратов(1)


Необходимо найти такие значения параметров Классический метод наименьших квадратов и Классический метод наименьших квадратов, которые бы доставляли минимум функции (1), т. е. минимизировали бы сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений результативного признака Классический метод наименьших квадратов от теоретических значений Классический метод наименьших квадратов (значений, рассчитанных на основании уравнения регрессии):


Классический метод наименьших квадратов(2)


При минимизации функции (1) неизвестными являются значения коэффициентов регрессии Классический метод наименьших квадратов и Классический метод наименьших квадратов Значения зависимой и независимой переменных известны из наблюдений.

Для того чтобы найти минимум функции двух переменных, нужно вычислить частные производные этой функции по каждой из оцениваемых параметров и приравнять их к нулю. В результате получаем стационарную систему уравнений для функции (2):


Классический метод наименьших квадратов

регрессивный оценка обработка результат

Если разделить обе части каждого уравнения системы на (-2), раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим систему:


Классический метод наименьших квадратов


Эта система нормальных уравнений относительно коэффициентов Классический метод наименьших квадратови Классический метод наименьших квадратовдля зависимости


Классический метод наименьших квадратов


Решением системы нормальных уравнений являются оценки неизвестных параметров уравнения регрессии Классический метод наименьших квадратов и Классический метод наименьших квадратов:


Классический метод наименьших квадратов

Классический метод наименьших квадратов


Где Классический метод наименьших квадратов - среднее значение зависимого признака;

Классический метод наименьших квадратов- среднее значение независимого признака;

Классический метод наименьших квадратов- среднее арифметическое значение произведения зависимого и независимого признаков;

Классический метод наименьших квадратов- дисперсия независимого признака;

Классический метод наименьших квадратов- ковариация между зависимым и независимым признаками.

Рассмотрим применение МНК на конкретном примере.

Имеются данные о цене на нефть Классический метод наименьших квадратов(долларов за баррель) и индексе акций нефтяной компании Классический метод наименьших квадратов (в процентных пунктах). Требуется найти эмпирическую формулу, отражающую связь между ценой на нефть и индексом акций нефтяной компании исходя из предположения, что связь между указанными переменными линейна и описывается функцией вида


Классический метод наименьших квадратов


Зависимой переменной Классический метод наименьших квадратов в данной регрессионной модели будет являться индекс акций нефтяной компании, а независимой Классический метод наименьших квадратов- цена на нефть.

Для нахождения коэффициентов Классический метод наименьших квадратов и Классический метод наименьших квадратов построим вспомогательную таблицу (1).


Таблица 1.

Таблица для нахождения коэффициентов Классический метод наименьших квадратови Классический метод наименьших квадратов

Классический метод наименьших квадратов


Запишем систему нормальных уравнений исходя из данных таблицы:


Классический метод наименьших квадратов


Решением данной системы будут следующие числа:


Классический метод наименьших квадратов


Таким образом, уровень регрессии, описывающее зависимость между ценой на нефть и индексом акций нефтяной компании, можно записать как:


Классический метод наименьших квадратов


На основании полученного уравнения регрессии можно сделать вывод о том, что с изменением цены на нефть на 1 денежную единицу за баррель индекс акций нефтяной компании изменяется примерно на 15, 317 процентных пункта.

Метод наименьших квадратов является наиболее распространенным методом оценивания параметров уровня регрессии, и применим только для линейных относительно параметров моделей или приводимых к линейным с помощью преобразования и замены переменных2.


Список использованной литературы:


Крянев А.В. Применение современных методов математической статистики при восстановлении регрессионных зависимостей на ЭВМ. Учебное пособие. М.: 1988. С. 4.

Мамаева З.М. Математические методы и модели в экономике. ч 2. Учебное пособие. Н. Новгород.: 2010. С 17

Эконометрика. Конспект лекций. Яковлева А.В. М.: Эксмо, 2008.С. 126.

Размещено на

1 Крянев А.В. Применение современных методов математической статистики при восстановлении регрессионных зависимостей на ЭВМ. Учебное пособие. М.: 1988. 4 с.

2 Мамаева З.М. Математические методы и модели в экономике. ч 2. Учебное пособие. Н.Новгород.: 2010. С 17

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: