Решение задач симплекс-методом

ЗАДАЧА 1

Составить модель оптимального выпуска продукции для цеха кондитер­ской фабрики. Виды выпускаемой продукции (М), виды основного сырья (П) и его запасы, нормы расхода сырья на единицу, уровни прибыли приведены в таб­лице. Рассчитать план и провести его анализ.

Содержание задачи.

Цех кондитерской фабрики вырабатывает три ассортиментные группы конфет, условно обозначенные М₁, М₂, М₃ /в ед./.

Для их производства используются основные виды ресурсов /сырья/ трех видов, условно названных П₁, П₂, П₃ /в ед./.

Расход каждого ресурса на производство единицы продукции является за­данной величиной, определяется по рецептуре и обозначается символами а₁₁, a₁₂..., а₃₃, где а - норма расхода, первая подстрочная 1 – номер ресурса, вторая подстрочная 1, 2, 3 – номер ассортиментной группы конфет.

Наличие каждого ресурса для производства всех, групп конфет принимает­ся как известная величина и обозначается символами в₁, в₂, в₃.

Прибыль на продукцию также принимается как известная величина и обо­значается символами c₁, c₂, с₃.

Перечисленные параметры являются величинами известными и выражают­ся в единых единицах измерения, кроме прибыли. Прибыль или другой какой показатель, являющийся критерием оптимальности, выражается в единицах из­мерения дохода /например, прибыли/, получаемого от производства единицы продукции в денежном или другом каком-нибудь выражении.

Поскольку решение задачи заключается в поиске такого плана производст­ва, который обеспечивал бы в принятых условиях наибольший доход, принима­ются те величины, которые являются неизвестными и обозначающими количест­ва каждой группы конфет, включаемых в план производства: x₁ для M₁; х₂ для М₂; х₃ для М₃.

Экономико-математическая модель в символическом виде.

Система ограничений

Целевая функция /суммарный доход/ F = с₁х₁ + с₂х₂ + с₃х₃ = мах

Условия неотрицательности неизвестных х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃ ≥ 0

Символическая модель, наполненная численной информацией, будет иметь следующий вид:

2x₁ + 4x₂ + 3x₃ ≤ 266

1x₁ + 3x₂ + 4x₃ ≤ 200

3x₁ + 2x₂ + 1x₃ ≤ 303

Прибыль от реализации выпускаемой продукции должна быть максималь­ной, то есть F = 20х₁ + 24х₂ + 28х₃ = max;

Решение задачи.

Для решения задачи симплексным методом неравенства преобразуются в эквивалентные равенства путем добавления в каждое неравенство по одному до­полнительному неизвестному с коэффициентом + 1 и нулевым уравнением при­были. Для удобства расчетов левые и правые части уравнений меняются места­ми. В этом случае исходные неравенства примут вид симплексных уравнений:

266 = 2x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 1x₄

200 = 1x₁ + 3x₂ + 4x₃ + 1x₅

303 = 3x₁ + 2х₂ + 1x₃ + 1x₆

F = 20х₁ + 24х₂ + 28х₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆

Коэффициенты при неизвестных записываются в симплексной таблице, в которой выполняются расчеты и отражаются полученные результаты.

Исходная таблица

В столбцах таблицы записывают: в первом (C_j) – прибыль единицы про­дукции, которая вводится в план выпуска; во втором (Р₀) – неизвестные, вклю­чаемые в план; в третьем (Х₀) – свободные величины; в остальных – коэффици­енты при неизвестных уравнений. В верхней части этих столбцов отражаются коэффициенты при неизвестных целевой функции.

В нижней строке (целевой) записываются получаемые расчетным путем показатели: в столбце х₀ – суммарная прибыль планового выпуска, в остальных столбцах – прибыль единицы продукции с отрицательным знаком.

В последних трех столбцах коэффициенты при дополнительных неизвест­ных, равные единице, расположены по диагонали. Эта часть таблицы, называе­мая единичной подматрицей, необходима для вычислительных и аналитических целей.

При решении задач на максимум целевой функции наличие в целевой строке отрицательных чисел указывает на возможность начала или продолжения решения задачи. Порядок решения таков: из отрицательных чисел целевой строки выбирается наибольшее по модулю. Столбец, в котором оно находится, принимается за ключевой (или разрешающий) и для удобства расчетов выделя­ется. В нашем примере таким столбцом будет Х₃, имеющий в целевой строке наибольшую по модулю величину -28.

1-ая итерация

Затем элементы столбца Х₀ (свободные величины) делят на соответствую­щие коэффициенты ключевого столбца и полученные результаты сопоставляют между собой. Строка с наименьшим отношением принимается за ключевую и также для удобства выделяется. В нашем случае 266/3 = 88,7; 200/4 = 50; 303/1 = 303. Наименьшее отношение 50 имеет срока х₅, она и будет ключевой. Ключевой элемент 4.

Далее элементы таблицы преобразуются и записываются в новую таблицу. Первоначально преобразуют элементы ключевой строки путем деления их на ключевой элемент. Преобразованные элементы записывают в том же самом месте.

В столбцах Р_о и C_j занимают место вводимая в план неизвестная х₃ с при­былью 28 (итерация 1-я). Остальные элементы преобразуются по следующему правилу:

- для преобразуемого элемента в его столбце находят элемент ключевой строки, а в его строке - элемент ключевого столбца;

- соответствующие элементы ключевой строки и ключевого столбца пере­множаются и полученное произведение делят на ключевой момент;

- частное от деления вычитают из значения элемента, которое он имел до преобразования, и полученный результат будет преобразованным элементом, ко­торый записывается в новую таблицу в том же самом месте. Следуя этому пра­вилу, преобразование элементов столбца х₀ будет:

Включение на первой итерации в план неизвестной х₃ обеспечит сумму прибыли 1400 руб.

Решение задачи продолжается, так как в целевой строке два отрицатель­ных элемента. Наибольший по модулю элемент -13. Он находится в столбце х₁, который принимается за ключевой, а ключевой строкой будет х₆ (116:1,3=92,8; 50:0,3=200; 253:2,8=92), ключевым элементом 2,8. Элементы таблицы преобра­зуются в том же порядке по изложенному правилу и записываются в новую таб­лицу.

2-я итерация

В последней таблице целевая строка имеет только положительные элемен­ты. Это значит, что составленный план оптимален и дальнейшее улучшение его невозможно.

Как видно из таблицы, оптимальный план предусматривает выпуск про­дукции П₁ 27 ед. (х₁ = 27), П₃ 92 ед. (х₃ = 92), дополнительного неизвестного П₄ 1 ед. (х₄ = 1). П₂ и дополнительные неизвестные в план не вошли, следовательно, х₂ = 0, х₅ = 0 х₆ = 0. Подставив значения неизвестных в уравнения, получим:

2 * 92 + 4 * 0 + 3 * 27 + 1 = 266

1 * 92 + 3 * 0 + 4 * 27 + 0 = 200

3 * 92 + 2 * 0 + 1 * 27 + 0 = 303

F = 20 * 92 + 24 * 0 + 27 * 28 = 2596

Анализ оптимального плана.

а) Запасы сырья трех видов используются не полностью, так как х₄ = 1, а х₅ = х₆ = 0.

б) Рассмотрим элементы матрицы.

От выпуска продукции II следует отказаться.

Элементы столбца х₅ показывают, что увеличение запасов сахара на I ед. (х₅ = 1) позволит увеличить выпуск продукции III вида на 0,3 ед. Сумма прибыли увеличится на 5,8 руб.

Элементы столбца х₆ показывают, что увеличение запасов жира на I ед. (х₆ = 1) позволит уменьшить выпуск только продукции III вида на 0,1 ед. (27 - 0.1) Сумма при­были увеличится на 4,7 руб.

Снижение запасов сырья приводит к изменениям выпуска продукции и суммы прибыли в обратном порядке.

Элементы целевой строки оптимального плана называются двойственными оценками, которые определяют величину изменения прибыли при изменении за­пасов сырья на I ед.

ЗАДАЧА 2

Требуется определить минимальную по стоимости смесь сырья для изго­товления пищевых концентратов, которые должны содержать питательные ве­щества (П). Эти вещества содержаться в сырье (М) в различных сочетаниях. Со­держание питательных веществ в сырье и готовом продукте, а также цена на ка­ждый вид сырья показаны в таблице.

Виды используемого сырья условно обозначены через М₁, М₂, М₃; содер­жание питательных веществ в сырье и готовом продукте обозначены П₁, П₂, П₃, П₃.

Исходные условия задачи выражаются неравенствами:

1х₁ + 1х₂ + 0х₃ ≥ 50

4х₁ + 1х₂ + 3х₃ ≥ 140

1х₁ + 4х₂ + 1х₃ ≥ 127

0х₁ + 3х₂ + 2х₃ ≥ 80

F = 8х₁ + 12х₂ + 10х₃ = min

Умножив обе части неравенств на -1, получим систему с другим направле­нием знака неравенств:

-1х₁ - 1х₂ - 0х₃ ≥ -50

-4х₁ - 1х₂ - 3х₃ ≥ -140

-1х₁ - 4х₂ - 1х₃ ≥ -127

0х₁ - 3х₂ - 2х₃ ≥ -80

F = 8х₁ + 12х₂ + 10х₃ = min

Преобразуем неравенства в эквивалентные равенства с помощью дополни­тельных неизвестных. Симплексные уравнения будут следующими:

-50 = -1х₁ - 1х₂ - 0х₃ + 1х₄ + 0х₅ + 0х₆ + 0х₇

-140 = -4х₁ - 1х₂ - 3х₃ + 0х₄ + 1х₅ + 0х₆ + 0х₇

-127 = -1х₁ - 4х₂ - 1х₃ + 0х₄ + 0х₅ + 1х₆ + 0х₇

-80 = 0х₁ - 3х₂ - 2х₃ + 0х₄ + 0х₅ + 0х₆ + 1х₇

F = 8х₁ + 12х₂ + 10х₃ + 0х₄ + 0х₅ + 0х₆ + 0х₇ = min

Записанные уравнения отличаются от тех, которые нами рассматривались выше, тем, что коэффициенты при основных неизвестных и свободные члены имеют отрицательные знаки.

Решение таких задач производится двойственным симплексным методом. Система симплексных уравнений записывается в таблице.

Элементы целевой строки рассчитывают по обычным правилам и получа­ют отрицательные знаки.

В отличие от вычислительной процедуры основного симплексного метода решение задач двойственным методом выполняется в обратном порядке.

В итоговом столбце свободные числа имеют отрицательные знаки. Это яв­ляется свидетельством того, что данный план нельзя считать допустимым, так как он противоречит экономическому смыслу. План можно считать допустимым только тогда, когда в итоговом столбце не будет отрицательных чисел.

Ликвидация отрицательных чисел в итоговом столбце начинается с наи­большего по абсолютной величине. В нашем примере таким числом является (-140). Строка х₅, в которой находится это число, принимается за ключевую и со­ответственно выделяется.

Определив ключевую строку, находим ключевой столбец. Для этого нужно элементы целевой строки разделить на элементы ключевой строки и из получен­ных отношений выбрать наименьшее. Столбец, имеющий наименьшее отноше­ние, принимается за ключевой и так же как ключевая строка, выделяется.

Столбцы х₁, х₂, х₃ будут иметь следующие отно­шения:

Наименьшее отношение имеет столбец х₁, он и будет являться ключевым.

Определив ключевую строку, ключевой столбец и ключевое число, по обычным правилам преобразуются все элементы матрицы и записываются в но­вой таблице.

1-я итерация

После преобразования элементов в итоговом столбце осталось еще три от­рицательных числа в строке х₄, х₆ и х₇. Наибольшим по абсолютной величине яв­ляется число в строке х₆. Эта строка будет принята за ключевую для последую­щего расчета. Ключевой столбец определяется по наименьшему отношению эле­ментов целевой строки к элементам ключевой строки. Им будет столбец х₂. Вво­дим этот вид сырья в программу вместо неизвестного х₆. По общим правилам преобразуем элементы матрицы.

2-я итерация

После преобразования элементов в итоговом столбце осталось еще одно отрицательное число в строке х₇. Эта строка будет принята за ключевую для по­следующего расчета. Ключевой столбец определяется по наименьшему отноше­нию элементов целевой строки к элементам ключевой строки. Им будет столбец х₃. Вводим этот вид сырья в программу вместо неизвестного х₇. По общим пра­вилам преобразуем элементы матрицы.

В таблице записаны преобразованные числа, полученные на 3-й итерации. В итоговом столбце все отрицательные числа исчезли, значит полученный план является допустимым и одновременно оптимальным. Вывод о том, что план по­лучен оптимальный, позволяют сделать элементы целевой строки. Все они отри­цательны или равны нулю, что свидетельствует об оптимальности результата при решении задач на минимум целевой функции.

3-я итерация

Подставив значения неизвестных в исходные неравенства, получаем:

1 * 26,3 + 1 * 24,3 + 0 * 3,6 ≥ 50

4 * 26,3 + 1 * 24,3 + 3 * 3,6 ≥ 140

1 * 26,3 + 4 * 24,3 + 1 * 3,6 ≥ 127

0 * 26,3 + 3 * 24,3 + 2 * 3,6 ≥ 80

Стоимость сырья при этом будет минимальной и составит:

F = 8 * 26,3 + 12 * 24,3 + 12 * 3,6 = 537,2

ЗАДАЧА 3

Составить оптимальный план перевозок пищевых продуктов от 4-х по­ставщиков к 6-ти потребителям. Поставщики (П), потребители (М), объемы вы­воза и завоза, кратчайшие расстояния между пунктами вывоза и завоз приведены в таблице.

Решение задачи начинается с распределения у имеющихся у поставщиков объемов вывоза между потребителями с учетом объемов завоза. Для первоначального распределения используются способы: северо-западного угла, наименьшего элемента по строке, наименьшего элемента по столбцу, наименьшего элемента матрицы.

Способ северо-западного угла состоит в том, что распре­деление объемов вывоза производится, начиная с верхнего лево­го угла таблицы и кончая нижним углом ее. Результаты распреде­ления показаны в таблице.

Проверка плана на оптимальность. Когда исходный план получен и рассчитана соответствующая ему суммарная тонно-километровая работа, определяют, является ли этот план оптимальным. Для проверки плана на оптимальность применяется метод потенциалов.

Сущность метода потенциалов состоит в том, что для каж­дой строки и каждого столбца таблицы (матрицы) определяют спе­циальные числа, называемые потенциалами. С помощью этих потен­циалов можно установить, нужно ли заполнять свободную клетку матрицы или ее нужно оставить незаполненной.

Для решения задач методом потенциалов исходный план дол­жен иметь количество заполненных клеток m + n – 1 (m - число строк, n - число столбцов). Если план не отвечает этим требованиям, то не для всех строк и столбцов можно рассчи­тать потенциалы, а без них нельзя проверить план на оптималь­ность.

Потенциалы строк и столбцов определяются по заполненным клеткам, находящимся на их пересечении.

Элемент заполненной клетки должен равняться сумме потен­циалов строки и столбца, на пересечении которых находится эта заполненная клетка.

Для начала вычислений первый потенциал для строки или столбца принимается условно равным нулю, все остальные потенциалы определяются с помощью элементов заполненных клеток.

Обозначив потенциалы строк u_i, потенциалы столбцов Vj, элементы заполнения клеток , можно записать порядок расчета потенциалов для общего случая.

Из основного требования = u_i + Vj вытекает:

u_i = - Vj; Vj = - u_i

Из этих выражений видно, что для расчета потенциала строки необходимо иметь заполненную клетку, в столбце которой потенциал уже определен, а для расчета потенциала столбца нужна заполненная клетка, имеющая потенциал в строке.

Потенциалы показаны в таблице.

После того, как по строкам и столбцам определены потенциа­лы, с их помощью выясняется, является ли план оптимальным, и если нет, то как его можно улучшить. С этой целью для каждой свободной клетки вычисляется сумма потенциалов строк и столбцов, на пересечении которых находится эта клетка.

Сравнение суммы потенциалов с величиной элемента в свобод­ных клетках позволяет определить, нужно ли заполнять эту клетку или ее нужно оставить свободной.

При решении задач на минимум функционала (в нашем случае на минимум тонно-километровой работы) не заполняются те свобод­ные клетки, в которых сумма потенциалов меньше величины эле­мента (в нашем случае - расстояния).

Иными словами, если характеристика, значение которой равно разности - (u_i + Vj), положительная, то свободная мет­ка не заполняется при решении задачи на минимум функции.

Свободные клетки, имеющие нулевое значение характеристики, показывают на то, что их заполнение приведет к перераспределению поставок, но объем работ (значение функционала) останется неиз­менным.

Суммы потенциалов, значения элементов и характеристики для незаполненных клеток приведены в таблице.

В первоначальном плане шесть клеток имеют положительные характеристики, в девяти клетках характеристики отрицательные.

Так как задача решается на минимум целевой функции, то именно эти отрицательные клетки должны быть заполнены поставщиками. Но заполнение свободной клетки и связанное с ним пере­распределение поставок производится не изолированно, а в связи с несколькими заполненными клетками. Эта связь выявляется путем построения замкнутых многоугольников, вершинами которых явля­ются клетки таблицы. Одна вершина многоугольника находится в свободной клетке, а все остальные - в заполненных клетках. Многоугольник, или как его называют цепь, имеет прямые углы и четное число вершин.

В результате перераспределения в каждой вершине (клетке) цепи происходит изменение величины поставок: в одних клетках они увеличиваются, в других - уменьшаются.

Те клетки цепи, у которых поставки увеличиваются, называ­ются положительными, а те, у которых поставки уменьшаются - отрицательными. Каждая цепь имеет одинаковое число положитель­ных и отрицательных вершин (клеток). Положительные и отрица­тельные вершины чередуются. Если свободную клетку, в которую предполагается произвести запись, принять как положительную (поскольку изменение произойдет в сторону увеличения), то сле­дующая клетка будет отрицательной, затем опять положительной, снова отрицательной, и т.д.

Из свободных клеток для заполнения выбирают обычно клетку, которая имеет наибольшую отрицательную характеристику. В нее записывают самую наименьшую величину из отрицательных вершин цепи.

+П4М1 -П1М1 +П1М2 -П2М2 +П2М4 -П3М4 +П3М5 -П4М5

+П2М5 -П4М5 +П4М1 -П1М1 +П1М4 -П2М4

+П2М5 -П4М5 +П4М1 -П1М1 +П1М4 -П2М4

+П3М2 -П1М2 +П1М4 -П2М4 +П2М5 -П3М5

+П4М3 -П2М3 +П2М5 -П4М5

+П2М1 -П2М3 +П4М3 -П4М1