Математическое моделирование финансовых операций

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Туле

Факультет финансово-кредитный

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Финансовая математика

Вариант №6.

Тула-2009 г.

Содержание:

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Список использованной литературы

Задание №1

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах, табл. 1.1) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Таблица 1.1

Исходные данные

Требуется:

Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3, α2=0,6, α3=0,3.

Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;

нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1) Модель Хольта-Уинтерса имеет вид:

где k – период упреждения, k=1;

at, bt, Ft — коэффициенты модели;

L — период сезонности, L=4.

Адаптация к новому значению параметра времени t коэффициентов модели Хольта-Уинтерса производится по формулам

Для оценки начальных значений a0 и b0 применим линейную модель к первым 8-ми значениям заданного ряда (табл. 1.2.)

Таблица 1.2

Расчет параметров линейной модели a0 и b0

Расчет a0 и b0 произведем по формулам:

Таким образом, линейная модель имеет вид

.

Подставив фактические значения времени, найдем

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности F-3; F-2; F-1; F0 по формулам:

1. Тогда для момента времени t=0, и k=1 имеем

2. Для t=1, k=1,

3. Для t=2, k=1,

4. Для t=3, k=1,

5. Для t=4, k=1,

6. Для t=5, k=1,

7. Для t=6, k=1,

8. Для t=7, k=1,

9. Для t=8, k=1,

10. Для t=9, k=1,

11. Для t=10, k=1,

12. Для t=11, k=1,

13. Для t=12, k=1,

14. Для t=13, k=1,

15. Для t=14, k=1,

16. Для t=15, k=1,

17. Для t=16, k=1

Сведем полученные данные с таблицу (табл. 1.3.)

адаптивный мультипликативный коммерческий сглаживание

Таблица 1.3

Расчетные данные по модели Хольта-Уинтерса

2) Оценим точность построенной модели Хольта-Уинтерса с использованием средней относительной ошибки аппроксимации, которую найдем по формуле (расчеты произведем в табл. 1.3. графы 7,8)

Так как средняя относительная ошибка аппроксимации А меньше 5%, то модель точная.

3) Проверим адекватность модели.

а) Для адекватной модели характерно равенство математического ожидания ряда остатков 0. Проверка осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчеты произведем в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Проверка адекватности модели

где

Сравним tрасч с табл t0,05; 15= 2,13. Т.к. 1,67<2,13, то на уровне значимости α=0,05 гипотеза о том, что математическое ожидание ряда остатков Et=0 принимается.

б) Проверим условие случайности уровней остаточной компоненты по критерию пиков.

р=10, т.к. р>q (10>6), то условие случайности уровней остаточной компоненты выполняется.

в) Проверку независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) проведем с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Расчеты произведем в табл. 1.4.

Т.к. d1<dp=1,37=d2, то для проверки независимости уровней ряда остатков используем первый коэффициент автокорреляции.

rтабл=0,34, так как r1<rтабл (0,31<0,34), то автокорреляция уровней ряда остатков отсутствует.

г) Проверку соответствия ряда остатков нормальному закону распределения выполним по R/S-критерию.

3 < 3,38< 4,21

d1<R/S<d2, значит условие подчинения ряда остатков нормальному закону распределения выполняется.

Так как все 4 условия выполнены, то модель является адекватной и ее можно использовать для прогнозирования.

4) Построим точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отобразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные (Рис. 1).

Задание №2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

экспоненциальную скользящую среднюю;

момент;

скорость изменения цен;

индекс относительной силы;

%R, %К, %D.

Расчеты проводить для тех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных (табл. 2.1.).

Рис. 1.1 График

Табл. 2.1

Исходные данные

Решение:

1) Рассчитаем экспоненциальную скользящую среднюю по формуле

, где

ЕМАt — значение экспоненциальной скользящей средней текущего дня t;

Сt — цена закрытия t-го дня;

k – коэффициент,

;

n – интервал сглаживания, n=5.

Отобразим полученные данные на графике (рис. 2.1.)

Рис. 2.1 График цен закрытия и ЕМА

На основании графика (рис. 2.1.) нельзя сделать выводов, так как графики цен закрытия и ЕМА не пересекаются.

2) Найдем момент по формуле

, где

Сt – цена закрытия текущего дня;

Ct-n – цена закрытия торгового дня n дней назад.

Построим график

Рис. 2.2 График изменения момента МОМt.

График МОМt не пересекает нулевую линию, поэтому нет сигналов ни к покупке, ни к продаже акций, однако положительные значения МОМt свидетельствуют об относительном росте цен.

3) Найдем скорость изменения цен по формуле

Отобразим на графике (рис. 2.3.)

Рис. 2.3 График изменения скорости изменения цен ROCt.

График ROC (рис. 2.3.) нигде не пересекает уровень 100%, что означает, что нет сигналов ни к покупке, ни к продаже.

4) Найдем индекс относительной силы торгов по формуле

, где

AU – сумма приростов конечных цен за n дней;

AD – сумма убытков за n дней.

Таблица 2.2

Расчет значений параметров RSI

Построим график индекса относительной силы торгов RSI (рис. 2.4).

Рис. 2.4 График индекса относительной силы торгов RSI

Из графика RSI (рис. 2.4.) видно, что индекс относительной силы входит в «зону перекупленности» (от 80 до 100) на 9-й день. Значит, цены сильно выросли, надо ждать падения и подготовиться к продаже. Сигналом к продаже будет служить момент выхода графика RSI из «зоны перекупленности».

5) Рассчитаем осцилляторные индексы %R, %К, %D по формулам

, где

Kt, Rt, Dt – значения индексов текущего дня t;

H5 (L5) – максимальная (минимальная) цена за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Расчеты произведем в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Расчет значений осцилляторов %Rt, %Kt, %Dt.

;

;

; ;

; ;