Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Задание 1


Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a1=0,3; a2=0,6; a3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;

нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Таблица 1

Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 13 14 15 16
Y(t) 28 36 43 28 31 40 49 30 34 44 52 33 39 48 58 36

Решение

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство, (1)

где k – период упреждения;

Yр(t) — расчетное значение экономического показателя для t-гo периода;

a(t), b(t) и F(t) - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

F(t+k-L) - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L=12).

Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство; (2)

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство; (3)

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство. (4)

Параметры сглаживания a1, a2 и a3 подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

Из формул 1 - 4 видно, что для расчета а(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t=1-1=0). Значения а(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель имеет вид:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство. (5)

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а(0) и b(0) по формулам 6 - 9:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство; (6)

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство; (7)

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство; (8)

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство. (9)

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения а(0) и b(0). Составим вспомогательную таблицу для определения параметров линейной модели:

Таблица 2

t Y(t) t-tcp Y-Ycp (t-tcp)2 (Y-Ycp)(t-tcp)
1 28 -3,5 -7,625 12,25 26,6875
2 36 -2,5 0,375 6,25 -0,9375
3 43 -1,5 7,375 2,25 -11,0625
4 28 -0,5 -7,625 0,25 3,8125
5 31 0,5 -4,625 0,25 -2,3125
6 40 1,5 4,375 2,25 6,5625
7 49 2,5 13,375 6,25 33,4375
8 30 3,5 -5,625 12,25 -19,6875
S 36 285 0 0 42 36,5

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Yp(t)=31,714+0,869·t. Из этого уравнения находим расчетные значения Yр(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1 - 4.

Таблица 3

Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t)

t 1 2 3 4 5 6 7 8
Y(t) 28 36 43 28 31 40 49 30
Yp(t) 32,583 33,452 34,321 35,190 306,060 36,929 37,798 38,667

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Yр(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/Yр(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

F(-3) = [ Y(1) / Yp(1) + Y(5) / Yp(5) ] / 2=[ 28 / 32,583 + 31 / 36,060 ] / 2 = 0,8595.

Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

F(-2) = [Y(2) / Yp(2) + Y(6) / Yp(6) ] / 2 = 1,0797;

F(-1) = [Y(3) / Yp(3) + Y(7) / Yp(7) ] / 2 = 1,2746;

F(0) = [Y(4) / Yp(4) + Y(8) / Yp(8) ] / 2 = 0,7858.

Оценив значения а(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 1 - 4.

Из условия задачи имеем параметры сглаживания a1=0,3; a2=0,6; a3=0,3. Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=l.

Из уравнения 1, полагая что t=0, k=1, находим Yр(1):

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительствоИз уравнений 2 - 4, полагая что t=1, находим:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство.

Аналогично рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=2:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;

для t=3:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;

для t=4:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;


для t=5:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Обратим внимание на то, что здесь и в дальнейшем используются коэффициенты сезонности F(t-L), уточненные в предыдущем году (L=4):

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство;

Продолжая аналогично для, t = 6,7,8,…,16 строят модель Хольта-Уинтерса (табл. 4). Максимальное значение t, для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). В нашем примере данные приведены за 4 года, то есть за 16 кваралов. Максимальное значение t равно 16.

Таблица 4

Модель Хольта-Уинтерса

t Y(t) a(t) b(t) F(t) Yp(t)

Абс.погр.,

E(t)

Отн.погр.,

%

1 2 3 4 5 6 7 8
0
31,71 0,87 0,7858


1 28,0 32,58 0,87 0,8594 28,01 -0,01 0,02
2 36,0 33,42 0,86 1,0782 36,11 -0,11 0,32
3 43,0 34,11 0,81 1,2661 43,69 -0,69 1,60
4 28,0 35,14 0,87 0,7924 27,44 0,56 1,99
5 31,0 36,03 0,88 0,8600 30,95 0,05 0,16
6 40,0 36,97 0,90 1,0805 39,80 0,20 0,51
7 49,0 38,11 0,97 1,2778 47,94 1,06 2,17
8 30,0 38,72 0,86 19 30,97 -0,97 3,24
9 34,0 39,57 0,86 0,8596 34,04 -0,04 0,11
10 44,0 40,51 0,88 1,0839 43,68 0,32 0,73
11 52,0 41,19 0,82 1,2687 52,90 -0,90 1,73
12 33,0 42,07 0,84 0,7834 32,84 0,16 0,47
13 39,0 43,64 1,06 0,8800 36,88 2,12 5,43
14 48,0 44,58 1,02 1,0796 48,45 -0,45 0,95
15 58,0 45,64 1,03 1,2700 57,85 0,15 0,25
16 36,0 46,45 0,97 0,7783 36,56 -0,56 1,56

Проверка качества модели

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Yp(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 5.

Проверка точности модели

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%·abs{E(t)}/Y(t)) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. 8 табл. 4) составляет 21,25, что дает среднюю величину 21,25/16 = 1,33%.

Следовательно, условие точности выполнено.

Таблица 5

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

Квартал, t Отклонение, E(t) Точки поворота E(t)2 [E(t)-E(t-1)]2 E(t)∙E(t-1)
1 2 3 4 5 6
1 -0,01 - 0,00 - -
2 -0,11 0 0,01 0,01 0,00
3 -0,69 1 0,48 0,33 0,08
4 0,56 1 0,31 1,56 -0,38
5 0,05 1 0,00 0,26 0,03
6 0,20 0 0,04 0,02 0,01
7 1,06 1 1,13 0,74 0,22
8 -0,97 1 0,95 4,14 -1,03
9 -0,04 0 0,00 0,87 0,04
10 0,32 1 0,10 0,13 -0,01
11 -0,90 1 0,80 1,49 -0,29
12 0,16 0 0,02 1,11 -0,14
13 2,12 1 4,49 3,85 0,33
14 -0,45 1 0,21 6,62 -0,96
15 0,15 1 0,02 0,36 -0,07
16 -0,56 - 0,32 0,50 -0,08
S 0,88 10 8,88 21,98 -2,27

Проверка условия адекватности

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 5 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и последней строке гр. 3 табл. 5 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р = 10.

Рассчитаем значение q:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство.

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство.

Если количество поворотных точек р больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае р = 10, q = 6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

по d-критерию Дарбина-Уотсона;

по первому коэффициенту автокорреляции r(1).

1) Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство.

Примечание. В случае если полученное значение больше 2, значит, имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняют, вычитая полученное значение из 4. Находим уточненное значение d`=4-2,47=1,53

Полученное (или уточненное) значение d сравнивают с табличными значениями d1 и d2. Для нашего случая d1 =1,08, а d2=1,36.

Если 0<d<d1, то уровни автокоррелированы, то есть, зависимы, модель неадекватна.

Если d1<d<d2, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).

Если d2<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

В нашем случае d2<d`<2 , следовательно уровни ряда остатков являются независимыми.

2) Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения | r(1) | < rта6, то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rта6 = 0,32. Имеем: | r(1) | = 0,26 < rтаб = 0,32 - значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство,

где Еmax - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

Emin - минимальное значение уровней ряда остатков E(t) (гр. 2 табл. 5):

S - среднее квадратическое отклонение.

Еmax=2,12, Emin=-0,97, Еmax-Emin= 2,12 - (-0,97) = 3,09;

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Полученное значение RS сравнивают с табличными значениями, которые зависят от количества точек N и уровня значимости. Для N=16 и 5%-го уровня значимости значение RS для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21.

Так как 3,00 < 4,02 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Расчет прогнозных значений экономического показателя

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения а(16) и b(16) (см. табл. 4), по формуле 1 можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t). Для t=17 имеем:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Аналогично находим Yp(18), Yp(19), Yp(20):

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Ha нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Рис. Сопоставление расчетных и фактических данных

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

экспоненциальную скользящую среднюю;

момент;

скорость изменения цен;

индекс относительной силы;

%R, %К и %D.

Расчеты проводить для дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица 6

Дни Цены

макс. мин. закр.
1 998 970 982
2 970 922 922
3 950 884 902
4 880 823 846
5 920 842 856
6 889 840 881
7 930 865 870
8 890 847 852
9 866 800 802
10 815 680 699

Решение.

Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА). При расчете ЕМА учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания. Однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство,

где k=2/(n+1), n – интервал сглаживания;

Ct – цена закрытия t-го дня;

ЕМАt – значения ЕМА текущего дня t.

Составим таблицу рассчитанных значений ЕМА:

Таблица 7

t

Цена закрытия,

Ct

EMAt
1 982 -
2 922 -
3 902 -
4 846 -
5 856

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

6 881

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

7 870

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

8 852 874,9926
9 802 850,6617
10 699 800,1078

Приведем алгоритм расчета.

Выбрать интервал сглаживания n (в нашем случае n = 5).

Вычислить коэффициент k (k= 2/(n + 1) = 2/(5 + 1) = 1/3).

Вычислить МА для первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5 дней. Сумму разделим на 5 и запишем в графу ЕМАt за 5-ый день.

Перейти на одну строку вниз по графе ЕМАt. Умножить на k данные по конечной цене текущей строки.

Данные по ЕМАt за предыдущий день взять из предыдущей строки и умножить на (1- k).

Сложить результаты, полученные на предыдущих двух шагах. Полученное значение ЕМАt записать в графу текущей строки.

Повторить шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы.

Построим график ЕМАt.

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Момент (МОМ). Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня Ct и цены n дней тому назад Ct-n.

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство,

где Ct – цена закрытия t-го дня;

МОМt – значения МОМ текущего дня t.

Составим таблицу рассчитанных значений МОМ:

Таблица 8

t

Цена закрытия,

Ct

МОМt
1 982 -
2 922 -
3 902 -
4 846 -
5 856 856-982 = -126
6 881 881-922 = -41
7 870 870-902 = -32
8 852 852-846 = 6
9 802 802-856 = -54
10 699 699-881 = -182

Построим график МОМt.

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении. Движение графика момента вверх из зоны отрицательных значений является слабым сигналом покупки до пересечения с нулевой линией. График момента пересекает нулевую линию в районе 7-8-го дня, а затем снова снижатся.

Скорость изменения цен. Похожий индикатор, показывающий скорость изменения цен (ROC), рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство,

где Ct – цена закрытия t-го дня;

RОCt – значения RОC текущего дня t.

Составим таблицу рассчитанных значений RОC:

Таблица 9

t

Цена закрытия,

Ct

RОCt,

%

1 982 -
2 922 -
3 902 -
4 846 -
5 856 856 / 982·100 = 87,17
6 881 881 / 922·100 = 95,55
7 870 870 / 902·100 = 96,45
8 852 852 / 846·100 = 100,71
9 802 802 / 856·100 = 93,69
10 699 699 / 881·100 = 79,34

Построим график RОCt.

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Графическое отображение и правила работы ничем не отличаются от момента. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Этот индикатор также показал сигнал к покупке в районе 7-8-го дня.

Индекс относительной силы (RSI). Наиболее значимым осциллятором, расчет которого предусмотрен во всех компьютерных программах технического анализа, является индекс относительной силы.

Для расчета применяют формулу:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство,

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Рассчитывается RSI следующим образом (таблица 10).

Выбираем интервал n (в нашем случае n=5).

Начиная со 2-го дня до конца таблицы, выполняем следующую процедуру. Вычитаем из конечной цены текущего дня конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то ее записываем в графу «Повышение цены». Иначе абсолютное значение разности записываем в графу «Понижение цены».

С 6-го дня и до конца таблицы заполняем графы «Суммы повышений» и «Суммы понижений». Для этого складывают значения из графы «Повышение цены» за последние 5 дней (включая текущий) и полученную сумму записываем в графу «Суммы повышений» (величина AU в формуле). Аналогично находят сумму убыли конечных цен по данным графы «Понижение цены» и записываем в графу «Суммы понижений» (величина AD в формуле).

Зная AU и AD, по формуле рассчитываем значение RSI и записываем в графу RSI.

Таблица 10

t

Цена закрытия,

Ct

Повышение цены Понижение цены Сумма повышений Сумма понижений RSI
1 982




2 922
17


3 902




4 846
67


5 856
26


6 881 36
36 110 24,66
7 870
22 36 115 23,84
8 852 1
37 115 24,34
9 802 38
75 48 60,98
10 699 57
132 22 85,71

Построим график RSI.

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Зоны перепроданности располагаются обычно ниже 25-20, а перекупленности – выше 75-80%. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вышел из зоны, ограниченной линией 25%, на 7-8 день (сигнал к покупке).

Стохастические линии. Если МОМ, ROC и RSI используют только цены закрытия, то стохастические линии строятся с использованием более полной информации. При их расчете используются также максимальные и минимальные цены. Как правило, применяются следующие стохастические линии: %R, %К и %D.

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство,

где %Кt – значение индекса текущего дня t;

Ct – цена закрытия t-го дня;

L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий (в качестве интервала может быть выбрано и другое число дней).

Похожая формула используется для расчета %R:

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство,

где %Rt – значение индекса текущего дня t;

Ct – цена закрытия t-го дня;

L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины (Ct - L5) и (H5 - L5) сглаживают, беря их трехдневную сумму.

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

Ввиду того что %D имеет большой статистический разброс, строят еще ее трехдневную скользящую среднюю – медленное %D.

Составим таблицу 11 для нахождения всех стохастических линий.

В графах 1-4 приведены дни по порядку и соответствующие им цены (максимальная, минимальная и конечная).

Начиная с 5-го дня в графах 5 и 6 записываем максимальную и минимальную цены за предшествующие 5 дней, включая текущий.

В графе 7 записываем (Ct - L5) – разность между данными графы 4 и графы 6.

Графу 8 составляют значения разности между данными графы 5 и графы 4, т.е. результат разности (H5 - Ct).

Размах цен за 5 дней

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: