ROWSPAN=2>6,8 5,74 1/5 2/5 1/5 1/5 3 0 8 16 20 8 8,72 1/2 1/8 1/8 1/4 4 2 12 18 22 16,25 6,12 1/8 1/8 1/2 1/4

Необходимые расчеты:

Красным цветом высвечены доминируемые точки (операции), а зеленым – недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето. Оптимальными по Парето являются 1-я,2-я и 4-я операции.

Теперь выберем две операции (1-ю: Q₁ и 4-ю: Q₄), предположим, что они независимы друг от друга и выясним, нет ли операции, являющейся их линейной комбинацией и более хорошей, чем какая-либо из имеющихся.

Пусть Q₁ и Q₄ две финансовые операции со средним ожидаемым доходом 4,2 и 16,25 и рисками 5,19 и 6,12 соответственно. Пусть t - какое-нибудь число между 0 и 1 . Тогда операция Qt=(1-t)Q₁+tQ₄ называется линейной комбинацией операций Q₁,Q₄. Средний ожидаемый доход операции Qt равен M[Qt] = 4,2* (1-t) + 16,25*t, а риск операции Qt равен rt =(26,94*(1-t)²+37,44*t²). Была найдена операция Q*, являющаяся линейной комбинацией исходных операций, со средним ожидаемым доходом 9,14 и риском 3,96, которая превосходит все имеющиеся операции по риску.

Определить лучшую и худшую операции можно также с помощью взвешивающей формулы f(Q)= 2*M[Q] – r. Имеем: f(Q₁)=3,21; f(Q₂)=7,86; f(Q₃)=7,28; f(Q₄)=26,38. Следовательно, 4-я операция является самой лучшей, а 1-я – самой худшей.

2.3 Статистический анализ денежных потоков.

Исходные данные для анализа: ежедневные (суммарные) денежные вклады населения в отделение сбербанка в течение 4-х недель (или аналогичный какой-нибудь денежный поток).

Исходные данные:

1-я неделя						2-я неделя						3-я неделя						4-я неделя
1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6
6	5	13	15	14	13	9	9	9	9	9	9	12	12	12	12	12	12	3	1	17	19	5	4

Денежный поток:

6

5

13

15

14

13

9

9

9

9

9

9

12

12

12

12

12

12

3

1

17

19

5

4

Ранжированный ряд:

1

3

4

5

5

6

9

9

9

9

9

9

12

12

12

12

12

12

13

13

14

15

17

19

Дискретный вариационный ряд:

значения	1	3	4	5	6	9	12	13	14	15	17	19
частоты	1	1	1	2	1	6	6	2	1	1	1	1
частости	1/24	1/24	1/24	2/24	1/24	6/24	6/24	2/24	1/24	1/24	1/24	1/24

Многоугольник частот:

Интервальный вариационный ряд:

Границы интервалов	0	2		4		6		8		10		12		14		16		18		20
Середины интервалов	1		3		5		7		9		11		13		15		17		19
Частоты	1		1		3		1		6		0		8		2		1		1
Частости	1/24		1/24		3/24		1/24		6/24		1/24		8/24		2/24		1/24		1/24

Многоугольник частостей:

Выборочная функция распределения:

Статистические характеристики:

	По исходному ряду	По дискретному ряду	По интервальному ряду
Выборочная средняя	10,4	10,4	10,42
Выборочная дисперсия	18,79	18,79	19,88
Выборочное СКО	4,33	4,33	4,46
Несмещенная оценка ген. диспер.	19,61	19,61	20,75

Необходимые формулы и расчеты:

2.4 Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

3. Модели сотрудничества и конкуренции.

3.1 Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара.

Рассмотрим две фирмы, i=1,2, выпускающие один и тот же товар. Пусть затраты i-й фирмы при выпуске x[i] равны a[i]*x[i] (таким образом, a[i] есть себестоимость выпуска одной единицы товара i-й фирмой). Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает в зависимости от поступающего на рынок общего его количества: p(x)=c-bx, c,b>0, где x=x[1]+x[2]. Следовательно, прибыль i-ой фирмы равна W[i](x[1],x[2])=x[i]*(c-bx)-a[i]*x[i]=bx[i]*(d[i]-(x[1]+x[2])),где d[i]=(с-a[i])/b. Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать свою прибыль.

Дано: a[1]=5, a[2]=6, b=9, c=77.

Тогда: p(x)=77-9*x d[1]=(с-a[1])/b=(77-5)/9=8 d[2]=(с-a[2])/b=(77-6)/9=7,89

W[1](x[1],x[2])= bx[1]*(d[1]-(x[1]+x[2]))= 9*x[1]*(8-(x[1]+x[2]))

W[2](x[1],x[2])= bx[2]*(d[2]-(x[1]+x[2]))= 9*x[2]*(7,89-(x[1]+x[2]))

Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. объем ее выпуска x[2]. Токда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации прибыли:

W[1]/ x[1]= b*(d[1]-(x[1]+x[2])) – b* x[1]=0, т.е. x*[1]= (d[1]-x[2])/2=(8-x[2])/2

Аналогично для второй фирмы: x*[2]= (d[2]-x[1])/2=(7,89-x[1])/2

x*[2], x*[1] – оптимальные выпуски 1-ой и 2-ой фирм при условии, что они знают выпуск конкурента.

Теперь предположим, что производственные циклы фирм совпадают, т.е. a[1]=a[2]=5. Пуcть фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем производства своего конкурента за прошлый период. Предположим, что d[1]/22/9, цена p=c-2*b*d/3. И еще одно условие x<=c/b<=d .

d[1]/2

Нанесем на плоскость x [1] x[1] прямые-множества стратегий фирм в ответ на известную стратегию другой фирмы x*[1]=(8-x[2])/2 и x*[2]=(8-x[1])/2 и найдем точку их пересечения. x[1],х[2]=d/3=8/3=2,67. Далее определим прибыли фирм W[1], W[2]=b*d²/9=9*64/9=64, p=c-2*b*d/3=77-2*9*8/3=29.

Теперь посмотрим, как действует модель Курно. Пусть 7,8 и 0,1 – выпуски фирм за прошлый год и каждая фирма знает этот выпуск своего конкурента. Тогда, зная его она применяет свою оптимальную стратегию с целью максимизировать прибыль. Убедимся, что после некоторого количества итераций они окажутся в точке Курно.

N	Выпуск		Цена	Прибыли
	1-я фирма	2-я фирма		1-я фирма	2-я фирма
0	7,8	0,1
1	3,95	0,1	40,55	140,42	3,56
2	2,99	2,03	31,89	80,33	54,45
3	2,75	2,51	29,72	64,93	62,09

Как видно уже при 3-ей операции выпуски и прибыли 1-ой и 2-ой фирмы и цена значительно приблизились к точке Курно. Посмотрим это графически.

Зеленым цветом обозначены точки последовательных итераций, а красным – точка Курно.

3.2 Кооперативная биматричная игра как модель сотрудничества и конкуренции двух участников.

Математической моделью конфликтов с двумя участниками являются биматричные игры. Такая игра 2х2 задается биматрицей (aij,bij) . В кооперативном варианте такой игры игроки могут согласованно выбирать элемент биматрицы. Если они выбрали элемент (a,b), то Первый игрок получает a , а Второй получает b . Цели игроков одинаковы - выиграть как можно больше в расчете на партию в среднем. Пусть (x,y), (a,b) - две точки из CE. Говорят, что (x,y) доминирует (a,b) если x>=a, y>=b и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые точки называются оптимальными по Парето, а их множество - множеством оптимальности по Парето. Еще более узкое множество называется переговорным. Оно определяется так: пусть Vk - максимальный выигрыш, который k-й игрок может обеспечить себе при любой стратегии другого игрока, тогда переговорное множество определяется как множество тех точек множества Парето, у которых k-я координата не меньше Vk. Для нахождения Vk на до решить две задачи ЛП:

V1-->max, a11*x+a21*(1-x)>=V1,a11*x+a12*(1-x)>=V1, 0<=x<=1;

V2-->max, a11*y+a12*(1-y)>=V2,a21*y+a22*(1-y)>=V2, 0<=y<=1.

Дано:

биматрица

2	2	6	6
8	7	9	1

Нанесем на плоскость элементы биматрицы и начертим выпуклую оболочку.

Где красным и зеленым цветом обозначено множество оптимальности по Парето, а зеленым – та его часть, которая является переговорным множеством. V₁=8, V₂=4.

Цена игры первого игрока V₁ находится легко, так как в матрице а_ij есть седловая точка а[2,1]=8. Основная теорема матричных игр утверждает, что для любой матричной игры max{min{M[P,Q]:Q}:P}=min{max{M[P,Q]:P}:Q}, т.е. во множестве смешанных стратегий есть седловая точка, дающая оптимальное решение игры. Поэтому V₁= а[2,1]=8, а оптимальная стратегия 1-го игрока Р*=(0 1), так как ему выгодно выбирать все время 2-ю строку.

Для того, чтобы найти цену игры и оптимальную стратегию 2-го игрока необходимо решить задачу ЛП. Если все разделить на V2 и сделать замену переменных, то получим:

V2-->max y/V₂=x1 x1 + x2 min

2*y+6*(1-y)>=V₂, (1-y)/V₂=x2 2*x1 +6*x2>=1

7*y+1*(1-y)>=V₂, 7*x1 +1*x2>=1

0<=y<=1. x1, x2 ≥0

Решая ее находим V₂=4.

Итак, цена игры 2-го игрока V₂=4

3.3 Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества.

4. Социально-экономическая структура общества.

4.1 Модель распределения богатства в обществе.

Такой моделью является так называемая «диаграмма или кривая Лоренца».

Рассмотрим функцию распределения богатства в обществе d(z), которая сообщает, что z-я часть самых бедных людей общества владеет d(z)-й частью всего общественного богатства. Далее приведен график функции d(z). Площадь заштрихованной линзы называется коэффициентом Джинни J. Эта величина не более 1/2. Чем она меньше, тем равномернее распределено богатство в обществе. При J>0.2 распределение богатства называется опасно несправедливым - это преддверие социальных волнений. Из функции d(z) можно получить другую функцию w(z) , она сообщает долю общественного богатства, которой владеет z-я часть самых богатых людей (w(z)=1-d(1-z)). Еще одну функцию можно получить из d(z): S(x)=d(1/2+x)-S(1/2-x). Она показывает, что часть общества, которая богаче, чем (Ѕ-х) самых бедных, но беднее (Ѕ-х) самых богатых, владеет S(x)-й частью всего общественного богатства. График функции S расположен только над отрезком [0, 1/2]. Говорят, что в обществе есть средний класс, если d(3/4)-d(1/4)>=1/2 или, что то же самое S(1/4)>=1/2 .

Дано: d(z)= exp((7/2)*ln(z))

Как видно на графиках d(0,5)=0,09 ,т.е. половина самых бедных членов общества владеет только 9% всего общественного богатства. Вычислим коэффициент Джинни:

Ѕ - J=( ₀∫¹ (exp(7/2*ln(z)) dz)=0,22, значит J=0,28. Так как 0,28>0,2, то распределение богатства в обществе опасно несправедливо.

s(x)= exp((7/2)*ln(1/2+х)) - exp((7/2)*ln(1/2-х))

w(z)= 1 - exp((7/2)*ln(1-z))

Так как s(0,25)=0,36 и 0,36<0,5, то можно сделать вывод об отсутствии в данном обществе среднего класса. w(0,1)=0,31 означает, что десятая часть самых богатых владеет 31% всего общественного богатства.

Производные функций d(z) и w(z):

4.2 Распределение общества по получаемому доходу.

Пусть F(z) есть доля имеющих месячный доход меньше z по отношению ко всем, имеющим какой-нибудь денежный доход (всех таких членов общества назовем налогоплательщиками). Функцию F(z) вполне правильно трактовать как функцию распределения случайной величины I - месячный доход случайного налогоплательщика. С.в. I можно считать непрерывной. Функция F(z) может быть интересна налоговой инспекции. С помощью функции F(z) можно найти несколько интересных характеристик общества. Например, средний доход, который находится как интеграл от 0 до бесконечности функции z*dF(z). Другой подобной характеристикой является коэффициент Рейнбоу, который находится как отношение решений уравнений F(z)=0.9 и F(z)=0.1, т.е. этот коэффициент показывает отношение доходов 10% членов общества с самыми высокими доходами к доходам 10% с самыми низкими доходами. Если это отношение превышает 20, то распределение доходов называется несправедливым, иначе нормальным.

Дано: F(z)= 1 – exp(6*ln(500/(500+z)))

Как видно на графике 1, F(9)=0,1 и F(234)=0,9. Это говорит о том, что 10% низкодоходных членов общества имеют доход не более 9 у.е., а 10% высокодоходных имеют доход более 234 у.е. Если взять эти числа как отношение, то получим Коэффициент Рейнбоу. Так как 234/9=26 и 26>20, то распределение доходов в данном обществе можно считать несправедливым.

27