АРТ-моделирование на фондовом рынке

где β ₀, β ₁, ..., β _p – неизвестные оцениваемые параметры регрессии;

х _1, х ₂, …, х _p - влияющие факторы; ε – остаточная компонента.

Задача оценивания в данном случае заключается в том, чтобы с помощью метода наименьших квадратов найти такие оценки b ₀, b ₁, …,b _p, которые минимизировали бы квадраты отклонений наблюдаемых значений зависимой переменной y_i от расчетных значений, вычисленных с помощью уравнения регрессии.

Функция, значение которой минимизируют с помощью МНК:

. (7)

Оценки параметров регрессии, получаемые по методу наименьших квадратов, обладают статистическими свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Свойство несмещенности оценок заключается в том, что оценки параметров b _j, найденные с помощью линейного МНК, не содержат систематических ошибок при оценивании. Свойство состоятельности означает, что при росте объема выборки до бесконечности с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что оценки параметров b _j сходятся к оцениваемому параметру β _j. Наконец, МНК-оценки являются эффективными, если они характеризуются наименьшей дисперсией в классе линейных оценок.

Чтобы получаемые оценки параметров обладали данными свойствами, необходимо выполнение предпосылок (условий) регрессионного анализа Гаусса-Маркова¹²:

1. Е (ε) = 0, т. е. математическое ожидание остатков равно нулю. Невыполнение данного условия приводит к тому, что оценки параметров теряют свойство несмещенности.

2. Условие гетероскедастичности, или одинакового разброса:

D (ε) = σ², т. е. дисперсия возмущений в модели распределена равномерно, ее величина постоянна (дисперсия не может увеличиваться с ростом числа наблюдений). Выполнение данного условия позволяет получать эффективные оценки параметров b _j.

3. Условие отсутствия автокорреляции: cov (ε _i, ε _j ) = 0, i, j = 1, …, n, т. е. отдельные наблюдения остаточной компоненты некоррелированы. Оценки метода МНК модели с автокорреляцией случайной составляющей теряют эффективность. Применение МНК в данном случае приводит к существенной недооценке параметров, в связи с чем теряют свое значение процедуры проверки гипотез и обоснованность предсказаний.

4. cov (ε, x _j ) = 0, j = 1, …, p, т. е. объясняющие переменные не коррелируют с возмущениями модели.

5. ε N (0, σ²), т. е. случайная составляющая в модели нормально распределена. Нормальность распределения остаточной компоненты гарантирует, что оценки метода МНК будут иметь нормальное распределение.

Качество построенного регрессионного уравнения, выступающего в качестве результата проведенного исследования, может быть оценено с помощью ряда показателей, которые можно отнести к группе абсолютных либо относительных.

Среди абсолютных показателей качества наиболее важную роль играют следующие:

1). Средняя ошибка аппроксимации:

(8)

Допустимый уровень ошибки – до 10 %.

2). Оценки дисперсий.

– Оценка общей дисперсии:

(9)

Общая дисперсия характеризует разброс значений зависимого признака относительно среднего уровня.

– Оценка объясненной дисперсии:

(10)

Объясненная дисперсия характеризует вариацию зависимого признака, объясненную построенным уравнением регрессии.

– Оценка остаточной дисперсии:

(11)

Остаточная дисперсия отражает разброс значений относительно линии регрессии (модельных значений) и может служить показателем точности воспроизведения значений зависимой переменной. В случае высокой остаточной дисперсии точность прогнозов результирующего показателя будет невелика и практическое использование построенного уравнения малоэффективным. Напротив, чем меньше остаточная дисперсия, тем больше уверенности в том, что уравнение регрессии подобрано верно.

Большое значение остаточной дисперсии может быть обусловлено неверным выбором функции или отсутствием статистической взаимосвязи между зависимой и объясняющими переменными, включенными в уравнение регрессии.

3). На практике часто используют величину стандартного отклонения от линии регрессии, называемую также стандартной ошибкой регрессии или стандартной ошибкой оценивания:

(12)

Рассмотренные показатели качества линейной регрессионной модели являются абсолютными, поскольку размер дисперсии напрямую зависит от показателя y.

Среди относительных показателей качества регрессии основным является коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации вычисляют как отношение сумм квадратов:

(13) или . (14)

Коэффициент детерминации показывает долю объясненной уравнением регрессии дисперсии зависимой переменной и выражается в долях.

Коэффициент детерминации изменяется от 0 до 1. Высокое значение R² говорит о том, что включенные в уравнение регрессии факторы в основном объясняют вариацию значений зависимого признака. Если же значение R² невелико, то можно сделать вывод о том, что факторы, оказывающие существенное влияние на результирующий показатель, в уравнение регрессии не вошли.

Однако существует ряд ограничений, сужающих возможности применения данного показателя для анализа.

Прежде всего, коэффициент детерминации позволяет проводить сравнение различных линейных по параметрам регрессионных уравнений для одной и той же зависимой переменной.

Второе ограничение связано с количеством объясняющих переменных в модели. Сопоставимые уравнения регрессии зависимой переменной должны включать одинаковое число факторов и могут отличаться лишь составом независимых переменных. Ограничение по количеству объясняющих переменных обусловлено тем, что R² является неубывающей функцией от числа включенных в регрессию факторов. Поэтому наряду с традиционным часто используют скорректированный коэффициент детерминации, позволяющий проводить сравнение линейных регрессионных уравнений с разным подмножеством факторов:

, (15)

где R² - базовый коэффициент детерминации; n - объем выборки; q - число факторов в факторном наборе.

Еще одно требование связано с наличием свободного члена. Константа должна входить или отсутствовать одновременно во всех сравниваемых уравнениях.

Квадратный корень из R² для линейной модели

(16)

представляет собой коэффициент множественной корреляции и характеризует тесноту связи совокупности факторов, включенных в уравнение регрессии, с исследуемым показателем.

Кроме того, дополнять оценку качества регрессионного уравнения следует проверкой значимости как параметров регрессии, так и самого регрессионного уравнения.

1). Проверка значимости параметров позволяет установить существенность влияния отдельных факторов на зависимую переменную.

Проверка значимости параметра предполагает проведение процедуры проверки гипотезы о том, что фактор x _j не оказывает существенного влияния на зависимую переменную. Нулевую гипотезу относительно параметра модели формулируют следующим образом:

.

Альтернативная ей гипотеза утверждает, что β _j значимо отличается от нуля:

.

Статистика для проверки сформулированной гипотезы принимает вид:

. (17)

Если верна нулевая гипотеза, то статистика (17) имеет распределение Стьюдента. Расчетное значение t-статистики сравнивают с квантилью t-распределения t _{α, ν}, которая имеет параметры: ν - число степеней свободы,

ν = n-p-1, p - число объясняющих переменных в уравнении регрессии; α - уровень значимости.

Величина α определяет надежность статистических выводов. Чем выше требования к надежности результатов, тем меньше должна быть величина α.

Если расчетное значение t-статистики попадает в критическую для проверяемой гипотезы область | t | > t _{α, ν}, то параметр β _j значим, следовательно, фактор x _j оказывает существенный вклад в вариацию зависимого признака. В противном случае, если | t | < t _{α, ν}, то влияние фактора несущественно и он может быть исключен из уравнения регрессии.

2). Целью поверки гипотезы о значимости уравнения регрессии является определение существенности влияния на зависимую переменную всех или хотя бы некоторых независимых переменных, включенных в регрессионную модель.

Нулевая гипотеза состоит в том, что все переменные x ₁, x ₂, …, x _p не оказывают существенного влияния на зависимую переменную:

.

Альтернативная гипотеза утверждает, что, как минимум, одна из объясняющих переменных оказывает существенное влияние на объясняемую переменную и должна быть включена в регрессионную модель. Гипотеза может быть записана следующим образом:

.

Для проверки нулевой гипотезы используют F-критерий:

. (18)

Если верна нулевая гипотеза, то (18) имеет распределение с числом степеней свободы числителя ν ₁ = p и числом степеней свободы знаменателя ν ₂ = n - p - 1. Решение о значимости F-критерия принимают, задав некоторый уровень значимости α и определив соответствующую параметрам α, ν ₁ и ν ₂ квантиль распределения F _{α, ν 1, ν 2}. Если F < F _{α, ν 1, ν 2}, то считают, что нет оснований отвергать нулевую гипотезу, ни одна из включенных в уравнение регрессии переменных не оказывает существенного влияния на y. Напротив, когда F > F _{α, ν 1, ν 2}, то делают заключение, что выборочные данные не подтверждают основную гипотезу, все или некоторые объясняющие переменные существенно влияют на зависимую переменную.

Все рассмотренные показатели качества регрессионного уравнения определяют дальнейшее поведение исследователя: будет он пересматривать построенную модель, внося коррективы в состав факторного набора, или же остановится на достигнутых результатах¹³.

§ 2. Теоретическая и практическая реализация АРТ-

моделирования

Как уже было отмечено, построение модели арбитражного ценообразования, используемой для определения стоимости ценных бумаг, сопряжено с субъективным отношением инвестора к влияющим факторам: какие факторы выбрать, каким должен быть критерий включения фактора в модель, – все эти проблемы инвестор решает самостоятельно.

А потому для построения модели арбитражного ценообразования воспользуемся универсальным алгоритмом, предложенным А. А. Шабалиным¹⁴, который, на мой взгляд, позволяет наиболее полно сохранить все преимущества модели и учитывает ее недостатки.

1. Универсальный алгоритм построения модели АРТ

Модель АРТ в общем виде выглядит следующим образом:

(4)

Универсальный алгоритм ее построения содержит 7 основных этапов:

1. Определение всей совокупности факторов, возможно влияющих на цену исследуемого актива, и разделение их на группы методом агрегирования; определение количества показателей в каждой из групп. Основными группами показателей являются: финансовые показатели фирмы, макроэкономические индикаторы страны, отраслевые индикаторы, мировые фондовые индексы, сырьевые цены, политические и корпоративные события, а также финансовые показатели фирмы и т.д.

Одной из наиболее важных групп является группа финансовых показателей фирмы, т. к. они напрямую отражают стоимость активов: чем лучше финансовое состояние фирмы, тем больше ее акции могут принести дивидендов, а следовательно, тем дороже будут и сами акции.

Далее по значимости можно выделить макроэкономические индикаторы страны, которые позволяют судить о тенденциях развития компании в России: повышение инвестиционной привлекательности страны и снижение странового риска в большей части происходит на основе макроэкономических индикаторов, что, в свою очередь повышает капитализацию большинства организаций.

В качестве следующей группы факторов часто выделяют мировые фондовые индексы. Россия развивается взаимосвязано с другими странами, существует определенная корреляционная связь в тенденциях развития. Охарактеризовать влияние мировых фондовых индексов на российский рынок ценных бумаг можно "настроением" иностранных инвесторов, которые принимают активное участие в торгах на российском рынке, как через ADR (расписки на владение ценными бумагами), так и на рынке РТС.

Последнюю группу факторов обычно составляют котировки ЦБ иностранной валюты, т. к. выбранные финансовые активы торгуются на Российской торговой системе в долларах.

По результатам выделения групп влияющих факторов строится модель:

(5)

где FP – вектор финансовых показателей фирмы, М – вектор макроэкономических индикаторов, MFI – вектор мировых фондовых индексов, V – вектор мировых валют котируемых ЦБ, α, β, γ , µ – векторы числовых коэффициен-тов, ε – вектор ошибки.

2. Анализ влияния каждой из групп на цену исследуемого актива. Для этого осуществляется построение многофакторных моделей, в качестве факторных подмножеств которых используются показатели выделенных групп.

3. Выбор переменных, которые войдут в конечную модель, на основе критерия значимости. Критерий значимости для переменных определим, как: вероятность принятия переменной значения ноль должна быть меньше 10%.

4. Построение многофакторной модели с использованием сформированных групп. Для удобства практического применения модели возможно произвести упрощение построенной модели, уменьшив количество входящих переменных, используя только значимые переменные¹⁵.

2. Практическая реализация модели АРТ

Проведем численную реализацию модели АРТ при использовании построенного алгоритма.

Группы влияющих факторов

В исследовании определены следующие группы влияющих факторов: макроэкономические индикаторы страны и валюта (котировки ЦБ иностранной валюты).

Следует подчеркнуть, что явного, логически-обоснованного влияния выбранных факторов на стоимость ценных бумаг нет.

Попробуем определить возможную статистическую зависимость.

Исходные данные

Для исследования были выбрана ценная бумага, занятая в энергетической отрасли.

Этот выбор обоснован предстоящими кардинальными изменениями в этой отрасли, а значит, изменениями инвестиционных стратегий, что повлечет за собой изменения стоимости финансовых активов. В 2004 г. правительство приняло решение реформирования энергетического сектора России. До 2007 г. намечено переформировать структуру сектора: создать Транспортные генерирующие компании (ТГК) и оптовые генерирующие компании (ОГК), которые будут разделены по территориальному критерию, что позволит инвесторам участвовать в капитале не всего энергетического сектора (компании РАО ЕЭС), а именно в том, который будет им наиболее выгоден. Это несет за собой пересмотр инвестиционных стратегий отраслевых энергетических компаний.

Итак, для анализа выбрана следующая компания: ОАО "Иркутскэнерго"; код СКРИН - IGRZ; отрасль - Региональные энергетические компании.

Временной интервал

Временной период: 01. 02. 1998 г.– 31. 12. 2004 г., чтобы проанализировать долгосрочное влияние выбранных факторов, а также отразить влияние дефолта 1998 г. на цену акций.

Составляющие показатели

Вектор макроэкономические индикаторы состоит из следующих 7 показателей: Динамика ВВП¹⁶, Инвестиции в основной капитал¹⁷, Объем промышленной продукции¹⁸, Внешнеторговый оборот (Экспорт товаров и Импорт товаров)¹⁹, Индекс потребительских цен²⁰, Реальные располагаемые денежные доходы²¹, Общая численность безработных²².

Вектор валюта состоит из следующих 3 показателей: Английский фунт стерлингов, Доллар США, ЕВРО.

Численная реализация

Для проведения анализа необходимы данные, охватывающие временной интервал с 01. 02. 1998 г. по 31. 12. 2004 г. и образующие выборки объемом n = 83.

Для получения данных о курсе ЕВРО на 1998 г. построим трендовую модель развития данного показателя во времени (табл. 1) и проведем процедуру интерполяции (табл. 2).

Исходные данные для моделирования представлены в табл. 36.

На основании имеющихся данных построим первичные модели, описывающие зависимость цен на акции ОАО "Иркутскэнерго" от факторных наборов "Макроэкономические показатели" и "Валюта". Итоги построения моделей представлены в табл. 3 и 4.

В полученных регрессионных моделях значимыми (с высоким уровнем надежности, p < 5%) являются следующие переменные: в модели, построенной по первой группе факторов, – экспорт, импорт, индекс потребительских цен, а на 10 %-ном уровне также значимы объем вложений в основной капитал и реальные располагаемые денежные доходы населения; в модели с факторным набором "Котировки ЦБ иностранных валют" значимы все независимые переменные (p < 1%), а сама регрессионная модель характеризуется высоким качеством.

Для подтверждения наличия, направления и тесноты связи между факторными признаками и функцией отклика в полученных моделях построим корреляционные матрицы Q₁ и Q₂, позволяющие сделать выводы о характере и структуре взаимосвязей между переменными (табл. 5 и 6).

Таким образом, значения парных коэффициентов корреляции в корреляционной матрице Q₁ позволяют установить, что на стоимость акций ОАО "Иркутскэнерго" наиболее сильное влияние оказывают показатели внешнеэкономической деятельности (экспорт и импорт товаров, работ и услуг), валовые инвестиции в основной капитал и объем промышленной продукции, произведенной в российской экономике за рассматриваемый период времени (однако в регрессионной модели 1 уровень значимости коэффициента регрессии при данной переменной очень высок, p = 83,28%).

Корреляционная матрица Q₂ выявляет взаимообусловленность стоимости акций иркутской компании и котировок ЦБ американского доллара и английского фунта стерлингов; влияние динамики курса ЕВРО по отношению к рублю на ценообразование акций ОАО "Иркутскэнерго" не является сильным, однако можно считать, что между данными признаками связь есть.

На основании уровней значимости оценок параметров β _i в построенных уравнениях регрессии осуществим выбор значимых факторов, которые войдут в конечную модель оценки стоимости акций. Такими факторами оказались: экспорт и импорт продукции; индекс потребительских цен; инвестиции в основной капитал; реальные располагаемые денежные доходы; котировки ЦБ доллара США, ЕВРО и английского фунта стерлингов.

Модель оценки стоимости акций ОАО "Иркутскэнерго" на российском фондовом рынке, полученная в результате применения множественной линейной регрессии, представлена в табл. 7.

В полученной модели не все переменные значимы, что позволяет провести некоторые упрощения. Для этого применим метод пошагового исключения переменных "Forward Stepwise", который гарантирует максимизацию статистики Фишера в модели, характеризующей уровень значимости, а следовательно, и качество регрессионной модели, однако не обеспечивает того, что в преобразованной модели все переменные будут значимы.

Итак, в модель в качестве факторов войдут объем инвестиций в основной капитал, показатели экспорта и импорта, а также курсы английского фунта стерлингов и ЕВРО по отношению к рублю.

Проверим выборки, используемые для построения модели, на нормальность распределения. Вид полученных диаграмм рассеивания (табл. 8 – 13) позволяет сделать вывод о том, что выборки не близки к нормальной, однако гистограммы (табл. 14 – 19) и графики функций распределения (табл. 20 – 25) свидетельствуют об обратном.

Приведем конечную модель ценообразования обыкновенных акций ОАО "Иркутскэнерго", полученную в результате применения множественной линейной регрессии (табл. 26).

Построенная модель характеризуется довольно высоким качеством: значения коэффициентов детерминации (традиционного и скорректированного) близки к 1, низки уровни значимости коэффициентов регрессии и самого регрессионного уравнения, однако довольно высока стандартная ошибка оценивания.

Наличие статистических зависимостей рассматриваемых показателей подтверждается анализом корреляционной матрицы Q₃ (табл. 27).

Проверка построенной модели на выполнение условий регрессионного анализа Гаусса-Маркова (табл. 28 – 35) позволяет установить, что выполняются предпосылки № 1, 4, 5, однако нарушаются условия № 2, 3.

Итак, построена регрессионная модель определения доходности простых акций ОАО "Иркутскэнерго" с использованием метода арбитражного ценообразования.

Делая экономическую интерпретацию полученных данных, можно предположить, что цены на финансовые активы фирм энергетического сектора имеют зависимость: во-первых, от объемов инвестирования в основные фонды, формирующего потенциал для общего экономического роста в долгосрочной перспективе; во-вторых, от показателей внешнеэкономической деятельности страны; наконец, от котировок иностранной валюты ЦБ.

Заключение

В условиях повышения колебаний котировок ценных бумаг на российском фондовом рынке, которое происходит в последнее время, методы оценки рыночной стоимости финансовых активов фирм приобретают актуальность и практическую значимость.

В настоящее время имеются достаточно "тонкие" математико-статистические инструменты такой оценки. Одним из наиболее распространенных способов определения инвестиционной привлекательности акций считается модель арбитражного ценообразования, разработанная в 1976 г. профессором Йельского университета Стефаном Россом.

Главным предположением теории является то, что каждый инвестор стремится использовать возможность увеличения доходности своего портфеля без увеличения риска. Механизмом, способствующим реализации данной возможности, является арбитражный портфель²³.

Однако данная теория интересна в первую очередь тем, что она позволяет построить зависимость стоимости акций компании от ряда факторов.

Статистические исследования воздействия различных факторов на динамику российского фондового рынка дают новые аспекты для его анализа и прогнозирования.

Процесс инвестирования капитала в условиях рыночной экономики сопряжен с многовариантностью, альтернативностью и риском. Инвесторы, готовые вкладывать свои средства, постоянно озабочены оценками риска и перспектив инвестиций, гарантиями возврата основной суммы и получения дохода. Однако им достаточно трудно разобраться в многообразии финансовых инструментов, оценить риск вложений и сравнить по нему предлагаемые на рынке инструменты. Одним из решений этой проблемы является выявление факторов, влияющих на динамику, с помощью которых станет возможным прогнозировать динамику российского фондового рынка.

Модель APT позволяет инвесторам сделать предметом анализа группу факторов, которые, по их мнению, определяют доходность боль­шинства активов, и благодаря этому прийти к более точному пониманию риска по инвестиционным проектам. В то же время, применение методов АРТ-моделирования от­крывает перед практиками свободу самим решать, что в данной ситуации имеет значение, а что неважно.

В силу этого моделирование фондового рынка с применением арбитражной теории ценообразования обуславливает определенный субъективизм получаемой оценки.

В проведенном мной исследовании я предпринимала попытки свести субъективный фактор к минимуму.

В результате была получена модель, довольно адекватно описывающая поведение цен активов.

Однако то, что полученная модель отражает реальную ситуацию на российском фондовом рынке и позволяет прогнозировать его