Математическая статистика

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Математическая статистика»

Задания к контрольной работе


1. Генеральная совокупность. Выборка. Объем выборки. Среднее значение. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.

2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический вывод. Модель : Математическая статистика; X = 4;

3. Для представленных данных выполнить следующее задание:

3.1 Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от первого фактора. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.

3.2 Провести эконометрический анализ нелинейной зависимости показателя от второго фактора, воспользовавшись подсказкой. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.

3.3 Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от двух факторов. Сделать точечный прогноз для любой точки из области прогноза. Найти частичные коэффициенты эластичности в точке прогноза.

Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по хлебозаводам области за год характеризуются следующими данными:


№ завода Фактор

Уровень рентабельности,

%


Фондоотдача, грн Производительность труда, грн
1 38,9 3742 10,7
2 33,3 2983 11,3
3 37,7 3000 12,2
4 31,1 2537 12,4
5 29,4 2421 10,9
6 37,2 3047 11,3
7 35,6 3002 11,1
8 34,1 2887 14,0
9 16,1 2177 6,8
10 22,8 2141 7,1
11 21,7 2005 8,9
12 26,8 1843 4,2
13 23,3 2031 7,4
14 24,5 2340 11,4
15 19,9 1933 4,8

Нелинейную зависимость принять Математическая статистика

1. Генеральная совокупность. Выборка. Объем выборки. Среднее значение. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение


Генеральная совокупность - вся изучаемая выборочным методом статистическая совокупность объектов и/или явлений общественной жизни, имеющих общие качественные признаки или количественные переменные.

Выборочная совокупность (выборка)- часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение о всей генеральной совокупности.

Для того, чтобы заключение, полученное путем изучения выборки , можно было распространить на всю генеральную совокупность выборка должна обладать свойством репрезентативности.

Объем выборки - общее число единиц наблюдения в выборочной совокупности. Определение объема выборки представляет собой один из основных этапов ее формирования. Объем выборки для генеральной совокупности обозначается– N, для выборки – n.

Среднее значение выборки можно вычислить по формуле:


Математическая статистика


Дисперсия (от лат. dispersio - рассеяние), в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. Дисперсия вычисляется по формуле:


- простая дисперсия,

Математическая статистика - взвешенная дисперсия.

Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. Для этого достаточно извлечь из дисперсии корень второй степени, получится среднее квадратическое отклонение (Математическая статистика).


Математическая статистика


или


Математическая статистика.


Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности.


2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический анализ


Известно, что коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %. Формула расчета коэффициента эластичности:


Математическая статистикаЭ = f′(x)X/Y,


где f′(x) – первая производная, характеризующая соотношение прироста результата и фактора для соответствующей формы связи.


Математическая статистика,

Математическая статистика.


Следовательно получим следующее математическое выражение


Математическая статистика.


При заданном значении X=4 получим, что коэффициент эластичности равен Э=0,25.

Допустим, что заданная функция Математическая статистика определяет зависимость спроса от цены. В этом случае с ростом цены на 4% спрос повысится в среднем на 0,25 %.


3. Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по хлебозаводам области за год характеризуются следующими данными:


№ завода Фактор

Уровень рентабельности,

%


Фондоотдача, грн Производительность труда, грн
1 38,9 3742 10,7
2 33,3 2983 11,3
3 37,7 3000 12,2
4 31,1 2537 12,4
5 29,4 2421 10,9
6 37,2 3047 11,3
7 35,6 3002 11,1
8 34,1 2887 14,0
9 16,1 2177 6,8
10 22,8 2141 7,1
11 21,7 2005 8,9
12 26,8 1843 4,2
13 23,3 2031 7,4
14 24,5 2340 11,4
15 19,9 1933 4,8

Нелинейную зависимость принять Математическая статистика

Последовательность выполнения задания 3

1. Вводим данные .Определяем основные числовые характеристики.

2. Строим диаграмму рассеивания (корреляционное поле).

3. Определяем тесноту линейной связи по коэффициенту корреляции.

4. Строим линейную модель вида у = bо + b1*х.

5. Определяем общее качество модели по коэффициенту детерминации R2. Проверяем полученную модель на адекватность по критерию Фишера

6. Проверяем статистическую значимость коэффициентов модели.

7. По полученной модели рассчитываем значение показателя Y для всех точек выборки и в точке прогноза (точку прогноза выбираем произвольно из области прогноза).

8. Рассчитаем полуширину доверительного интервала d. =


Математическая статистикаМатематическая статистика


9. Рассчитаем доверительный интервал для всех точек выборки и в точке прогноза: (Y-d, Y +d).

10. Рассчитываем коэффициент эластичности:


Математическая статистика Для линейной модели y’х = b1. Получим

Математическая статистика , где у(х) - рассчитанное по модели значение показателя.


11. Строим, используя «Мастер диаграмм», корреляционное поле, график эластичности и доверительную область.

12. Делаем лист с формулами.

Решение 1:

1. Вводим данные. Определяем основные статистики. Строим корреляционное поле. По виду корреляционного поля выдвигаем гипотезу о нелинейной зависимости между X и Y.

2. С помощью формул перехода линеаризуем нелинейную модель: Математическая статистика , V=у. Получаем линейную модель относительно новых переменных


V = b0 + b1u


3. Рассчитываем основные числовые характеристики X, Y, V, U с помощью «Мастера функций» и функции «Описательная статистика».

4. Продолжим регрессионный анализ с помощью вкладки «Анализ данных» и функции «Регрессия».

5. Вычислим значения V(U),V min, V max.

6. Рассчитаем полуширину доверительного интервала d .

7. По формулам обратного перехода пересчитываем значения Y, Ymin (левая граница доверительного интервала»,Ymaх(правая граница доверительного интервала).

8. Рассчитываем коэффициент эластичности


Математическая статистика,


9. Строим доверительные области V(U) и Y(х) и график эластичности.

10. Делаем лист с формулами.

Решение 2:

1. Вводим данные.

2. Определяем основные статистики.

3. По корреляционной таблице проверяем факторы на коллинеарность.

4. Строим линейную модель вида y = b0+b1х+b2х.

5. Определяем общее качество модели по коэффициенту детерминации R2. Проверяем полученную модель на адекватность по критерию Фишера.

6. Проверяем статистическую значимость коэффициентов модели.

7. По полученной модели рассчитываем значения показателя Y для всех точек выборки и в точке прогноза(точку прогноза выбрали произвольно из области прогноза).

8. Рассчитываем частичные коэффициенты эластичности:

- по фактору X1


Математическая статистика


- по фактору Х2


Математическая статистика





4. Экономический анализ


Обозначим Фондоотдачу (грн.) – Х, Уровень рентабельности (%) – Y. Найдем основные числовые характеристики.

Объем выборки n=15   суммарное количество наблюдений.

Фондоотдача изменяется от 16,1 до 38,9 грн., уровень рентабельности изменяется от 4,2 до 14%.

Среднее значение фондоотдачи составляет 28,83 грн, среднее значение уровня рентабельности составляет 9,63%.

Среднее значение можно вычислить по формуле: Математическая статистика.

Дисперсия Математическая статистика.

Среднеквадратическое отклонение Математическая статистика7,23, значит среднее отклонение фондоотдачи от среднего значения, составляет 7,23 грн., Математическая статистика 2,92, значит среднее отклонение уровня рентабельности от среднего значения, составляет 2,92%.

Определим, связаны ли X и У между собой, и, если да, то определить формулу связи.

По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) - нанесем точки (X, Y) на график. Точка с координатами (Математическая статистика) =(28,83;9.63) называется центром рассеяния.

По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между Y и X линейная.

Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции (из таблицы регрессионная статистика):


Математическая статистика.


Так как Математическая статистика, то линейная связь между X и Y достаточная.

Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью Математическая статистика.

Параметры Математическая статистика находим по методу наименьших квадратов.


Математическая статистика


Так как Математическая статистика, то зависимость между X и Y прямая: с ростом фондоотдачи уровень рентабельности повышается. Проверим значимость коэффициентов Математическая статистика.

Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:


Математическая статистика.


Значимость Математическая статистика равна Математическая статистика. Это меньше 5%. Коэффициент Математическая статистика статистически значим.


Математическая статистика.


Значимость Математическая статистика равна Математическая статистика, что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент Математическая статистика статистически значим.

Проверим модель на адекватность. Проанализировав таблицу Дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией Математическая статистика. Остатки, необъясненный разброс Математическая статистика. Общий разброс данных Математическая статистика. Коэффициент детерминации Математическая статистика. Разброс данных объясняется на 50,49% линейной моделью и на 49,51% - случайными ошибками.

Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины: Математическая статистика и Математическая статистика. Вычисляем Математическая статистика и Математическая статистика. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Математическая статистика. Значимость этого критерия Математическая статистика, т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%. Модель Математическая статистика считается адекватной с гарантией более 95%.

Найдем прогноз.

Примем за точку прогноза значение фондоотдачи 33 грн.

Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза:


Математическая статистика.


Построим доверительную область для точки прогноза и всех точек.

Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки:


Математическая статистика,


где Математическая статистика - среднеквадратическое отклонение выборочных точек от линии регрессии; Математическая статистика;

Математическая статистика   критическая точка распределения Стьюдента для надежности Математическая статистика и Математическая статистика; Математическая статистика.

Прогнозируемый доверительный интервал для любого x такой Математическая статистика, где Математическая статистика, т.е. доверительный интервал для Математическая статистика составит от 6,0157 до 15,6503 с гарантией 95%., т.е. при фондоотдаче 33 грн. Уровень рентабельности составит от 6,0157% до 15,6503%.

Найдем эластичность.

Для линейной модели Математическая статистика

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении фондоотдачи на 1% уровень рентабельности увеличится с 10,83% на 0,876%. Т.е. при увеличении фондоотдачи рентабельность растет.

Задание № 3.2

Обозначим производительность труда в расчете на одного работника (грн.) – Х, Уровень рентабельности (%) – Y. Построим нелинейную зависимость показателя от фактора вида Математическая статистика. Проанализируем фактор X, используя таблицу описательная статистика.

Производительность труда в расчете на одного работника изменяется от 1843 до 3742 грн. Средняя производительность составляет 2535,27 грн. Отклонение от среднего составляет 546,96.

Определим, связаны ли X и У между собой, и, если да, то определить формулу связи.

По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) - нанесем точки (X, Y) на график.

По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между Y и X нелинейная.

Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью Математическая статистика.

Перейдем к линейной модели. Делаем линеаризующую подстановку: Математическая статистика. Получим новые данные U и V. Для этих данных строим линейную модель: Математическая статистика. Проверим тесноту линейной связи U и V. Найдем коэффициент корреляции (из таблицы Регрессионная статистика): Математическая статистика.Между U и V достаточная связь.

Параметры Математическая статистика находим по методу наименьших квадратов.


Математическая статистика

Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:


Математическая статистика.


Значимость Математическая статистика равна 0,0021, что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент Математическая статистика статистически значим.


Математическая статистика.


Значимость Математическая статистика равна0,00083, что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент Математическая статистика статистически значим.

Получили линейную модель Математическая статистика.

Проверим модель на адекватность. Проанализировав таблицу дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией Математическая статистика. Остатки, необъясненный разброс Математическая статистика. Общий разброс данных Математическая статистика. Коэффициент детерминации Математическая статистика. Разброс данных объясняется на 59,92% линейной моделью и на 40,08% - случайными ошибками.

Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины: Математическая статистика и Математическая статистика. Вычисляем Математическая статистика и Математическая статистика. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Математическая статистика. Значимость этого критерия Математическая статистика, т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%. Модель Математическая статистика считается адекватной с гарантией более 95%. Так как линейная модель адекватна, то и соответствующая ей нелинейная модель адекватна. Находим параметры исходной нелинейной модели: Математическая статистика; Математическая статистика.

Вид нелинейной функции: Математическая статистика. Таким образом, можно сказать, что зависимость уровня рентабельности от производительности труда можно описать следующей функцией: Математическая статистика.

Найдем прогноз. Примем за точку прогноза значение производительности труда 2500 грн.

Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: .


Математическая статистика.


Построим доверительную область для точки прогноза и всех точек.

Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки:


Математическая статистика,


где Математическая статистика - среднеквадратическое отклонение выборочных точек от линии регрессии; Математическая статистика;

Математическая статистика   критическая точка распределения Стьюдента для надежности Математическая статистика и Математическая статистика; Математическая статистика.

Прогнозируемый доверительный интервал для любого x такой Математическая статистика, где Математическая статистика, т.е. доверительный интервал для Математическая статистика составит от 5,35 до 14,03 с гарантией 95%., т.е. при производительности 2500 грн. Уровень рентабельности составит от 5,35% до 14,03%.

Для нелинейной модели найдем доверительный интервал, воспользовавшись обратной заменой: Математическая статистика. Совокупность доверительных интервалов для всех X из области прогнозов образует доверительную область.

Найдем эластичность.

Для линейной модели Математическая статистика тогда Математическая статистика.

Коэффициент эластичности для точки прогноза: Математическая статистика

Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении производительности на 1% уровень рентабельности увеличится с 9,69% на 1.1%. Т.е. при увеличении производительности труда рентабельность растет.

Задание № 3.3

Обозначим Фондоотдачу (грн.) – Х1, Производительность труда в расчете на одного работника (грн) – X2, Уровень рентабельности (%) – Y. Построим линейную зависимость показателя от факторов.

Прежде чем строить модель проверим факторы на коллинеарность. По исходным данным строим корреляционную матрицу. Коэффициент корреляции между X1 и X2 равен 0,87. Так как Математическая статистика, значит X1 и X2 – неколлинеарные факторы. Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью Математическая статистика.

Параметры Математическая статистика находим по методу наименьших квадратов.


Математическая статистика.


Проверим значимость коэффициентов Математическая статистика.

Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:


Математическая статистика.


Значимость Математическая статистика равна 0,99, т.е 99% больше 5%. Коэффициент Математическая статистика статистически незначим.


Математическая статистика.


Значимость Математическая статистика равна Математическая статистика, т.е. 39,6%, что больше 5%. Коэффициент Математическая статистика статистически незначим.


Математическая статистика.


Значимость Математическая статистика равна Математическая статистика, т.е. 35%, что больше 5%. Коэффициент Математическая статистика статистически незначим.

Проверим модель на адекватность.

Проанализировав таблицу дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией Математическая статистика. Остатки, необъясненный разброс Математическая
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: