Парная регрессия

Контрольная работа

по теме: "Парная линейная регрессия"


Данные, характеризующие прибыль торговой компании "Все для себя" за первые 10 месяцев 2004 года (в тыс. руб.), даны в следующей таблице:


январь февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь
367 418 412 470 485 470 525 568 538 558

В контрольной работе с использованием табличного процессора Ехсеl необходимо выполнить следующие вычисления и построения:

1. Построить диаграмму рассеяния.

2. Убедится в наличии тенденции (тренда) в заданных значениях прибыли фирмы и возможности принятия гипотезы о линейном тренде.

3. Построить линейную парную регрессию (регрессию вида ). Вычисление коэффициентов b0, b1 выполнить методом наименьших квадратов.

4. Нанести график регрессии на диаграмму рассеяния.

5. Вычислить значения статистики F и коэффициента детерминации R2. Проверить гипотезу о значимости построенного уравнения регрессии.

6. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проверить гипотезу о ненулевом его значении.

7. Вычислить оценку дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.

8. Проверить гипотезы о значимости вычисленных коэффициентов b0, b1 .

9. Построить доверительные интервалы для коэффициентов b0, b1.

10. Построить доверительные интервалы для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.

11. Построить доверительную область для условного математического ожидания М()( по оси Х откладывать месяцы январь - декабрь). Нанести границы этой области на диаграмму рассеяния.

12. С помощью линейной парной регрессии сделать прогноз величины прибыли на ноябрь и декабрь месяц и нанести эти значения на диаграмму рассеяния. Сопоставить эти значения с границами доверительной области для условного математического ожидания М() и сделать вывод о точности прогнозирования с помощью построенной регрессионной модели.

Решение.

Используя исходные данные, строим диаграмму рассеяния:



На основе анализа диаграммы рассеяния убеждаемся в наличии тенденции увеличения прибыли фирмы и выдвигаем гипотезу о линейном тренде.

Полагаем, что связь между факторами Х и У может быть описана линейной функцией . Решение задачи нахождения коэффициентов b0, b1 основывается на применении метода наименьших квадратов и сводится к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными b0, b1 :


b0 n + b1 Уxi = Уyi,

b0 Уxi + b1 Уxi2 = Уxiyi.


Составляем вспомогательную таблицу:


х y

x2

ху

y2

1 1 367 1 367 134689
2 2 418 4 836 174724
3 3 412 9 1236 169744
4 4 470 16 1880 220900
5 5 485 25 2425 235225
6 6 470 36 2820 220900
7 7 525 49 3675 275625
8 8 568 64 4544 322624
9 9 538 81 4842 289444
10 10 558 100 5580 311364
сумма 55 4811 385 28205 2355239

Для нашей задачи система имеет вид:



Решение этой системы можно получить по правилу Крамера:



Получаем:

, .

Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид:


y =364,8 + 21,145x.


  1. Нанесем график регрессии на диаграмму рассеяния.



  1. Вычислим значения статистики F и коэффициента детерминации R2. Коэффициент детерминации рассчитаем по формуле R2 = rxy2 = 0,9522 = 0,907. Проверим адекватность модели (уравнения регрессии) в целом с помощью F-критерия. Рассчитаем значение статистики F через коэффициент детерминации R2 по формуле:



Получаем: . Зададим уровень значимости б =0,01, по таблице находим квантиль распределения Фишера F0,01;1;8 = 11,26, где 1 – число степеней свободы.


Fфакт. > F0,01;1;8, т.к. 78,098 > 11,26.


Следовательно, делаем вывод о значимости уравнения регрессии при 99% - м уровне значимости.

  1. Вычислим выборочный коэффициент корреляции и проверим гипотезу о ненулевом его значении.

Рассчитаем выборочный коэффициент корреляции по формуле:


Получаем:

Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме: если , то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае отвергается.

Здесь t1-б/2,n-2 – квантиль распределения Стьюдента, б - уровень значимости или уровень доверия, n – число наблюдений, (n-2) – число степеней свободы. Значение б задается. Примем б = 0,05, тогда t1-б/2,n-2 = t0,975,8 = 2,37. Получаем:

.

Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная связь между х и у.

С использованием табличного процессора Ехсеl проведем регрессионную статистику:

Вывод итогов:


Регрессионная статистика
Множественный R 0,952409
R-квадрат 0,907083
Нормированный R-квадрат 0,895468
Стандартная ошибка 21,7332
Наблюдения 10

Дисперсионный анализ



df SS MS F Значимость F
Регрессия 1 36888,245 36888,25 78,09816 2,119E-05
Остаток 8 3778,6545 472,3318

Итого 9 40666,9




Коэфф. Станд. ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 364,8 14,846599 24,57128 8,04E-09 330,56368 399,0363
Переменная X 1 21,14545 2,3927462 8,837316 2,12E-05 15,627772 26,66314

Вычисленные значения коэффициентов b0, b1, значения статистики F, коэффициента детерминации R2 выборочного коэффициента корреляции rxy совпадают с выделенными в таблице.

7. Оценка дисперсии случайной составляющей эконометрической модели вычисляется по формуле .

Используя результаты регрессионной статистики, получаем:

.

8. Проверим значимость вычисленных коэффициентов b0, b1 по t-критерию Стьюдента. Для этого проверяем выполнение неравенств:


и ,


где


, , , .


Используем результаты регрессионной статистики:



Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 364,8 14,846599 24,57128 8,04E-09 330,56368 399,0363
Переменная X 1 21,14545 2,3927462 8,837316 2,12E-05 15,627772 26,66314

Получаем: ; Примем б = 0,05, тогда t1-б/2,n-2 = t0,975,8 = 2,37.

Так как и , делаем вывод о значимости коэффициентов линейного уравнения регрессии.

9. Доверительные интервалы для коэффициентов b0, b1 получаем с помощью результатов регрессионной статистики.

Доверительный интервал для коэффициента b0 уравнения регрессии:



Доверительный интервал для коэффициента b1 уравнения регрессии:



10. Построим доверительный интервал для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели по формуле:


.


Примем б = 0,05, тогда по таблице для 10-элементной выборки q = 0,65.

Получаем:


,

.


11. Построим доверительную область для условного математического ожидания М().

Доверительные интервалы для уравнения линейной регрессии: находятся по формуле:



где соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала; значение независимой переменной для которого определяется доверительный интервал, квантиль распределения Стьюдента, доверительная вероятность, (n-2) – число степеней свободы;



Рассмотрим уравнение: y =364,8 + 21,145x. Пусть тогда . Зная и , заполним таблицу:


1 385,95 20,25 4,634 377,327 394,564
2 407,09 12,25 5,215 397,391 416,791
3 428,24 6,25 5,738 417,564 438,908
4 449,38 2,25 6,217 437,819 460,945
5 470,53 0,25 6,661 458,138 482,917
6 491,67 0,25 7,078 478,508 504,838
7 512,82 2,25 7,471 498,921 526,715
8 533,96 6,25 7,845 519,372 548,556
9 555,11 12,25 8,202 539,854 570,365
10 576,25 20,25 8,544 560,363 592,146
сумма 82,5


11 597,4 30,25 8,873 580,897 613,903
12 618,55 42,25 9,190 601,453 635,638

График уравнения регрессии, доверительная полоса, диаграмма рассеяния:



12. С помощью линейной парной регрессии сделаем прогноз величины прибыли на ноябрь и декабрь месяц:

597,4, 618,55.

Нанесем эти значения на диаграмму рассеяния.



Эти значения сопоставимы с границами доверительной области для условного математического ожидания М().

Точность прогнозирования: с вероятностью 0,95 прибыль в ноябре находится в интервале (487,292; 515,508); прибыль в декабре находится в интервале (497,152; 526,376).

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: