Статистический анализ показателей использования производственных ресурсов

Н. Леонова, Е. Марголин

Настоящее сообщение является второй частью исследования, посвященного оценке обеспеченности полиграфических предприятий производственными ресурсами и экономической отдачи от их использования.

В предлагаемой работе изучается зависимость выручки от реализации продукции (далее - выручка), от размеров затрат производственных ресурсов на основе моделей производственных функций. В классической постановке производственной функции в качестве производственных факторов выступают капитал, труд и земля. В выполненном исследовании роль капитала отведена собственному капиталу предприятий, роль труда - численности работающих, роль земли - производственным площадям предприятий.

Информационную основу составляют данные годовых бухгалтерских отчетов полиграфических предприятий системы МПТР России за 2001 год и - в части производственных площадей - сведения из базы данных полиграфических предприятий, сформированной в Министерстве.

Cтатистический анализ зависимости выручки от реализации продукции, от затрат производственных ресурсов

Производственная функция

Производственная функция описывает взаимосвязь используемых факторов производства с объемом выпуска продукции (2). Производственная функция может быть построена для отдельно взятого предприятия, группы предприятий, отрасли или национальной экономики в целом (3). Уравнение многофакторной производственной функции имеет общий вид:

Q = f(x1, x2, …, xm),

где Q - объем выпускаемой продукции (в нашем случае - выручка), m - число факторов производства, включенных в модель, x1, x2, …, xm - численная характеристика факторов производства.

В качестве факторов производства при рассмотрении производственных функций выступают обычно ресурсы, используемые для создания продукции.

Отношение Q/xi следует расценивать как выпуск продукции, приходящийся на единицу i-го ресурса, или как среднюю производительность i-го ресурса. Предельная производительность i-го ресурса есть частная производная dQ/dxi,, которая всегда положительна, так как невозможно представить себе применение какого-то ресурса, направленное на сокращение объемов производства. Если соотнести предельную и среднюю производительность, то из нижеследующего выражения

dQ/dxi : Q/ xi

можно определить относительную производительность i-го ресурса, показывающую, на сколько процентов изменится объем выпуска продукции, если величина i-го фактора производства (использование i-го ресурса) изменится на 1%. Относительную производительность иначе называют эластичностью выпуска по данному фактору производства.

Если соотнести предельные производительности по i-му и k-му факторам производства (iєk):

dQ/dxi:dQ/dxk ,

то полученное соотношение dxi/dxk будет характеризовать так называемую предельную норму замещения ресурсов. Другими словами, если существует принципиальная возможность замены одного ресурса другим, то количество заменителя можно определить, применяя показатель предельной нормы замещения ресурсов.

Из многообразия математических зависимостей, которые могут быть использованы для построения производственных функций, выберем две - линейную и степенную. Линейные зависимости широко применяются в экономико-математических моделях самого различного назначения. Степенная зависимость с 1928 г. (дата публикации статьи американских ученых Ч.Кобба и П.Дугласа, в которой впервые была введена функция вида Y = A*Ka*Lb) применяется для моделирования именно производственной функции. Вид уравнений для однофакторных моделей и порядок расчета показателей представлены в табл. 1 (4).

Расчет коэффициентов a0 и a1 осуществляется методом наименьших квадратов, при этом степенная зависимость предварительно приводится к линейному виду путем замены переменных их логарифмами.

Табл. 2 повторяет табл. 1, но уже для случая включения в модель двух факторов, при этом расчетные формулы даны применительно к одному из них, поскольку для другого фактора они аналогичны. Кроме того, в табл. 2 включена строка с расчетными формулами для вычисления предельной нормы замещения ресурсов. Знак минус в расчетных формулах замещения ресурсов говорит о том, что при фиксированном объеме производства увеличению одного ресурса соответствует уменьшение другого (5).

Производственная функция принципиально может включать в себя сколько угодно факторов, однако, реальную ценность, как правило, имеют не более 2-3, которые объясняют порядка 70-90% изменений результирующего фактора, в нашем случае - выручки от реализации продукции.

Для случая трех производственных факторов, включаемых в производственную функцию, система нормальных уравнений, по которой определяются коэффициенты функции, имеет вид:

еy = na0 + a1еx1 + a2еx2 + a3еx3

еyx1 = a0 еx1 + a1еx12 + a2е x1 x2 + a3е x1 x3,

еyx2 = a0е x2 + a1е x2 x1 + a2е x22 + a3е x2x3,

еyx3 = a0е x3 + a1е x3 x1 + a2е x3 x2+ a3е x32.

Здесь n - количество объектов в рассматриваемой совокупности. При меньшем или большем числе производственных факторов справа и снизу убирается или добавляется соответствующее количество строк и столбцов.

В настоящей работе параметры производственной функции определяются как по всей совокупности подведомственных Министерству полиграфических предприятий, так и отдельно по группам книжно-журнальных и газетных предприятий.

Корреляционная матрица

Производственная функция представляет собой эконометрическую модель, которая связывает количественные характеристики используемых в производстве ресурсов, выступающих в модели в роли факторов (факторных признаков), с количественными характеристиками результата, получаемого от их использования (результативный признак). Если в модель включаются факторы, которые прямо или опосредованно связаны друг с другом (явление мультиколлинеарности), возникает опасность того, что воздействие каждого из таких факторов на результат будет искажено присутствием других факторов и тогда модель как инструмент для принятия управленческих решений потеряет свою ценность. Для проверки наличия такой опасности производится анализ корреляционной матрицы (табл. 3). В матрицу заносятся значения коэффициентов парной корреляции между результативным и каждым из факторных признаков (ryx) и между факторными признаками попарно (rik, i=1,2,…,m; k=1,2,…,m; iєk). Считается, что мультиколлинеарность имеет место, когда коэффициент парной корреляции между какими-либо двумя факторными признаками превышает 0,8 (6).

В табл. 3 представлена корреляционная матрица, содержащая коэффициенты парной корреляции для всех используемых в настоящей работе признаков. Коэффициенты проверены на статистическую значимость. Результаты проверки положительны.

Можно констатировать, что очень тесная связь (коэффициент парной корреляции больше 0,9) наблюдается между выручкой и численностью работающих для группы, образованной всеми предприятиями, и между выручкой и размером собственного капитала и выручкой и численностью работающих по группе книжно-журнальных предприятий.

Коэффициент корреляции величиной от 0,7 до 0,9 характеризует тесную связь между изучаемыми показателями. Таковая имеет место по всей совокупности предприятий и по группе книжно-журнальных типографий во всех комбинациях признаков, кроме упомянутых.

Группа газетных предприятий отличается тем, что тесная связь свойственна только комбинации выручка-собственный капитал и выручка-численность работающих. В других случаях теснота связи либо умеренная (значение коэффициента парной корреляции от 0,5 до 0,7), либо слабая - r<0,5 (выручка-производственная площадь).

Критерий rik>0,8 превзойден лишь в одном случае - сильная корреляция наблюдается по группе книжно-журнальных предприятий между факторными признаками собственный капитал и численность работающих. Однако очень близкими к рубежу 0,8 находятся по крайней мере еще четыре значения коэффициентов парной корреляции. Все это свидетельствует о необходимости количественной оценки гипотезы о наличии мультиколлинеарности.

Один из вариантов проверки предложен Фарраром и Глаубером (7). Для выполнения проверки строится симметричная матрица, состоящая только из коэффициентов парной корреляции между факторными признаками, при этом на главной диагонали помещаются единицы, и вычисляется ее определитель D. Затем рассчитывается величина критерия c2 расч по формуле:

c2 расч = - (n-1-(1/6)*(2m+5))*lnD,

где n - количество объектов в изучаемой совокупности, m - число факторных признаков. Расчетное значение критерия сравнивается с табулированной величиной при числе степеней свободы f = 0,5*m*(m-1). Если c2расч > c2табл, то наличие мультиколлинеарности не отрицается.

Для случая двухфакторных моделей c2 табл =3,84. Если модель трехфакторная, c2табл =7,82. В обоих случаях уровень значимости принят равным 0,05, т.е. вероятность гипотезы об отсутствии мультиколлинеарности не превышает 5%. В табл. 4 представлены расчетные значения критерия c2расч при различных объемах совокупностей для двухфакторных моделей.

Сравнивая значения критерия из табл. 4 с табулированными величинами, можно заметить, что явление мультиколлинеарности заставляет говорить о себе даже при незначительной величине коэффициента парной корреляции, если число объектов в совокупности достаточно велико. В зоне отраслевого анализа, где количество объектов измеряется считанными десятками, мультиколлинеарность можно подозревать при самой умеренной тесноте связи, когда коэффициент парной корреляции едва достигает значения, близкого к 0,5.

Эконометрические модели зависимости выручки от факторов производства

В табл. 5 приведены уравнения зависимостей для всех групп рассматриваемых предприятий и всех сочетаний производственных факторов: одно-, двух- и трехфакторные модели. Параметры моделей рассчитаны по методу наименьших квадратов. Полный перечень моделей представлен с целью демонстрации всех возможных вариантов их построения, но это не означает равноценности моделей с точки зрения их информационной полезности.

Существуют два формальных метода определения числа факторных признаков, включаемых в модель. Первый состоит в том, чтобы факторы включались последовательно, один за другим. При этом введение нового фактора должно улучшать качество модели, т.е. делать ее более близкой к реальной картине. Обычно из набора заранее подобранных по тем или иным соображениям факторов в модель включают один, имеющий наиболее тесную связь с результативным признаком. После чего определяют коэффициент детерминации.

Детерминация в контексте статистического исследования означает количественное определение причинной обусловленности получаемых зависимостей. Принято считать, что коэффициент детерминации, равный квадрату индекса (коэффициента) корреляции, и измеренный в процентах, оценивает долю вариации результативного признака, обусловленную факторными признаками, включенными в модель, которая описывает поведение рассматриваемого показателя в зависимости от других показателей.

Если в модель включен один факторный признак (однофакторная модель), то квадрат коэффициента корреляции между результативным и факторным признаками полностью характеризует степень влияния данного факторного признака на результативный.

После того, как рассчитан коэффициент детерминации по однофакторной модели, в нее включают следующий факторный признак, у которого коэффициент парной корреляции выше, чем у других оставшихся факторных признаков. Проверку того, насколько точнее описывает изменение результативного признака двухфакторная модель, проводят с помощью критерия Фишера: Fрасч= D1 / D2 , где D1 и D2 - остаточные дисперсии, рассчитанные по одно- и двухфакторным моделям, причем D1>D2. Расчетную величину критерия Фишера сравнивают с табулированным значением для степеней свободы f=n-k-1, где n - число наблюдений, k - число факторных признаков. Сама величина остаточной дисперсии вычисляется по формуле Dj= (е(y^ – y)2) /( n-k-1), где y^ и y - соответственно расчетное и текущее значение изучаемого показателя. Если Fрасч > Fтабл, то уравнение, обеспечивающее меньшую остаточную дисперсию, существенно точнее описывает динамику изучаемого показателя. В противном случае существенность отличия моделей друг от друга не подтверждается и лучше использовать более простую модель.

При любом варианте событий (включается ли второй факторный признак или нет) переходят к следующему факторному признаку, и процедура расчетов повторяется.

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, обусловленную всеми включенными в модель факторными признаками. Если в модели присутствует несколько факторных признаков, то влияние каждого из них рассчитывается по выражению (8):

d y(i) = (ai * (еyj *xj(i)) /n - ysr *x sr(i))/(sy)2,

где dy(i) - доля i-го факторного признака в вариации результативного признака y (частный коэффициент детерминации), ai - коэффициент в уравнении множественной регрессии при xi, n - количество объектов в рассматриваемой совокупности, yj , *xj(i) - текущие значения результативного и i-го факторного признаков, ysr, xsr(i) - средние арифметические значения соответственно результативного и i-го факторного признаков, (sy)2 - дисперсия результативного признака.

Возможно использование формулы

d y(i) = ai * (n*еyj * xj(i) -- еyi *е xj(i))/( еyj2 -еyj*еyj).

В том и другом случае суммирование ведется по j, где j - номер объекта в совокупности (j=1, 2,…, n).

Cумма частных коэффициентов детерминации равна коэффициенту детерминации D, который в свою очередь равен квадрату коэффициента (индекса) корреляции. Суммирование производится по i :

D = еd y(i) .

Второй метод определения факторных признаков, вводимых в модель, основан на исключении из общей модели, где присутствуют все факторные признаки, тех, которые подвержены мультиколлинеарности. Формализованные в большей или меньшей степени, эти способы исключения (например, упоминавшийся выше подход Фаррара и Глаубера) решающее слово оставляют за самим исследователем.

В нашей работе использован метод пошагового включения факторных признаков.

Эконометрические модели производственных функций, основанные на линейной зависимости

Для всех рассматриваемых групп полиграфических предприятий (предприятия в целом; газетные предприятия; книжно-журнальные предприятия) характерно, что наибольшую корреляцию с размерами выручки демонстрирует фактор численности работающих, а наименьшую - фактор производственной площади. Это свидетельствует о том, что до настоящего времени именно живой, а не овеществленный труд играет главенствующую роль в российских типографиях.

Однофакторные линейные модели обычно интерпретируют таким образом, что коэффициент при аргументе показывает, на сколько единиц увеличится значение результативного признака, если значение факторного признака возрастет на единицу.

Если следовать этому правилу, то увеличение штата персонала на одного работника принесет газетным предприятиям в среднем 178,71 тыс. руб. дополнительной выручки, книжно-журнальным - 219,32 тыс. руб., а по всем предприятиям в целом 203,10 тыс.руб. При этом коэффициент детерминации оказывается самым большим по группе книжно-журнальных предприятий (0,924), меньше других - по группе газетных предприятий (0,579). Для группы всех предприятий он составил 0,874.

Введение второго факторного признака - собственного капитала - увеличивает детерминацию моделей: по группе книжно-журнальных предприятий на 2,8 процентных пункта, по газетным предприятиям - на 9,7 процентных пункта, по группе всех предприятий - на 3,0 процентных пункта. При этом происходит перераспределение обусловленности вариации результативного признака между факторными признаками, включенными в модель.

Так, в однофакторной модели по группе всех предприятий 87,4% всех изменений выручки объяснялось изменением численности работающих. В двухфакторной же модели "ответственность" за вариацию результативного фактора передается частично фактору собственного капитала. За счет этого частная детерминация фактора численности работающих снижается до 67,2%. Коэффициент парной корреляции между факторными признаками довольно велик - 0,780 (табл.3), и это означает, что определенная мультиколлинеарность имеет место. Однако характерно то обстоятельство, что при введении в экономическую модель двух факторов, каждый из них "теряет в весе" по сравнению с однофакторной моделью неодинаково: фактор численности, как уже отмечалось,с 87,4 до 67,2%, то есть на 20,2 процентных пункта, а фактор собственного капитала - с 70,1 до 23, 1%, или на 47,0 процентных пунктов. То же самое наблюдается и по группам газетных и книжно-журнальных предприятий. Следовательно, можно говорить, что двухфакторные модели дают более объективную картину, нежели однофакторные в части определения уровня влияния факторных признаков, но небольшое увеличение коэффициента общей детерминации свидетельствует о том, что с ростом числа факторных признаков качество модели улучшается незначительно.

Об этом же говорит и то, что лишь для группы книжно-журнальных предприятий введение в модель третьего фактора привело к увеличению коэффициента общей детерминации, и то только на 0,4 процентных пункта, что в принципе находится в зоне погрешности эксперимента, и серьезных выводов на этом измерении строить нельзя.

Таким образом, при использовании линейной формы производственной функции и трех рассмотренных факторных признаков рационально рассматривать двухфакторную эконометрическую модель зависимости выручки от факторов численности работающих и собственного капитала.

Эконометрические модели производственных функций, основанные на степенной зависимости

В отличие от моделей, построенных на линейных зависимостях, модели,