Xreferat.com » Рефераты по информатике и программированию » Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Министерство образования РФ

Южно-Уральский государственный университет


Кафедра Автоматики и управления


Реферат

по математическим основам теории систем

на тему

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем


Выполнил:

Группа: ПС-263

Проверил: Разнополов О. А.


Челябинск

2003

Содержание:


Содержание 2

1. Появление дифференциальных уравнений при описании систем управления 3

2. Элементы теории дифференциальных уравнений 4

2.1. Понятие дифференциального уравнения 4

2.2. Нормальная система дифференциальных уравнений 4

2.3. Задача Коши 5

2.4. Свойства дифференциальных уравнений 6

2.5. Ломаная Эйлера и e-приближенное решение 6

2.6. Непрерывная зависимость решений от начальных условий и параметров 7

2.7. Линейные дифференциальные уравнения 8

2.7.1. Нормальная линейная система дифференциальных уравнений 8

2.7.2. Общее решение линейной однородной системы 9

2.7.3. Определитель Вронского. Формула Лиувилля 9

2.7.4. Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных 10

2.7.5. Формула Коши 12

2.7.6. Линейное уравнение n-го порядка 13

2.7.7. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 14

2.7.8. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 15

3. Дифференциальные уравнения при описании непрерывных систем 16

3.1. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений элементов системы 16

3.2. Понятие пространства состояний 18

3.3. Описание непрерывных систем с помощью системы дифференциальных уравнений 18

3.4. Описание систем переменными состояния 19

3.5. Понятие наблюдаемости системы 19

3.6. Понятие управляемости системы 20

3.7. Описание непрерывных систем с помощью одного дифференциального уравнения 21

3.8. Переход от системы дифференциальных уравнений к одному уравнению 22

3.9. Переход от одного уравнения к системе дифференциальных уравнений 22

Список литературы 24

1. Появление дифференциальных уравнений при описании систем управления


Любая система автоматического регулирования представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов, соединенных между собой связями. Первым этапом при составлении дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования является разделение системы на отдельные элементы и составление уравнений этих элементов. Эти уравнения могут быть интегральными, линейными, трансцендентными, но чаще всего это оказываются дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения элементов и уравнения связей между отдельными элементами описывают процесс в системе, то есть изменение по времени всех координат системы.

Состояние системы, а также каждого входящего в нее элемента характеризуется некоторым числом независимых переменных. Этими переменными могут быть как электрические величины (ток, напряжение и т. д.), так и механические (скорость, угол поворота и т. д.). Обычно, чтобы характеризовать состояние системы или ее элемента, выбирают одну обобщенную координату на входе системы или элемента и одну – на выходе. Будем обозначать входную величину g(t), а выходную x(t). В ряде случаев такое представление невозможно, так как система или ее элемент могут иметь несколько входных и выходных величин. В многомерных системах можно рассматривать векторные входную и выходную величины с размерностями, совпадающими соответственно с числом входных и выходных элементов системы.

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем


Рассмотрим пример: управление самолетом по углу рыскания. Предположим, что осевая линия самолета под действием порывов ветра отклонилась от заданного направления y на угол q (рис.1). Возвращение самолета на заданный курс осуществляется с помощью руля, отклонение которого равно j. Предполагается, что относительно оси, проходящей через центр тяжести ЦТ, самолет имеет момент инерции J. Восстанавливающая сила руля пропорциональна j, трением в воздухе пренебрегаем.

Уравнение движения запишется по второму закону Ньютона:

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

где kj(t) – восстанавливающая сила; m(t) – момент, вызванный порывами ветра. Разделив это уравнение на J и обозначив b=–k/J, x(t)=m(t)/J, а также принимая j(t) за управляющее воздействие u(t), получаем Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Вводя в рассмотрение переменные состояния

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

к двум дифференциальным уравнениям первого порядка

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

которые в векторной форме запишутся так

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Вводя векторно-матричные обозначения

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

приходим к дифференциальному уравнению:

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

2. Элементы теории дифференциальных уравнений


2.1. Понятие дифференциального уравнения


Уравнения, которые, кроме неизвестных функций одного или нескольких переменных, содержат также их производные, называются дифференциальными. Дифференциальные уравнения называются обыкновенными, если неизвестные функции являются функциями одного переменного, в противном случае дифференциальные уравнения называются уравнениями в частных производных.

Соотношение вида

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Решением дифференциального уравнения называется функция x=x(t), определенная на некотором интервале D't, которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество на всем интервале D. Это уравнение можно рассматривать как функцию, определяющую неявно производную n-го порядка x(n). При определенных условиях его можно решить относительно x(n):

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Пусть x=x(t) – решение данного дифференциального уравнения. Тогда x(t) является непрерывной и непрерывно дифференцируемой функцией t. На плоскости (t,x) решению x=x(t) будет соответствовать непрерывная кривая, называемая интегральной кривой.

Функция x=x(t,C) называется общим решением дифференциального уравнения, если путем соответствующего выбора постоянной можно любую интегральную кривую.

2.2. Нормальная система дифференциальных уравнений


В дифференциальные уравнения вида

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

может входить n неизвестных функций x1,…, xn . Тогда системой дифференциальных уравнений будет совокупность соотношений

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Предположим, что эту систему можно разрешить относительно старших производных. В этом случае получим систему уравнений:

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Такая система называется канонической системой дифференциальных уравнений. Вводя новые неизвестные функции, можно привести эту систему к системе первого порядка. Пусть

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Тогда наша система перепишется в виде

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

В дальнейшем будем рассматривать систему из n уравнений первого порядка в виде

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Эта система называется нормальной (канонической) системой дифференциальных уравнений. Эту систему будем записывать в векторной форме:

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Тогда данная система будет представлена в виде:

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Решением этой системы на интервале G называется совокупность n функций xi=xi(t), определенных на интервале G и таких, что подстановка их в эту систему обращает каждое ее уравнение в тождество на всем интервале G.

Если вектор-функция не зависит явно от времени t, то эта система называется автономной (стационарной).


2.3. Задача Коши


Начальной задачей или задачей Коши для системы

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

называется следующая задача. Найти решение системы дифференциальных уравнений, определенное на некотором интервале G, содержащем точку t0, и удовлетворяющее условиям:

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

причем t0, xi0 (i=1, 2,…, n) называются начальными значениями для решения x1(t), …, xn(t), а эти условия – начальными условиями. Если ввести в рассмотрение (n+1)-мерное пространство с координатами t, x1,…, xn, то совокупность n функций xi=xi(t) будет представлять линию в n-мерном пространстве. Начальные значения t0, x10,…, xn0 представляют собой точку в этом пространстве.


2.4. Свойства дифференциальных уравнений


Пусть имеется нормальная система дифференциальных уравнений в векторной форме

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем (1)

Общим решением системы (1) в области G называется совокупность n функций xi=xi(t,c1,…,cn), i=1,2,…,n. Будем говорить, что функция f(t,x1,…,xn) удовлетворяет условию Липшица в области G по переменным x1,…,xn, если существует такое постоянное число L>0, что для любой пары точек (t,x1,…,xn) и (t, xs1,…,xsn), принадлежащих G, выполняется неравенство

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Пусть в системе (1) функции fi(t, x) непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по x1,…,xn в некоторой области G. Тогда существует и притом единственное решение xi=xi(t), I=1,2,…n системы (1), удовлетворяющее начальным условиям xi(t0)=xi0, определенное на отрезке K, содержащем точку t0.

Теорема утверждает существование единственного решения на отрезке K, содержащем точку t0. Однако, это решение может быть продолжено за пределы отрезка K вплоть до границы области G.

Если функция f(t, x1, ..., хn) имеет ограниченные частные производные по xi в выпуклой области G, то эта функция удовлетворяет условию Липшица.


2.5. Ломаная Эйлера и e-приближенное решение


Рассмотрим систему уравнений

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем (2)

причем будем полагать, что эта система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем


Совокупность n функций z1(t), ..., zn(t) называется e-приближенным решением системы (2) на отрезке А, если каждая из этих функций непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную Дифференциальные уравнения и описание непрерывных системи

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

во всех точках tОK, кроме точек разрыва непрерывности этой производной.

Пусть задана начальная точка (t0, x10, …, хn0) и пусть функции fi(t, xi,...,хn) непрерывны по t в области G и удовлетворяют в этой области условию Липшица по переменным t, x1, х2, ..., хn. Можно показать, что в этом случае функции fi(t, x1,..., хn) будут непрерывны по совокупности переменных t, x1,..., хn в области G. Из непрерывности функций fi (t, x1,..., хn) в замкнутой области G сле­дует их равномерная непрерывность. Таким образом, для любого e>0 найдется такое d>0, зависящее только от e, что при

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

будет справедливо неравенство

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Построим e-приближенное решение системы (2). Для этого разобьем область G на кубы со сторонами, меньшими d (для случая n=1 построение проведено на рис. 2, в этом случае область разбивается на квадраты). Из точки (t, xlo, ..., хn0) проведем прямую

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Эту прямую продолжим до пересечения с одной из сторон соответствующего куба. Обозначим точку пересечения (t1, x11,..., xn1). Из этой точки проведем прямую

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

которую продолжим до пересечения с одной из сторон куба; обозначим точку пересечения (t2, x12,..., xn2), через эту точку проводим новую прямую

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

и так далее.

В результате указанных действий получим ломаную xi=xi(t) (i=l, 2, ..., n), называемую ломаной Эйлера. Эта ломаная представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию. Ломаную Эйлера мы можем продолжить до границы области G.

Пусть xi(t) (i=l, 2, ..., n) — точное решение системы (2), удовлетво­ряющее начальным условиям. Обозначим через si(t) (i=1, 2, ..., n) e-приближенное решение системы (1) для тех же начальных условий. Тогда

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Отсюда следует, что если |t–t0|<h, то

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Таким образом, при e®0 решение xi(t) (i=1, 2, ..., n) равномерно сходится к решению si(t) (i=l, 2, ..., n) и ломаная Эйлера, исходящая из точки (t0, xi(t0)), равномерно сходится к точному решению. Это неравенство дает оценку погрешности при замене точного решения e-приближенным.

Полученные неравенства мы используем для выяснения важной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий и параметров уравнений.

2.6. Непрерывная зависимость решений от начальных условий и параметров


Пусть задана нормальная система дифференциальных уравнений (2), причем функции fi(t, xl ,..., хn) непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по х1, ..., хn в некоторой области G.

Пусть далее x=x(t, t0, x0) — решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям. Положим, что это решение определено на отрезке |t-t0|≤h. Тогда для любого e>0 существует такое d(e, h)>0, что другое решение x=s(t, t0, z0), удовлетворяющее начальным условиям

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

где ||x0–z0||<d, будет определено на том же отрезке |t-t0|≤h и удовлетворяет неравенству

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Рассмотрим теперь непрерывную зависимость решения системы дифференциальных уравнений от параметров. Пусть имеется система уравнений

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Здесь (μ1,…, μs)=μ – вещественные параметры, а функции fi(t, x, μ) определены и непрерывны по совокупности переменных t, x1, …, xn, μ1, …, μs в некоторой области G n+s+1-мерного пространства и удовлетворяют условию Липшица по переменным x1, …, xn с постоянной L. Пусть далее x=x(t, μ’) – решение этой системы при значении параметров μ=μ’, удовлетворяющее начальным условиям x(t0, μ’)=x0 и определенное на отрезке.

Тогда справедлива теорема:

Пусть x(t, μ’’) — решение данной системы при значении параметров μ=μ’’, удовлетворяющее начальным условиям x(t0, μ’’)=x0. Тогда для любого e>0 существует такое d(e, h)>0, что если справедливо неравенство |μ’–μ’’|<d, то решение x(t, μ’’) определено на интервале |t—t0|≤h и удовлетворяет неравенству

|| x(t, μ’)–x(t, μ’’) ||<e.

Доказанные теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий и параметров имеют принципиальное значение. Параметры дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования (САР) задаются с некоторыми погрешностями. На основании доказанных выше теорем можно утверждать, что если погрешность в определении параметров дифференциальных уравнений САР незначительна, то решения этих уравнений с достаточной достоверностью описывают происходящие в САР процессы.


2.7. Линейные дифференциальные уравнения


2.7.1. Нормальная линейная система дифференциальных уравнений

Линейной системой дифференциальных уравнений называется такая система уравнений, в которую неизвестные функции и их производные могут входить только в первой степени.

Нормальная линейная система дифференциальных уравнений имеет вид

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Введем в рассмотрение векторные функции

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Тогда систему (1) можно переписать в виде

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Теорема существования и единственности справедлива для линейной системы на любом отрезке [а1 ,b1]М(а, b), где (a, b) - интервал, на котором функции aik(t) и fi(t) непрерывны.


2.7.2. Общее решение линейной однородной системы

Система (1) называется однородной, если fi(t)є0 (i=1, 2, …, n). Однородная система в векторной форме запишется в виде

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем (3)

Совокупность S всех решений {x(t)} образует линейное пространство размерности n, так как решения этой системы являются линейно-независимыми и образуют базис. Любой элемент этого пространства представим в виде

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем (4)

причем постоянные c1, c2, …, cn определяются однозначно. Отсюда следует, что любое решение данной системы может быть представлено в виде (4). Поэтому выражение (4) называется общим решением системы (3). Любая система из n линейно-независимых решений системы (3), образующая базис пространства S, называется фундаментальной системой решений.


2.7.3. Определитель Вронского. Формула Лиувилля

Пусть имеется некоторая система из n векторных функций

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Тогда определителем Вронского, или вронскианом, называется определитель, составленный из компонент этих векторных функ­ций. Таким образом, определитель Вронского имеет вид

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Если система векторных функций x1(t), ..., хn(t) линейно-зависима, то определитель Вронского W(t)=0.

Пусть вектор-функции x1(t), ..., xn(t) представляют собой n решений системы (3). Тогда, если определитель Вронского W(t) для этих решений обращается в ноль в какой-нибудь точке t0О[а, b], то W(t) тождественно равен нулю на всем отрезке [а, b].

Пример: рассмотрим вектор-функции

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Определитель Вронского для этих функций

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

При t = 0 W(0) = 0, но W(t) не равен тождественно 0. Отсюда следует, что данные вектор-функции х1(t) и x2(t) не могут быть решениями системы уравнений вида (3) с непрерывными коэффициентами, определенными на интервале, содержащем точку t=0.

Значение определителя Вронского в произвольной точке t можно вычислить с помощью рассмотренной ниже зависимости, называемой формулой Лиувилля.

Пусть x1(t), x2(t), ..., xn(t) — n решений системы (3). Тогда между значениями определителя Вронского W(t) в точках t0 и t существует следующая зависимость:

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

– след матрицы A(t).

2.7.4. Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим линейную неоднородную систему (2)

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Соответствующая ей однородная система (3)

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Пусть x=y(t) и j(t) – два решения системы (2). Тогда разность

x(t)= y(t)–j(t)

Представляет собой решение однородной системы (3).

Общее решение системы (2) имеет вид

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

где ci – произвольные постоянные; xi(t) (i=1, 2, …, n) – фундаментальная система решений системы (3).

Частное решение системы (2) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. Рассмотрим этот метод. Пусть x1(t), x2(t), …, xn(t)— фундаментальная система решений системы (3). Частное решение неоднородной системы (2) будем искать в виде

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

полагая, что ci являются не постоянными, а некоторыми функциями t. Подставим это решение в систему (2):

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Так как вектор-функции xi(t) – являются решениями однородной системы (3), то

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

поэтому

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Это выражение представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно сi(t) (i=l, 2, ,..., n). Определитель этой системы уравнений есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений. Он отличен от нуля, поэтому эта система имеет единственное решение сi’(t)=Фi(t) (i=l, 2,..., n).

Интегрируем полученные равенства:

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Значит, общее решение неоднородной системы будет

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем


2.7.5. Формула Коши

При помощи формулы Коши можно выразить решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений через некоторую фундаментальную систему решений соответствующей однородной линейной системы.

Рассмотрим неоднородную линейную систему дифференциаль­ных уравнений (2), записанную в векторном виде

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Соответствующая ей однородная система (3)

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Пусть x1, x2, …, xn – фундаментальная система решения системы уравнений (3). Образуем матрицу X1(t), столбцы которой являются этими решениями:

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Определитель матрицы Х1(t) представляет собой определитель Вронского. Он отличен от нуля для всех tО[a, b]. Следовательно, существует обратная матрица X-11(t) при каждом tО[а, b]. Составим матрицу

X(t, t0) = X1(t)X1-1(t0)

Столбцы этой матрицы также образуют фундаментальную систему решений системы уравнений (3). Отметим, что X(t, t0)=Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем Назовем матрицу X(t, t0) фундаментальной матрицей системы (3). Эта матрица удовлетворяет матричному уравнению

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Решение x(t) системы уравнений (3), удовлетворяющее начальным условиям x(t0)=x0, можно записать в виде

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Тогда можно показать, что следующая формула, называемая формулой Коши, позволяет найти решение x(t) неоднородной системы (2), удовлетворяющее начальным условиям x(t0)=x0, если известна фундаментальная матрица X(t, t0) однородной системы (3):

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Следует отметить, что если матрица А постоянная, т. е. рас­сматриваемая система дифференциальных уравнений является системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

то решение этой системы x(t), удовлетворяющее начальным условиям x(t0)=x0, запишется в виде

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

где X (f) — матрица, столбцы которой состоят из фундаменталь­ной системы решений однородной системы уравнений xt'=Ах, причем X (t0) = E.


2.7.6. Линейное уравнение n-го порядка


Линейное уравнение n-го порядка имеет вид

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

где a0(t), …, an(t) — непрерывные функции для tО(a, b), при­чем а0(t)№0. Соответствующее этому уравнению однородное урав­нение имеет вид

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Эти уравнения путем введения вспомогательных функций

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

можно свести соответственно к системам уравнений

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

или в векторной форме,

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Пусть начальные условия этой системы имеют вид

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Эта система имеет единственное решение

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Для нахождения частного решения ф(t) данного уравнения можно использовать метод вариации произвольных постоянных. При этом система алгебраических уравнений для нахождения сi'(t) имеет следующий вид:

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Определитель этой системы есть определитель Вронского для линейно независимой системы решений x1 ,…, xn, поэтому W(t)№0, и данная система имеет единственное решение. Интегри­руя полученные значения для c'i(t), найдем ci(t) и тогда искомое решение

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Решение x(t) исходного уравнения, удовлетворяющее заданным условиям, найдется по формуле Коши

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: