Способы кодирования информации и порядок преобразования десятичных чисел в двоичные и наоборот в информатике

и вычислительной технике

Реферат по дисциплине: “Введение в специальность 6.01010036” Профессиональное обучение компьютерным технологиям в преподавании и обучении»

Выполнил студент группы ДГ-К5-1 Ячменёв Д.А.

Украинская инженерно-педагогическая академия

Стаханов 2005

1. Как представляется информация

Издавна люди пользовались шифрами. Самыми простыми и удобными являются цифровые шифры. Например, основными цветами радуги являются красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Их можно пронумеровать в перечисленном порядке цифрами от 1 до 7.

Музыкальное произведение записывается с помощью нот. Основными нотами музыкального ряда являются до, ре, ми, фа, соль, ля, си. Их тоже можно пронумеровать цифрами от 1 до 7.

Дни недели нумеруются этими же цифрами. Таким образом, разнообразная информация — цвета, ноты и дни недели — может быть представлена единым способом — с помощью цифр.

Для обработки компьютером любая информация представляется в виде чисел, записанных с помощью цифр. Цифры представляются электрическими сигналами, с которыми работает компьютер. Для удобства различения в компьютере используются сигналы двух уровней. Один из них соответствует цифре 1, другой — цифре 0. Цифры 0 и 1 называются двоичными. Они являются символами, из которых состоит язык, понимаемый и используемый компьютером. Информация, с которой работает компьютер, «кодируется» с помощью этого языка. Таким образом, любая информация в компьютере представляется с помощью двоичных цифр. Наименьшим количеством информации является одно из двух возможных значений — 0 или 1. Такое количество информации называется бит (bit сокр. от англ. binary digit — двоичная цифра). Равновероятными являются события, появление которых одинаково возможно. Например, при бросании монеты возможность выпадения «цифры» или «герба» одинакова. Для однозначного определения одного из двух событий — «цифра» или «герб» — достаточно одного бита информации: 0 — «цифра», 1 — «герб» (или наоборот).

Бит является наименьшей единицей измерения количества информации в компьютере. Теперь следует научиться представлять любое число в виде комбинации нулей и единиц. Это представление должно быть однозначным, т.е. различным числам должны соответствовать разные комбинации.

2. Десятичная система счисления

Система счисления — это система записи чисел с помощью определенного набора цифр. В привычной нам системе записи чисел — десятичной системе счисления — для записи чисел используется десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. В этой системе любое целое неотрицательное число представляется с помощью степеней числа 10 (100=1; 101=10; 102=100; 103=1000; 104=10000,...). Число 10 является основанием этой системы счисления.

Действительно, если число меньше 10, то записывается соответствующая ему одна цифра.

Если число больше либо равно 10, но меньше 100, то оно представляется двумя цифрами: первая указывает количество полных десятков, содержащихся в числе, вторая — количество единиц в последнем неполном десятке.

Например:

87=80+7=8·10+7=8·101+7·100=8710.

Индекс внизу указывает систему счисления, в которой записано исходное число. Если число больше либо равно 100, но меньше 1000, то для его записи используется уже три цифры. Первая цифра — это количество полных сотен, содержащихся в числе, вторая цифра — количество полных десятков в последней неполной сотне, третья цифра — количество единиц в последнем неполном десятке.

Например:

645=600+40+5=6·100+4·10+5=6·102+4·101+5·100=64510.

При таком подходе для представления числа, большего либо равного 1000, но меньшего 10000, требуется уже четыре цифры. Первая цифра — количество полных тысяч, вторая — количество полных сотен, третья — количество полных десятков и четвертая — количество единиц.

Например:

2756=2000+700+50+6=2·1000+7·100+5·10+6=2·103+7·102+5·101+6·100=275610.

Количество цифр, используемых для десятичного представления числа, на единицу больше, чем показатель наибольшей степени 10, содержащейся в числе. Это связано с тем, что в представлении участвует нулевая степень числа 10.

Таким образом, любое целое неотрицательное число в десятичной системе счисления представляется в виде:

где каждый из коэффициентов an, an-1,···, a1, a0 является одной из цифр от 0 до 9, называемых десятичными цифрами, причем an не равно 0. В десятичной системе записи числа первой записывается цифра an , второй — цифра an-1 и т.д., последней — цифра a0. Таким образом, десятичной записью целого неотрицательного числа является последовательность цифр ап ап-1 ... а0, являющихся коэффициентами представления этого числа в виде (1).

Общее количество цифр в десятичной записи числа равно количеству коэффициентов в представлении (1), т.е. n+1, где п — показатель наибольшей степени числа 10, содержащейся в исходном числе.

Коэффициенты в представлении (1) должны принимать значения от 0 до 9, причет коэффициент аn не должен быть равен нулю (ноль не может быть первой цифрой числа). Это обеспечивает однозначность такого представления. Если какой-либо из коэффициентов больше 9, то происходит переход к следующей степени.

Например:

10·103=1·104; 12·104=(10+2) ·104=1·105+2·104.

Следовательно, набор десятичных цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 обеспечивает однозначное представление любого целого неотрицательного числа в десятичной системе счисления.

3. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления — это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2. Для получения записи числа в двоичной системе используется представление этого числа с помощью степеней числа 2.

Рассмотрим на примерах, как представляются числа с помощью степеней числа 2. Предварительно приведем таблицу значений степеней числа 2.

Используя эту таблицу, можно записать:

В общем виде представление целого неотрицательного числа с помощью степеней двойки записывается так же, как и представление (1) с заменой числа 10 на число 2:

Здесь каждый из коэффициентов аn, an-1 ,···,a1, a0 является одной из двух двоичных цифр 0 или 1, причем an=1. Запись числа в двоичной системе строится так же, как и в десятичной: первой записывается цифра ап, второй — цифра ап-1 и т.д.,

последней — цифра а0.

Двоичный код числа — запись этого числа в двоичной системе счисления.

Таким образом, двоичным кодом числа является последовательность коэффициентов ап an-1 ··· a1 a0 из представления (2). В приведенных примерах двоичные коды имели вид:

Коэффициенты в представлении (2) должны принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Это обеспечивает однозначность такого представления.

Если какой-либо из коэффициентов больше 1, то происходит переход к следующей степени числа 2.

Например:

2·2n=1·2n+1; 3·2n=(2+1) ·2n=1·2n+1+1·2n.

Старший коэффициент аn всегда равен 1, т.е. двоичный код всегда начинается с 1 (так же, как и десятичная, запись числа не может начинаться с нуля). Чтобы лучше понимать, как получается двоичный код некоторого числа, представим себе последовательность разрядов, каждый из которых может содержать только одну из двоичных цифр 0 или 1, т.е. один бит информации. В дальнейшем под битом и разрядом будем понимать одно и то же.

Пронумеруем разряды справа налево. Номер самого правого (младшего) разряда равен нулю. Номер самого левого (старшего) разряда равен показателю наибольшей степени двойки, содержащейся в числе. Значит, всего разрядов, с учетом нулевого, на один больше, чем номер старшего разряда (если номер старшего разряда равен 7, то всего разрядов 8 с номерами от 0 до 7). Номер каждого разряда равен показателю соответствующей степени двойки.

Содержимое разряда с номером n равно 1, если 2n участвует в представлении числа в виде суммы степеней двойки, и 0, если не участвует.

Посмотрим, как получается двоичное представление, например, числа 25. Число 25 представляется в виде суммы чисел из этой строки: 25=16+8+1. Каждое число берется только один раз — это обеспечивает однозначность двоичного кода. Затем выбранные числа заменяются равными им степенями двойки из верхней строчки таблицы: 16=24, 8=23, 1=20; 25=24+23+20. И, наконец, разряды, номера которых равны числам, выбранным из первой строчки таблицы (4,3,0) заполняются единицами, а остальные — нулями.

4. Сколько чисел можно записать с помощью n битов

Уже описано, как получать двоичный код любого десятичного числа, т.е. переводить его из десятичной системы в двоичную. Рассмотрим теперь обратное действие: перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную.

Итак, требуется найти десятичное число по известному двоичному коду этого числа. Воспользуемся представлением вида (2). Коэффициенты аn, an-l ,···,a1, a0 известны. Значит, нужно вычислить значение выражения (2). Рассмотрим примеры. Пусть задан двоичный код 11012. Самый левый — старший бит — имеет номер 3. Следовательно, первое слагаемое равно 1·23. Следующий бит имеет  номер 2. Второе слагаемое равно 1·22. Третье слагаемое равно 0·21 четвертое слагаемое равно 1·20. Искомое число есть сумма четырех слагаемых: 1·23+1·22+0·21+1·20=8+4+1=13. Таким образом, 11012=13.

Пусть задан двоичный код 11010112. Число, имеющее такой двоичный код, равно сумме 1·26+1·25+0·24+1·23+0·22+1·21+1·20=64+32+8+2+1=107.

Следовательно, 11010112=107.

В десятичной системе следующее число получается из предыдущего путем прибавления единицы к количеству единиц предыдущего числа.

То же самое происходит при получении двоичного кода следующего числа из двоичного кода предыдущего: к младшему разряду двоичного кода предыдущего числа прибавляется единица.

Правило выполнения операции сложения одинаково для всех систем счисления: если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, происходит перенос единицы в следующий слева разряд. Таким образом, правила сложения в двоичной системе таковы:

Пользуясь этими правилами, получаем

Возникает вопрос: какое наибольшее десятичное число можно записать в двоичном виде, используя для этой записи заданное число битов?

Наибольшее десятичное число, использующее для записи своего двоичного кода три бита, получается, когда значения всех трех битов равны